2022-2023学年河南省郑州市中原区四校联考九年级（上）第一次月考数学试卷（含解析）

2022-2023学年河南省郑州市中原区四校联考九年级第一学期第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．若a3＝8，则a的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣2．2021年是河南比较艰苦的一年．百年不遇的洪水，多次反复且范围极广的疫情，都对河南经济发展造成了严重的影响．但河南人民努力奋斗，不懈工作，到2021年底，河南省GDP达到5.89万亿元，把数据“5.89万”用科学记数法表示应为（）A．5.89×103 B．5.89×104 C．5.89×105 D．5.89×1063．如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（）A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥4．下列运算正确的是（）A．（﹣a3）2＝a6 B．2a2﹣a2＝﹣a2 C．a3+a3＝a6 D．a•a5＝a55．如图，直线m∥n，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°6．关于矩形的性质，以下说法不正确的是（）A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形7．若方程x2+2x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．8．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，这4张剪纸卡片的正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案是中心对称图形的概率是（）A． B． C． D．9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．210．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7二．填空题（每题3分，共15分）11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是．12．已知函数y＝kx的图象经过二、四象限，且不经过（﹣2，2），请写出一个符合条件的函数解析式．13．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚得元．14．六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为2，求中间正六边形的面积．15．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为．三．解答题（共8小题，共75分.）16．计算：（1）x2+4x＝3；（2）m2﹣2m﹣1＝0．17．已知关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的一个实数根是2，求k的值．18．2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．调查问卷年月1．近两周你平均每天睡眠时间大约是________小时．如果你每天睡眠时间不足9小时，请回答第二个问题________．2．影响你睡眠时间的主要原因是________（单选）．A．校内课业负担重B．校外学习任务重C．学习效率低D．其他平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第组（填序号），达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为；（2）请对该校学生睡眠时间的情况做出评价，并提出两条合理化建议．19．某服装店销售的衬衫原来每件的售价为80元，经过两次降价后每件的售价为64.8元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该衬衫每次降价的百分率；（2）若该衬衫每件的进价为60元，该服装店计划通过以上两次降价的方式，将库存的该衬衫40件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于282元，那么第一次降价时至少售出多少件后，方可进行第二次降价？20．新冠疫情控制后，旅游市场全面复苏．某区域旅游吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求出这个一次函数关系式．（2）如果要保证每周3000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少人？门票价格应是多少元？21．如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？（2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．22．如图，已知四边形ABCD是正方形AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）求证：DE＝EF；（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；23．在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一动点，连接AD，将AD绕点A逆时针旋转至AE的位置，使得∠DAE+∠BAC＝180°．（1）如图1当∠BAC＝90°时，连接BE，交AC于点F．若BE平分∠ABC，BD＝2，求AF的长；（2）如图2，连接BE，取BE的中点G，连接AG．猜想AG与CD存在的数量关系，并证明你的猜想．

