2022-2023学年北师大版中考数学一轮复习《一次函数综合解答题》（含答案）

2022-2023学年北师大版中考数学一轮复习《一次函数综合解答题》（附答案）1．阅读材料：通过一次函数的学习，小明知道：当已知直线上两个点的坐标时，可以用待定系数法，求出这个一次函数的表达式．有这样一个问题：直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，若直线l2与直线l1关于y轴对称，求直线l2的表达式．下面是小明的解题思路，请补充完整．第一步：求出直线l1与x轴的交点A的坐标，与y轴的交点B的坐标；第二步：在平面直角坐标系中，作出直线l1；第三步：求点A关于y轴的对称点C的坐标；第四步：由点B，点C的坐标，利用待定系数法，即可求出直线l2的表达式．小明求出的直线l2的表达式是．请你参考小明的解题思路，继续解决下面的问题：（1）若直线l3与直线l1关于直线y＝x对称，则直线l3的表达式是；（2）若点M（m，3）在直线l1上，将直线l1绕点M顺时针旋转90°．得到直线l4，求直线l4的表达式．2．直线AB：y＝﹣x+b分别与x，y轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），过点B的直线交x轴负半轴于点C，且OB：OC＝3：1．（1）求点B的坐标及直线BC的解析式；（2）在x轴上方存在点D，使以点A，B，D为顶点的三角形与△ABC全等，画出△ABD并请直接写出点D的坐标；（3）在线段OB上存在点P，使点P到点B，C的距离相等，求出点P的坐标．3．在平面直角坐标系xOy中，点A（0，4），B（3，0），以AB为边在第一象限内作正方形ABCD，直线l：y＝kx+3．（1）当直线l经过D点时，求点D的坐标及k的值；（2）当直线l与正方形有两个交点时，直接写出k的取值范围．4．在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2．若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图①为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，0），（1）若点B的坐标为（3，1），求点A，B的“相关矩形”的面积；（2）点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；（3）若点D的坐标为（4，2），将直线y＝2x+b平移，当它与点A，D的“相关矩形”没有公共点时，求出b的取值范围．5．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，3），B（6，3），连接AB．若对于平面内一点P，线段AB上存在点Q，使得PQ≤1，则称点P是线段AB的“邻近点”．（1）判断点C（1，4），D（3，4）中，是线段AB的“邻近点”的是；（2）若点H（m，n）在一次函数y＝x﹣1的图象上，且是线段AB的“邻近点”，求m的取值范围．（3）若一次函数y＝x+b的图象上至少存在一个线段AB的“邻近点”，则b的取值范围是．6．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90，AB＝AC，D是BC上一动点，P是边AC的中点，过点D作DE⊥BC，交AB或AC于点E，连接PE，PD．已知BC＝6cm，设B，D两点间的距离为xcm，E，D两点间的距离为y1cm，P，D两点间的距离为y2cm．小乐根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小乐的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点，画图，测量，分别得到了为y1，y2与x的几组对应值：x/cm01.011.612.4333.5244.715.166y1/cm01.011.612.4332.4821.290.840y2/cm4.753.813.262.56m1.801.591.521.642.12则m＝．（2）如图，y2的函数图象已经给出，在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），并画出y1的函数图象；（3）结合函数图象，解决问题：当△PDE为等腰三角形，且PD＝DE时，BD的长度约为．7．一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x、y轴交于点A、B．（1）直接写出△AOB的面积为；（2）点P（x，y）是坐标平面内的点，且满足△APB的面积是△AOB的面积的3倍，直接写出y与x的函数关系式；（3）若点C是线段AB的中点，点P在正比例函数y＝﹣x的图象上，设以点A、C、O、P为顶点的四边形的面积为S，当8≤S≤10时，求点P的纵坐标的取值范围．