2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学海沧附校八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年福建省厦门市思明区双十中学海沧附校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥22．下列计算正确的是（）A．+＝ B．2+＝2 C．3﹣＝2 D．＝63．下列式子中，为最简二次根式的是（）A． B． C． D．4．如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是（）A．AB B．AD C．CE D．AC5．下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．12，18，22 D．7，8，96．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（）A．4 B．3 C．3.5 D．27．对某班同学每周用在课外阅读上的时间进行调查，随机抽取了30名学生的数据如表：时间/（h）1.01.52.02.53.03.5人数239853这些数据的众数，中位数分别是（）A．2.5，2.0 B．2.5，2.5 C．2.0，2.5 D．2.0，2.08．在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB＝CD④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③10．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．4二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（）2＝；＝；×；2＝．12．在▱ABCD中，若∠A＝80°，则∠C的度数为．13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD边的中点，连接OM，若OM＝2，则BC的长是．14．如图，点A（4，0），C（﹣1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为．15．某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差（填“变小”、“不变”、“变大”）．16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为．三、解答题（本题有9小题，共86分）17．（1）；（2）．18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．求证：AF＝CE．19．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形．（1）现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：.（填一个序号即可）（2）在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形．20．如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，CD的中点为N，连接BN，AN，BD，求证：BD与AN互相平分．21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图中，画一个三角形，使它们的三边长分别为AB＝、BC＝2、AC＝．（2）求AC边上的高．22．甲、乙两家零件加工厂都是以计件的方式计算工人的日工资，具体方案如下：甲工厂：基本工资为70元/日，每加工一件零件奖励2元；乙工厂：全部按件数计算工资．若当日加工零件数不超过40，每件按4元计算工资；若当日加工零件数超过40，超过部分每件多奖励2元．下表是某月份（30天）两家工厂人均日加工零件数的统计表：人均日加工零件数（件）3839404142甲加工厂天数139431乙加工厂天数77853根据以上信息，以该月份的数据为依据，并将各加工厂的人均日加工零件数视为该加工厂各工人的日加工零件数，解决以下问题：（1）求该月甲工厂各工人的日平均加工零件数；（2）小军拟到这两家零件加工厂中的一家应聘工人．如果仅从工资收入的角度考虑，请帮小军作出选择，并说明理由．23．已知m组正整数：第一组：（4，3，5）；第二组：（6，8，10）；第三组：（8，15，17）；第四组：（10，24，26）；第五组：（12，35，37）；…（1）写出符合上述规律的第六组三个数：；（2）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80？若存在，请求出这组数；若不存在，请说明理由；（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．24．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．（1）如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＝45°，试探究AF，FO，EG之间的数量关系，并证明．25．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝度；（2）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．边AC上是否存在点E，使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，求出所有E点的位置；若不存在，请说明理由．