参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．若a3＝8，则a的绝对值是（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣【分析】根据立方根的概念求解．解：开立方得：a＝2．故选：A．【点评】本题考查了立方根的知识，如果一个数x的立方等于a，即x的三次方等于a（x3＝a），那么这个数x就叫做a的立方根，也叫做三次方根．2．2021年是河南比较艰苦的一年．百年不遇的洪水，多次反复且范围极广的疫情，都对河南经济发展造成了严重的影响．但河南人民努力奋斗，不懈工作，到2021年底，河南省GDP达到5.89万亿元，把数据“5.89万”用科学记数法表示应为（）A．5.89×103 B．5.89×104 C．5.89×105 D．5.89×106【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．解：5.89万＝58900＝5.89×104．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．3．如图是某一几何体的主视图、左视图、俯视图，该几何体是（）A．四棱柱 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱锥【分析】根据三视图即可判断该几何体．解：由于主视图与左视图是三角形，俯视图是正方形，故该几何体是四棱锥，故选：B．【点评】本题主要考查由三视图判断几何体的形状，掌握常见几何体的三视图是解题的关键．4．下列运算正确的是（）A．（﹣a3）2＝a6 B．2a2﹣a2＝﹣a2 C．a3+a3＝a6 D．a•a5＝a5【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．解：A、（﹣a3）2＝a6，故A符合题意；B、2a2﹣a2＝a2，故B不符合题意；C、a3+a3＝2a3，故C不符合题意；D、a•a5＝a6，故D不符合题意；故选：A．【点评】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．5．如图，直线m∥n，∠1＝60°，∠2＝40°，则∠3的度数为（）A．90° B．100° C．110° D．120°【分析】先根据三角形外角和定理求出∠4的度数，再由平行线的性质即可得出结论．解：∵∠4是△ABC的外角，∠1＝60°，∠2＝40°，∴∠4＝∠1+∠2＝60°+40°＝100°，∵直线m∥n，∴∠3＝∠4＝100°．故选：B．【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．6．关于矩形的性质，以下说法不正确的是（）A．对边平行且相等 B．对角线相等 C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形【分析】根据矩形的性质判断即可．解：A、矩形对边平行且相等，说法正确；B、矩形对角线相等，说法正确；C、矩形对角线相等，但对角线不一定垂直，说法错误；D、矩形是轴对称图形，说法正确；故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．7．若方程x2+2x+m+1＝0有两个不相等的实数根，则m的值可以是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．【分析】根据根的判别式的意义得到Δ＝22﹣4（m+1）＞0，解不等式得到m的取值范围，然后对各选项进行判断．解：根据题意得Δ＝22﹣4（m+1）＞0，解得m＜0．故选：A．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．剪纸艺术是第一批国家级非物质文化遗产，这4张剪纸卡片的正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案是中心对称图形的概率是（）A． B． C． D．【分析】画树状图，共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面图案是中心对称图形的结果有2种，再由概率公式求解即可．解：把这4张剪纸卡片分别记为A、B、C、D，其中B、C是中心对称图形，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面图案是中心对称图形的结果有2种，即BC、CB，∴抽取的两张卡片正面图案是中心对称图形的概率为＝，故选：A．【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．9．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．2【分析】根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠MDO＝∠NCO＝45°，OD＝OC，∠DOC＝90°，∴∠DON+∠CON＝90°，∵ON⊥OM，∴∠MON＝90°，∴∠DON+∠DOM＝90°，∴∠DOM＝∠CON，在△DOM和△CON中，，∴△DOM≌△CON（ASA），∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积＝△DOM的面积+△DON的面积，∴四边形MOND的面积＝△CON的面积+△DON的面积＝△DOC的面积，∴△DOC的面积是1，∴正方形ABCD的面积是4，∴AB2＝4，∴AB＝2，故选：C．【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．10．如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1；利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE，得y的最大值为AE＝5；在Rt△ABE中，由勾股定理求出BE的长，再根据BC＝2BE求出BC的长．解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝1．利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．∴y的最大值为AE，∴AE＝5．在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝25，设BE的长度为t，则BA＝t+1，∴（t+1）2+t2＝25，即：t2+t﹣12＝0，∴（t+4）（t﹣3）＝0，由于t＞0，∴t+4＞0，∴t﹣3＝0，∴t＝3．∴BC＝2BE＝2t＝2×3＝6．故选：C．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据勾股定理求出BE的长是解题的关键．二．填空题（每题3分，共15分）11．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥3．【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可求解．