8．在平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）的“关联点”的坐标定义如下：当a≥b时，Q点坐标为（a，﹣b）；当a＜b时，Q点坐标为（a﹣2，b）．（1）点A（3，2）的“关联点”坐标是，点B（﹣2，1）的“关联点”坐标是．（2）已知点C在一次函数y＝x+1的图象上，且点C的“关联点”为点D．①若点D的坐标为（m，﹣4），求m的值；②设所有的点C的“关联点”为点D组成一个新的图形，记作图形G．（i）一次函数y＝﹣x+1的图象与图形G的交点坐标是；（ii）当k满足时，一次函数y＝kx﹣2k的图象与图形G只有一个交点．9．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，点E是边BC上一动点，连接DE，过点E作DE的垂线交直线AB于点F，已知AD＝4cm，AB＝2cm，BC＝5cm，设CE的长为xcm，BF的长为ycm．小帅，根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究，下面是小帅的探究过程，请补充完整：（1）通过取点画图，测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm00.511.522.533.544.55y/cm2.51.100.91.521.90.90（说明：补全表格时相关数据保留一位小数）（2）建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当CE＝BF时，CE的长度约为cm．10．阅读下列材料：①直线l外一点P到直线l的垂线段的长度，叫做点P到直线l的距离，记作d（p，l）；②两条平行线l1，l2，直线l1上任意一点到直线l2的距离，叫做这两条平行线l1，l2之间的距离，记作d（l1，l2）；③若直线l1，l2相交，则定义d（l1，l2）＝0；④对于同一直线l我们定义d（l，l）＝0；⑤对于两点P1，P2和直线l1，l2，定义两点P1，P2的“l1，l2﹣相关距离”如下：d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）．根据以上材料，解决以下问题：设P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，l3：y＝kx，l4：y＝kx+b，l5：y＝k′x．（1）①d（P1，l1）＝，②d（P1，P2|l1，l2）＝；（2）①若k＞0，则d（P1，P2|l3，l3）的最大值为；②若k＜0，b＝﹣2，则d（P1，P2|l4，l4）取最大值时，k的值为；③若k′＞k＞0，且l3，l5的夹角是30°，则d（P1，P2|l3，l5）的最大值为；（3）若k＝1，试确定d（P1，P2|l3，l4）的值（用含b的代数式表示）．11．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8cm，BC＝5cm，P是AB边上一动点，连接PC，设P，A两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为ycm．（当点P与点A重合时，x的值为0）小东根据学习一次函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小东的探究过程：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表，请补充完整：（说明：相关数值保留一位小数）x/cm01.02.03.04.04.95.56.06.57.07.58.0y/cm6.25.54.94.03.94.04.14.24.44.7（2）建立平面直角坐标系（图2），描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当y取最小值时，x的值约为多少cm．（结果保留一位小数）②当PC＝2PA时，PA的长度约为多少cm．（结果保留一位小数）12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，点P是斜边AB上一点（点P不与点A，B重合），过点P作PQ⊥AB于P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP＝x，△APQ的面积为y．小明根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变换而变化的规律进行了探究．