参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A．a＞2 B．a≤2 C．a≠2 D．a≥2【分析】二次根式的被开方数是非负数．解：依题意，得a﹣2≥0，解得，a≥2．故选：D．2．下列计算正确的是（）A．+＝ B．2+＝2 C．3﹣＝2 D．＝6【分析】根据同类二次根式的概念、合并同类二次根式法则、二次根式的性质逐一判断即可得．解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；B．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；C．3﹣＝2，此选项正确；D．＝＝，此选项计算错误；故选：C．3．下列式子中，为最简二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义，逐项进行判断即可．解：A.的被开方数是整数，且不含有能开得尽方的数，因此是最简二次根式，所以选项A符合题意；B.＝，因此选项B不符合题意；C.＝2，因此选项C不符合题意；D.＝|a|，因此选项D不符合题意；故选：A．4．如图，AD，CE是△ABC的高，过点A作AF∥BC，则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是（）A．AB B．AD C．CE D．AC【分析】根据平行线之间的距离的定义解答即可．解：表示图中两条平行线之间的距离的是AD，故选：B．5．下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4 B．3，4，5 C．12，18，22 D．7，8，9【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．解：A．∵22+32＝4+9＝13，42＝16，∴22+32≠42，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；B．∵32+42＝9+16＝25，52＝25，∴32+42＝52，∴三角形是直角三角形，故本选项符合题意；C．∵122+182＝144+324＝468，222＝484，∴122+182≠222，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵72+82＝49+64＝113，92＝81，∴72+82≠92，∴三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．6．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，∠ABC的平分线BE交AD于点E，则DE的长是（）A．4 B．3 C．3.5 D．2【分析】根据角平分线及平行线的性质可得∠ABE＝∠AEB，继而可得AB＝AE，根据ED＝AD﹣AE＝AD﹣AB即可得出答案．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠AEB，∴AB＝AE，∴ED＝AD﹣AE＝AD﹣AB＝5﹣3＝2．故选：D．7．对某班同学每周用在课外阅读上的时间进行调查，随机抽取了30名学生的数据如表：时间/（h）1.01.52.02.53.03.5人数239853这些数据的众数，中位数分别是（）A．2.5，2.0 B．2.5，2.5 C．2.0，2.5 D．2.0，2.0【分析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．解：∵2.0出现了9次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是2.0；把这些数从小到大排列，中位数是第15、16个数的平均数，则中位数是＝2.5．故选：C．8．在四边形ABCD中：①AB∥CD②AD∥BC③AB＝CD④AD＝BC，从以上选择两个条件使四边形ABCD为平行四边形的选法共有（）A．3种 B．4种 C．5种 D．6种【分析】根据平行四边形的判定方法中，①②、②④、①③、③④均可判定是平行四边形．解：根据平行四边形的判定，符合条件的有4种，分别是：①②、②④、①③、③④．故选：B．9．如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列结论：①x2+y2＝49；②x﹣y＝2；③2xy+4＝49；④x+y＝7．其中正确的结论是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①③【分析】由题意知，①﹣②可得2xy＝45记为③，①+③得到（x+y）2＝94由此即可判断．解：由题意知，由①﹣②得2xy＝45③，∴2xy+4＝49，①+③得x2+2xy+y2＝94，∴（x+y）2＝94，∴x+y＝．∴结论①②③正确，④错误．故选：C．10．如图，在▱ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠D＝60°，点P、Q分别是AC和BC上的动点，在点P和点Q运动的过程中，PB+PQ的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．4【分析】取BC的中点G，连接AG．首先证明∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，则FE的长即为PB+PQ的最小值，解：取BC的中点G，连接AG．∵AB＝BG＝2，∠ABG＝∠D＝60°，∴△ABG是等边三角形，∴AG＝GC＝2，∠AGB＝∠BAG＝60°，∴∠GAC＝∠GCA＝30°，∴∠BAC＝90°，作点B关于AC的对称点F，连接CF，作FE⊥BC于E，∵CF＝CB，∠CBF＝60°，∴△BCF是等边三角形，∵PB＝PF，∴PB+PQ＝FP+PQ≤FE，则EF的长即为PB+PQ的最小值（垂线段最短），∵EF＝×4＝2，∴BP+PQ的最小值为2．故选：C．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（）2＝7；＝3；×5；2＝．