解：根据题意得x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，知识点为：二次根式的被开方数是非负数．12．已知函数y＝kx的图象经过二、四象限，且不经过（﹣2，2），请写出一个符合条件的函数解析式y＝﹣2x（答案不唯一，合理即可）．【分析】先将点（﹣2，2）代入函数解析式求得k＝﹣1，然后取一个不为﹣1的数即可．解：将点（﹣2，2）代入y＝kx得，﹣2k＝2，解得：k＝﹣1，∵函数不经过（﹣2，2），且经过二、四象限，∴k≠﹣1，且k＜0，取k＝﹣2，得函数的解析式为y＝﹣2x，故答案为：y＝﹣2x（答案不唯一，合理即可）．【点评】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数的性质，解题的关键是熟知正比例函数图象与系数的关系．13．某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚得6600元．【分析】根据图象求出函数关系式，计算售价为8元时卖出的苹果数量，即可求解．解：设卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式为y＝mx+n，，解得，∴y＝﹣600x+7000，x＝8时，y＝﹣600×8+7000＝2200，∴现以8元卖出，挣得（8﹣5）×2200＝6600（元），故答案为：6600．【点评】此题主要考查了一次函数的应用，能够得出卖出的苹果数量y与售价x之间的函数关系式是解题关键．14．六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为2，求中间正六边形的面积6．【分析】利用△ABG≌△BCH得到AG＝BH，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到BG＝2AG，接着证明HG＝AG可得结论．解：如图，∵△ABG≌△BCH，∴AG＝BH，∵∠ABG＝30°，∴BG＝2AG，即BH+HG＝2AG，∴HG＝AG＝2，∴中间正六边形的面积＝6××22×12＝6，故答案为：6．【点评】本题考查了含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．也考查了正多边形与圆，解题的关键是求出HG．15．如图，三角形纸片ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，BF＝4，CF＝6，将这张纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合．若DE∥BC，AF＝EF，则四边形ADFE的面积为5．【分析】由沿直线DE翻折，点A与点F重合可知：DE垂直平分AF，因为DE∥BC，所以DE为△ABC的中位线，DE＝BC＝5；由折叠可得AE＝EF，因为AF＝EF，可得△AEF为等边三角形，∠FAC＝60°；在Rt△AFC中，解直角三角形可得AF的长，四边形ADFE的面积为DE×AF，结论可得．解：∵纸片沿直线DE翻折，点A与点F重合，∴DE垂直平分AF．∴AD＝DF，AE＝EF．∵DE∥BC，∴DE为△ABC的中位线．∴DE＝BC＝（BF+CF）＝×（4+6）＝5．∵AF＝EF，∴△AEF为等边三角形．∴∠FAC＝60°．在Rt△AFC中，∵tan∠FAC＝，∴AF＝＝2．∴四边形ADFE的面积为：DE×AF＝×5×2＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查了折叠问题，三角形的中位线，平行线的性质，三角形的面积，解直角三角形．利用中点的性质得到对应的部分相等是解题的关键．三．解答题（共8小题，共75分.）16．计算：（1）x2+4x＝3；（2）m2﹣2m﹣1＝0．【分析】（1）利用配方法得到（x+2）2＝7，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用配方法得到（m﹣1）2＝2，然后利用直接开平方法解方程．解：（1）x2+4x＝3，x2+4x+4＝3+4，即（x+2）2＝7，∴x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣；（2）m2﹣2m﹣1＝0，m2﹣2m＝1，m2﹣2m+1＝2，（m﹣1）2＝2，∴m﹣1＝±，∴m1＝1+，m2＝1﹣．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．17．已知关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若方程的一个实数根是2，求k的值．【分析】（1）由方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式可得到关于k的不等式，可求得k的取值范围；（2）把x＝2代入方程可求得k的取值，注意k的范围．解：（1）∵关于x的一元二次方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0且k2≠0，即4（k﹣1）2﹣4k2＞0，解得k＜且k≠0，∴k的取值范围为k＜且k≠0；（2）∵方程的一个实数根为2，∴4k2+4（k﹣1）+1＝0，整理得4k2+4k﹣3＝0解得k1＝﹣，k2＝，∵k＜且k≠0；即k的值为﹣．【点评】本题主要考查方程根的判别式及根的定义，利用根的判别式得到关于k的不等式是解题的关键．18．2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时．某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．调查问卷年月1．近两周你平均每天睡眠时间大约是________小时．如果你每天睡眠时间不足9小时，请回答第二个问题________．2．影响你睡眠时间的主要原因是________（单选）．A．校内课业负担重B．校外学习任务重C．学习效率低D．其他平均每天睡眠时间x（时）分为5组：①5≤x＜6；②6≤x＜7；③7≤x＜8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第③组（填序号），达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为17%；（2）请对该校学生睡眠时间的情况做出评价，并提出两条合理化建议．