下面是小明的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量、计算，得到了x与y的几组值，如下表：x……0.81.01.42.03.04.04.54.85.05.5……y……0.20.30.61.22.64.65.85.0m2.4……经测量、计算，m的值是（保留一位小数）．（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合几何图形和函数图象直接写出，当QP＝CQ时，x的值是．13．在平面直角坐标系xOy中，如果P，Q为某个菱形相邻的两个顶点，且该菱形的两条对角线分别与x轴，y轴平行（不包括重合），那么称该菱形为点P，Q的“相关菱形”．图1为点P，Q的“相关菱形”的一个示意图．已知点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（b，0），（1）如果b＝3，那么R（﹣1，0），S（5，4），T（6，4）中能够成为点A，B的“相关菱形”顶点的是；（2）如果点A，B的“相关菱形”为正方形，求直线AB的表达式；（3）如图2，在矩形OEFG中，F（3，2）．点M的坐标为（m，3），如果在矩形OEFG上存在一点N，使得点M，N的“相关菱形”为正方形，直接写出m的取值范围．14．对于平面直角坐标系xOy中的点P与图形W，给出如下的定义：在点P与图形W上各点连接的所有线段中，最短线段的长度称为点P与图形W的距离，特别的，当点P在图形W上时，点P与图形W的距离为零．如图1，点A（1，3），B（5，3）．（1）点E（0，1）与线段AB的距离为；点F（5，1）与线段AB的距离为；（2）若直线y＝x﹣2上的点P与线段AB的距离为2，求出点P的坐标；（3）如图2，将线段AB沿y轴向上平移2个单位，得到线段DC，连接AD，BC，若直线y＝x+b上存在点P，使得点P与四边形ABCD的距离小于或等于1，请直接写出b的取值范围为．15．在平面直角坐标系xOy中，对于与坐标轴不平行的直线l和点P，给出如下定义：过点P作x轴，y轴的垂线，分别交直线l于点M，N，若PM+PN≤4，则称P为直线l的近距点，特别地，直线上l所有的点都是直线l的近距点．已知点A（﹣，0），B（0，2），C（﹣2，2）．（1）当直线l的表达式为y＝x时，①在点A，B，C中，直线l的近距点是；②若以OA为边的矩形OAEF上所有的点都是直线l的近距点，求点E的纵坐标n的取值范围；（2）当直线l的表达式为y＝kx时，若点C是直线l的近距点，直接写出k的取值范围．16．在平面直角坐标系xOy中，对于任意三点A、B、C我们给出如下定义：“横长”a：三点中横坐标的最大值与最小值的差，“纵长”b：三点中纵坐标的最大值与最小值的差，若三点的横长与纵长相等，我们称这三点为正方点．例如：点A（﹣2，0），点B（1，1），点C（﹣1，﹣2），则A、B、C三点的“横长”a＝|1﹣（﹣2）|＝3，A、B、C三点的“纵长”b＝|1﹣（﹣2）|＝3．因为a＝b，所以A、B、C三点为正方点．（1）在点R（3，5），S（3，﹣2），T（﹣4，﹣3）中，与点A、B为正方点的是；（2）点P（0，t）为y轴上一动点，若A，B，P三点为正方点，t的值为；（3）已知点D（1，0）．①平面直角坐标系中的点E满足以下条件：点A，D，E三点为正方点，在图中画出所有符合条件的点E组成的图形；②若直线l：y＝x+m上存在点N，使得A，D，N三点为正方点，直接写出m的取值范围．17．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4cm，BD＝2cm，E，F分别是AB，BC的中点，点P是对角线AC上的一个动点，设AP＝xcm，PE＝y1cm，PF＝y2cm．小明根据学习函数的经验，分别对这两种函数随自变量的变化而变化的情况进行了探究，下面是小明探究过程，请补充完整：（1）画函数y1的图象①按表中自变量的值进行取点、画图、测量，得到了y1与x的几组对应值：x/cm00.511.522.533.54y1/cm1.120.50.711.121.582.062.553.04②在图2所给坐标系中描出补全后的表中的各对应值为坐标的点，画出函数y1的图象；（2）画函数y2的图象，在同一坐标系中，画出函数y2的图象；（3）根据画出的函数y1的图象、函数y2的图象，解决问题①函数y1的最小值是；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点表示的含义是；③若PE＝PC，AP的长约为cm18．对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“距离“，记作d（M，N）．特别的，当图形M，N有公共点时，记作d（M，N）＝0．