【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：（）2＝7，＝＝3，×＝＝5，2＝2×＝，故答案为：7，3，5，．12．在▱ABCD中，若∠A＝80°，则∠C的度数为80°．【分析】根据平行四边形的对角相等即可求解．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴∠C＝∠A＝80°．故答案为80°．13．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是CD边的中点，连接OM，若OM＝2，则BC的长是4．【分析】只要证明OM是△DBC的中位线即可解决问题；解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD＝OB，∵M是CD中点，∴DM＝MC，∴BC＝2OM＝4，故答案为4．14．如图，点A（4，0），C（﹣1，0），以点A为圆心，AC长为半径画弧，交y轴的正半轴于点B，则点B的坐标为（0，3）．【分析】根据已知可得AB＝AC＝5，OA＝4．利用勾股定理即可求解．解：根据已知可得：AB＝AC＝5，OA＝4．在Rt△ABO中，OB＝＝3．∴B（0，3）．故答案为：（0，3）．15．某班有50人，一次数学测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小颖没有参加此次集体测试，因此计算其他49人的平均分为92分，方差s2＝23．后来小颖进行了补测，成绩是92分，则该班50人的数学测试成绩的方差变小（填“变小”、“不变”、“变大”）．【分析】根据平均数，方差的定义计算即可．解：∵小颖的成绩和其他49人的平均数相同，都是92分，∴该班50人的测试成绩的平均分为92分，方差变小，故答案为：变小．16．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝OB，点E，F分别是OA，OD的中点，连接EF，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，若∠CEF＝45°，FN＝5，则线段BC的长为4．【分析】设EF＝x，根据三角形的中位线定理表示AD＝2x，AD∥EF，可得∠CAD＝∠CEF＝45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM＝45°，证明△ENF≌△MNB，则EN＝MN＝x，BN＝FN＝5，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．解：设EF＝x，∵点E、点F分别是OA、OD的中点，∴EF是△OAD的中位线，∴AD＝2x，AD∥EF，∴∠CAD＝∠CEF＝45°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC＝2x，∴∠ACB＝∠CAD＝45°，∵EM⊥BC，∴∠EMC＝90°，∴△EMC是等腰直角三角形，∴∠CEM＝45°，连接BE，∵AB＝OB，AE＝OE∴BE⊥AO∴∠BEM＝45°，∴BM＝EM＝MC＝x，∴BM＝FE，易得△ENF≌△MNB，∴EN＝MN＝x，BN＝FN＝5，Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2＝BM2+MN2，即，解得，x＝2，∴BC＝2x＝4．故答案为：4．三、解答题（本题有9小题，共86分）17．（1）；（2）．【分析】（1）先利用平方差公式计算，再把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；（2）根据二次根式的乘法法则运算．解：（1）原式＝3﹣2+3﹣1＝+2；（2）原式＝﹣＝6﹣2＝4．18．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，CD上，且BE＝DF．求证：AF＝CE．【分析】根据ABCD是平行四边形，得出AB＝CD，AB∥CD，由BE＝DF，从而可得到AE＝CF，再根据有一组边平行且相等的四边形是平行四边形推出CFAF是平行四边形，从而不难得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∵BE＝DF∴AE＝CF∵AB∥CD∴四边形CEAF是平行四边形∴AF＝EC．19．如图，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，添加个条件，使得四边形AECF为平行四边形．（1）现有四个条件：①BE＝DF；②AF∥CE；③AE＝CF；④∠BAE＝∠DCF．你添加的条件是：①BE＝DF，②AF∥CE，④∠BAE＝∠DCF.（填一个序号即可）（2）在（1）的基础上，求证：四边形AECF是平行四边形．【分析】（1）根据平行四边形的判定解答即可；（2）根据平行四边形的判定解答即可．解：（1）填①②④的任意一个都正确；故答案为：①BE＝DF，②AF∥CE，④∠BAE＝∠DCF；（2）以①BE＝DF为例，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵BE＝DF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．以②AF∥CE为例，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形；以④∠BAE＝∠DCF为例，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵∠BAE＝∠DCF，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD，∴∠AEF＝∠CFE，∴AE∥CF，∴四边形AECF是平行四边形．20．如图，C为线段AB外一点．