【分析】（1）由中位数的定义即可得出结论；用样本中每天睡眠时间达到9小时的学生人数除以样本容量即可；（2）根据（1）中求出的每天睡眠时间达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比可对该校学生睡眠时间的情况做出评价，并提出两条建议，答案不唯一．解：（1）由统计图可知，抽取的这500名学生平均每天睡眠时间的中位数为第250个和第251个数据的平均数，故落在第③组；睡眠达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为：×100%＝17%，故答案为：③，17%．（2）答案不唯一，言之有理即可．例如：该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；建议①：该校各学科授课老师精简家庭作业内容，师生一起提高在校学习效率；建议②：建议学生减少参加校外培训班，校外辅导机构严禁布置课后作业．【点评】本题考查的是频数分布直方图和扇形统计图的知识，读懂频数分布直方图和利用统计图获取信息是解题的关键．19．某服装店销售的衬衫原来每件的售价为80元，经过两次降价后每件的售价为64.8元，并且每次降价的百分率相同．（1）求该衬衫每次降价的百分率；（2）若该衬衫每件的进价为60元，该服装店计划通过以上两次降价的方式，将库存的该衬衫40件全部售出，并且确保两次降价销售的总利润不少于282元，那么第一次降价时至少售出多少件后，方可进行第二次降价？【分析】（1）设该衬衫每次降价的百分率为x，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣每次降价的百分率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论；（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（40﹣a）件，利用总利润＝每件的销售利润×销售数量，结合总利润不少于282元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论．解：（1）设该衬衫每次降价的百分率为x，依题意得：80（1﹣x）2＝64.8，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：该商品每次降价的百分率是10%．（2）设第一次降价售出a件，则第二次降价售出（40﹣a）件，依题意得：[80×（1﹣10%）﹣60]a+（64.8﹣60）（40﹣a）≥282，解得：a≥12.5，又∵a为整数，∴a的最小值是13．答：第一次降价时至少售出13件后，方可进行第二次降价．【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．20．新冠疫情控制后，旅游市场全面复苏．某区域旅游吸引了大量中外游客前来参观，如果游客过多，对进景区的游客健康检查、拥堵等问题会产生不利影响，但也要保证一定的门票收入，因此景区采取了涨浮门票价格的方法来控制旅游人数，在该方法实施过程中发现每周旅游人数与票价之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求出这个一次函数关系式．（2）如果要保证每周3000万元的门票收入，那么每周应限定旅游人数是多少人？门票价格应是多少元？【分析】（1）可先用待定系数法求出参观人数和票价的函数关系式；（2）根据参观人数×票价＝40000元，来求出自变量的值．解：（1）设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y＝kx+b，把（150，25），（200，20）代入y＝kx+b中得，解得，∴y＝﹣0.1x+40，（2）根据确保每周4万元的门票收入，得xy＝3000，即x（﹣0.1x+40）＝3000，x2﹣400x+3000＝0，解得x1＝100，x2＝300，把x1＝100，x2＝300分别代入y＝﹣0.1x+40中，得y1＝30，y2＝10，因为控制参观人数，所以取x＝300，y＝10，∴每周应限定参观人数是10万人，门票价格应是300元/人．【点评】此题考查了一次函数的应用及一元二次方程的应用、一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值还必须使实际问题有意义．21．如图，在矩形ABCD中、AB＝15cm，AD＝5cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．（1）当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？（2）四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．【分析】（1）可通过构建直角三角形来求解．过Q作QM⊥AB于M，如果设出发x秒后，QP＝13cm．那么可根据路程＝速度×时间，用未知数表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值．（1）利用矩形的性质得出当AP＝DQ时，四边形APQD为矩形求出即可；解：（1）设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm．则AP＝3t，CQ＝2t，作QM⊥AB于M，则PM＝|15﹣2t﹣3t|＝|15﹣5t|，（15﹣5t）2+52＝132，解得：t＝0.6或t＝5.4，答：P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm；（2）四边形APDQ的形状有可能为矩形；理由：当四边形APQD为矩形，则AP＝DQ，即3t＝15﹣2t，解得：t＝3．答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，本题结合几何知识并根据题意列出方程是解题的关键．22．如图，已知四边形ABCD是正方形AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连CG．（1）求证：DE＝EF；（2）探究CE+CG的值是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；【分析】（1）作出辅助线，得到EN＝EM，然后判断∠DEN＝∠FEM，得到△DEN≌△FEM，则有DE＝EF即可；（2）同（1）的方法判断出△ADE≌△CDG得到CG＝AE，即：CE+CG＝CE+AE＝AC＝4．【解答】（1）证明：如图，作EM⊥BC，EN⊥CD∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°