一次函数y＝kx+2的图象为L，L与y轴交点为D，△ABC中，A（0，1），B（﹣1，0），C（1，0）．（1）求d（点D，△ABC）＝；当k＝1时，求d（L，△ABC）＝；（2）若d（L，△ABC）＝0，直接写出k的取值范围；（3）函数y＝x+b的图象记为W，若d（W，△ABC）≤1，求出b的取值范围．19．在平面直角坐标系xOy中，若P，Q为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”．图1为点P，Q的“相关矩形”的示意图．已知点A的坐标为（1，2）．（1）如图2，点B的坐标为（b，0）．①若b＝﹣2，则点A，B的“相关矩形”的面积是；②若点A，B的“相关矩形”的面积是8，则b的值为．（2）如图3，点C在直线y＝﹣1上，若点A，C的“相关矩形”是正方形，求直线AC的表达式；（3）如图4，等边△DEF的边DE在x轴上，顶点F在y轴的正半轴上，点D的坐标为（1，0）．点M的坐标为（m，2），若在△DEF的边上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，请直接写出m的取值范围．20．对于平面直角坐标系xOy中的图形W和点P，给出如下定义：F为图形W上任意一点，将P，F两点间距离的最小值记为m，最大值记为M，称M与m的差为点P到图形W的“差距离”，记作d（P，W），即d（P，W）＝M﹣m，已知点A（2，1），B（﹣2，1）（1）求d（O，AB）；（2）点C为直线y＝﹣1上的一个动点，当d（C，AB）＝1时，点C的横坐标是；（3）点D为函数y＝x+b（﹣2≤x≤2）图象上的任意一点，当d（D，AB）≤2时，直接写出b的取值范围．

参考答案1．解：∵直线l1的表达式为y＝﹣2x+4，∴直线l1与x轴的交点A的坐标为（2，0），与y轴的交点B的坐标为（0，4），∴点A关于y轴的对称点C的坐标为（﹣2，0）．设直线BC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得k＝2，∴直线l2的表达式为：y＝2x+4．故答案为：y＝2x+4；（1）∵A（2，0），B（0，4），∴A、B两点的坐标关于直线y＝x的对称点分别为E（0，2），F（4，0），设直线EF的解析式为y＝ax+c，则，解得，∴直线l3的表达式为：y＝﹣x+2．故答案为：y＝﹣x+2；（2）过M点作直线l4⊥l1，l4交y轴于点D，作MN⊥y轴于点N．∵点M（m，3）在直线l1上，∴﹣2m+4＝3，∴m＝，∴MN＝，BN＝1，∴BM＝．设ND＝a，则MN＝，BN＝1，BD＝a+1，由勾股定理得：（a+1）2＝a2+（）2+（）2，解得：a＝∴D（0，）．设直线l4的表达式y＝kx+把M（，3）代入得：k＝∴直线l4的表达式y＝x+．2．解：（1）把A（3，0）代入y＝﹣x+b，得b＝3，∴B（0，3），∴OB＝3，∵OB：OC＝3：1，∴OC＝1，∵点C在x轴负半轴上，∴C（﹣1，0），设直线BC的解析式为y＝mx+n，把B（0，3）及C（﹣1，0）代入，得，解得．∴直线BC的解析式为：y＝3x+3；（2）如图，进而得出D1（4，3），D2（3，4）；（3）由题意，PB＝PC，设PB＝PC＝x，则OP＝3﹣x，在Rt△POC中，∠POC＝90°，∴OP2+OC2＝PC2，∴（3﹣x）2+12＝x2，解得，x＝，∴OP＝3﹣x＝，∴点P的坐标（0，）．3．解：（1）如图，过D点作DE⊥y轴，则∠AED＝∠1+∠2＝90°．在正方形ABCD中，∠DAB＝90°，AD＝AB．∴∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3．又∵∠AOB＝∠AED＝90°，在△AED和△BOA中，，∴△AED≌△BOA，∴DE＝AO＝4，AE＝OB＝3，∴OE＝7，∴D点坐标为（4，7），把D（4，7）代入y＝kx+3，得k＝1；（2）当直线y＝kx+3过B点时，把（3，0）代入得：0＝3k+3，解得：k＝﹣1．所以当直线l与正方形有两个交点时，k的取值范围是k＞﹣1．4．解：（1）∵A（1，0），B（3，1）由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为2和1，∴点A，B的“相关矩形”的面积为2×1＝2；（2）由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线，又∵点A，C的“相关矩形”为正方形∴直线AC与x轴的夹角为45°，设直线AC的解析为：y＝x+m或y＝﹣x+n把（1，0）分别y＝x+m，∴m＝﹣1，∴直线AC的解析为：y＝x﹣1，把（1，0）代入y＝﹣x+n，∴n＝1，∴y＝﹣x+1，综上所述，若点A，C的“相关矩形”为正方形，直线AC的表达式为y＝x﹣1或y＝﹣x+1；（3）把A（1，0），D（4，2）分别代入y＝2x+b±2，得出b＝0，或b＝﹣8，∴b＞0或b＜﹣85．