（1）求作四边形ABCD，使得CD∥AB，且CD＝2AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的四边形ABCD中，CD的中点为N，连接BN，AN，BD，求证：BD与AN互相平分．【分析】（1）先作∠ECF＝∠ABC得到CF∥AB，然后在CF上截取CD＝2AB；（2）通过证明四边形ABND为平行四边形得到BD与AN互相平分．【解答】（1）解：如图，四边形ABCD为所作；（2）证明：∵CD的中点为N，CD＝2AB，∴DN＝AB，∵CD∥AB，∴四边形ABND为平行四边形，∴BD与AN互相平分．21．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图中，画一个三角形，使它们的三边长分别为AB＝、BC＝2、AC＝．（2）求AC边上的高．【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）利用面积法求解即可．解：（1）如图，△ABC即为所求作．（2）设AC边上的高为h，∵AB＝、BC＝2、AC＝，∴AC2＝AB2+BC2，∴∠B＝90°，∴•AC•h＝•AB•BC，∴h＝．22．甲、乙两家零件加工厂都是以计件的方式计算工人的日工资，具体方案如下：甲工厂：基本工资为70元/日，每加工一件零件奖励2元；乙工厂：全部按件数计算工资．若当日加工零件数不超过40，每件按4元计算工资；若当日加工零件数超过40，超过部分每件多奖励2元．下表是某月份（30天）两家工厂人均日加工零件数的统计表：人均日加工零件数（件）3839404142甲加工厂天数139431乙加工厂天数77853根据以上信息，以该月份的数据为依据，并将各加工厂的人均日加工零件数视为该加工厂各工人的日加工零件数，解决以下问题：（1）求该月甲工厂各工人的日平均加工零件数；（2）小军拟到这两家零件加工厂中的一家应聘工人．如果仅从工资收入的角度考虑，请帮小军作出选择，并说明理由．【分析】（1）根据加权平均数公式计算即可；（2）计算平均工资，通过比较平均工资进行判断即可．解：（1）该月甲工厂各工人的日平均加工零件数为：40+＝40+（﹣1）＝39（件）；（2）由（1）及甲工厂工资方案可知：甲工厂工人的日平均工资为：70+39×2＝148（元），乙工厂工人的日平均工资为：[40+]×4+×6＝159.4（元），因为159.4＞148，所以仅从工资收入的角度考虑，小军应到乙工厂应聘．23．已知m组正整数：第一组：（4，3，5）；第二组：（6，8，10）；第三组：（8，15，17）；第四组：（10，24，26）；第五组：（12，35，37）；…（1）写出符合上述规律的第六组三个数：48，14，50；（2）是否存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80？若存在，请求出这组数；若不存在，请说明理由；（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，是否一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数？若可以，请说明理由；若不可以，请举出反例．【分析】（1）根据题意可知，这n组正整数符合规律m2﹣1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．（2）分三种情况：m2﹣1＝80；2m＝80；m2+1＝80；进行讨论即可求解；（3）由于（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，根据勾股定理的逆定理即可求解．解：（1）这n组正整数符合规律m2﹣1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．所以第六组三个数为：48，14，50；故答案为：48，14，50；（2）存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80．理由如下：根据题意可知，这n组正整数符合规律m2﹣1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．若m2﹣1＝80，则m2＝81，此时m符合题意；若2m＝80，则m＝40，此时m符合题意；若m2+1＝80，则m2＝79，此时m不符合题意．所以存在一组数，存在一组数，既符合上述规律，且其中一个数为80，是（80，1599，1601）或（18，80，82）；（3）以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．理由如下：对于一组数：m2﹣1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数）．因为（m2﹣1）2+（2m）2＝m4+2m2+1＝（m2+1）2，所以若一个三角形三边长分别为m2﹣1，2m，m2+1（m≥2，且m为整数），则该三角形为直角三角形．因为当m≥2，且m为整数时，2m表示任意一个大于2的偶数，m2﹣1，m2+1均为正整数，所以以任意一个大于2的偶数为一条直角边的长，一定可以画出一个直角三角形，使得该直角三角形的另两条边的长都是正整数．24．如图，在平行四边形ABCD中，O是对角线AC的中点，过点O作OE⊥BC交BC于点E．过点O作FG⊥AB交AB、CD于点F、G．（1）如图1，若BC＝5，OE＝3，求平行四边形ABCD的面积；（2）如图2，若∠ACB＝45°，试探究AF，FO，EG之间的数量关系，并证明．【分析】（1）连接BD，求出S△OBC，再根据平行四边形的性质得出平行四边形的面积与S△OBC的关系求得结果；（2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，证明△OEG≌△CEH得OG＝CH，EG＝EH，再证明△OAF≌△OCG，得AF＝CG，OF＝OG，进而根据等腰直角三角形的性质得结论．解：（1）连接BD，∵平行四边形ABCD，∴BD过点O，∴S△OBC＝BC•OE＝×5×3＝．∴平行四边形ABCD的面积＝4S△O