解：（1）由点C、D、A的坐标知，点C、D在点A的正上方，间隔和距离均为1的位置，其中点C到点A的最小距离（也是到线段AB的最小距离）为＝1，而点D到直线AB的最小距离为4﹣3＝1，故答案为D；（2）如图1，由题意知，符合条件的点在AB周围类似操场的环形跑道（两侧为半径为2的半圆）内的部分，当y＝2时，即2＝y＝x﹣1，解得x＝3，即点E的坐标为（3，2），当y＝4时，即4＝y＝x﹣1，解得x＝5，即点E的坐标为（5，2），即3≤m≤5；（3）如图2，由（2）知，当直线m、n和类似操场的环形跑道两侧半圆相切时，为题设的临界点，设直线m和半圆的切点为D，直线AB交直线m于点F，由直线m的表达式知，∠DFA＝45°，则AF＝AD＝，故点F的坐标为（2﹣，3），将点F的坐标代入y＝x+b并解得b＝1+；同理点E的坐标为（6+，3），将点E的坐标代入y＝x+b并解得b＝﹣3﹣；∴﹣3﹣≤b≤1．故答案为：﹣3﹣≤b≤1．6．解：（1）当x＝3时，如图1，此时点A、E重合，则x＝BD＝3＝AD，则DP为Rt△ADC的中线，故y2＝DP＝AC＝AB×＝≈2.12，故答案为2.12；（2）根据表格数据描点绘图如下：（3）因为DE＝PD时，即y1＝y2，则（2）中图象的交点的横坐标，即为所求点，从图上看x≈2.49或4.59（答案不唯一）；BD的长度约为2.49或4.59．故答案为2.49或4.59．7．解：（1）∵一次函数y＝﹣x+2的图象分别与x、y轴交于点A、B，∴A（4，0），B（0，2），∴△AOB的面积为：＝4，故答案为4；（2）如图1，∵△APB的面积是△AOB的面积的3倍，∴点P在平行于AB，且到AB的距离为3OG的直线EF、直线MN上，因此有HG＝3GO，GK＝3GO，即：＝，＝，由△AOB∽△EOF，△AOB∽△MON得，＝＝，＝＝，∵OB＝2，∴OF＝4，ON＝8，∴F（0，﹣4），N（0，8），∴直线MN的关系式为：y＝﹣x﹣4，直线MN的关系式为：y＝﹣x+8，故答案为y＝﹣x+8或y＝﹣x﹣4；（3）①如图2﹣1，点P在正比例函数y＝﹣x（x＞0）的图象上，即在第四象限内的直线上，∵点C是AB的中点，A（4，0），B（0，2），∴C（2，1）∵S△AOC＝×4×1＝2，8≤S四边形OCAP≤10，∴6≤S△OAP≤8，即：6≤×4×PD≤8，∴3≤PD≤4，此时点P的纵坐标y的取值范围为：﹣4≤yP≤﹣3；②如图2﹣2，点P在正比例函数y＝﹣x（x＜0）的图象上，即在第二象限内的直线上，∵S△PCA＝S△OCA＝×4×1＝2，8≤S四边形OCAP≤10，∴6≤S△OAP≤8，即：6≤×4×PD≤8，∴3≤PD≤4，此时点P的纵坐标y的取值范围为：3≤yP≤4；综上所述，点P的纵坐标y的取值范围为：3≤yP≤4或﹣4≤yP≤﹣3；8．解：（1）A（3，2）的“关联点”坐标是（3，﹣2），点B（﹣2，1）的“关联点”坐标是（﹣4，1）．故答案为（3，﹣2），（﹣4，1）；（2）∵点C在一次函数y＝x+1的图象上，∴C（x，x+1），∵点C的“关联点”为点D，∴D（x，﹣x﹣1）或（x﹣2，x+1），①若点D的坐标为（m，﹣4），∴﹣x﹣1＝﹣4，或x+1＝﹣4，解得x＝﹣或x＝，∴m＝﹣﹣2＝﹣或．②（i）由题意函数G：y＝，由，解得，由，解得，∴G（6，﹣5）或（﹣，）．故答案为（6，﹣5）或（﹣，）．（ii）函数G的图象如图所示：∵一次函数y＝kx﹣2k的图象过定点G（2，0），当直线y＝kx﹣2k经过点A（3，﹣3）时，k＝﹣3，此时满足条件，只有一个交点，当直线y＝kx﹣2k平行AB时，k＝﹣，观察图象可知：当k＝﹣3或﹣≤k＜0或0＜k＜时，一次函数y＝kx﹣2k的图象与图形G只有一个交点．故答案为k＝﹣3或﹣≤k＜0或0＜k＜．9．解：（1）根据题意作图测量可得x＝2.5时，y＝1.9，当x＝4时，y＝1.5故答案为：1.9，1.5（2）根据题意作图得：（3）如图，作y＝x的函数图象根据题意，所画图象于直线y＝x交点即为所求数值．故测量数据在0.6～0.8之间．10．解：（1）∵P1（4，0），P2（0，3），l1：y＝x，l2：y＝x，∴①d（P1，l1）＝4×＝2，②d（P1，P2|l1，l2）＝d（P1，l1）+d（l1，l2）+d（P2，l2）＝2+0+3×＝2+；故答案为2，2+；（2））①如图1，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l3于点B，连接P1P2交l3于点C，，d（P1，P2|l3，l3）＝d（P1，l3）+d（l3，l3）+d（P2，l3）＝P1A+P2B，∵P1A≤P1C，P2B≤P2C，∴P1A+P2B≤P1P2，∴当P1P2⊥l3时，P1A+P2B的最大值是：＝＝5．②如图2中，直线l4交y轴于C（0，﹣2），作P1关于C的对称点P1′（﹣4，﹣4）．作P1E⊥直线l4于E，P1′F⊥直线l4于F．易证P1E＝P1′F，∴d（P1，P2|l4，l4）＝d（P1′，P2|l4，l4）＝P2P1′＝＝，③如图3，作P1A⊥l3于点A，P2B⊥l4于点B，把线段OP绕点O逆时针旋转30°得到OP1′，作P1′⊥直线y＝k′x于H，易证P1A＝P1′H，∴d（P1，P2|l3，l5）＝d（P1′，P2|l3，l5）＝P1′P2，∵P1′（2，2），P2（0，3），∴P1′P2＝＝．∴d（P1，P2|l3，l5）＝d（P1′，P2|l3，l5）＝P1′P2＝．故答案为5，，；（3）l3：y＝k，l4：y＝x+b，当b≥0时，如图4﹣1中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝b，P1E＝2，P2F＝（（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）+b+2＝．当﹣4≤b＜0时，如图4﹣2中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝﹣b，P1E＝2，P2F＝（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）﹣b+2＝﹣b．当b＜﹣4时，如图b﹣3中，作P1E⊥l3，P2F⊥l4，OM⊥l4．易知OM＝﹣b，P1E＝2，P2F＝（3﹣b），∴d（P1，P2|l3，l4）＝d（P1，l3）+d（l3，l4）+d（P2，l4）＝（3﹣b）﹣b+2＝﹣b．综上所述，d（P1，P2|l3，l4）＝或﹣b．11．解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H．∵∠B＝∠B，∠CHB＝∠ACB＝90°，∴△BCH∽△BAC，∴BC2＝BH•BA，∴BH＝，∴PH＝5﹣＝，∴CH＝＝，∴PC＝＝≈4.3，x＝8时，P与B重合，PC＝5，故答案为4.3，5．（2）函数的图象如图所示：（3）结合画出的函数图象，解决问题：①4.9（4.5至5.4均可）②2.3（2.1至2.8均可）12．解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝6，∴AC＝3，BC＝3，∠B＝60°当点Q与点C重合时，AP＝4.5当0＜AP≤4.5时因为tan∠A＝∴PQ＝tan30°×AP＝x又∵y＝PQ×AP＝×x×x＝x2当5＜AP≤6时，y＝S△ABC﹣S△ACQ﹣S△BPQ＝AC×BC﹣AC×CQ﹣BP×PQ＝﹣﹣（6﹣x）2＝﹣+3x当x＝5.0时，y＝﹣+3×5≈4.3故答案为：4.3（2）如图（3）当点Q在线段AC上时，若QC＝QP即3﹣＝x解得，x＝3；当点Q在线段BC上时，若QC＝QP即（6﹣x）＝2x﹣9解得，x＝5.2故答案为：3.0或5.2．13．解：（1）如图1中，观察图象可知S能够成为点A，B的“相关菱形”顶点．故答案为S．（2）如图2中，过点A作AH垂直x轴于H点．∵点A，B的“相关菱形”为正方形，∴△ABH为等腰直角三角形．∵A（1，4），∴BH＝AH＝4．∴b＝﹣3或5．∴B点的坐标为（﹣3，0）或（5，0）．∴设直线AB的表达式为y＝kx+b．∴由题意得或解得或∴直线AB的表达式为y＝x+3或y＝﹣x+5．（3）如下图所示：当点N与点E重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．∵点M，N的“相关菱形”为正方形，∴△NMG为等腰直角三角形，∴EG＝GM＝3，∴M（6，3）．如下图所示：当点N与点O重合时，过点M作MG⊥x轴，垂足为G．∵点M，N的“相关菱形”为正方形，∴△NMG为等腰直角三角形，∴OG＝GM＝3，∴M（﹣3，3）．∴m的取值范围是：﹣3≤m≤6．14．解：（1）点E（0，1）与线段AB的距离为线段AE的长＝；点F（5，1）与线段AB的距离为线段FB的长＝2，故答案为；2．，（2）如图1，点B（5，3）在直线y＝x﹣2上．∵点A（1，3），B（5，3），∴AB平行于x轴，当y＝1时，x﹣2＝1，∴x＝3，∴P1（3，1），过P2作P2E⊥AB交AB的延长线于点E，∵直线y＝x﹣2与坐标轴分别交于点C（0，﹣2），D（2，0），∴OC＝OD，∴可证∠P2BE＝∠ODC＝45°，∵P2B＝2，∴，∴，∴点P的坐标为（3，1）或．（3）如图2中，作BE⊥直线y＝x+b于E，延长CB交直线y＝x+b于P，当BE＝1时，P（5，3﹣），∴3﹣＝5+b，∴b＝﹣2﹣．作DF⊥直线y＝x+b于F，延长AD交直线y＝x+b于Q，当DF＝1时，Q（1，5+），∴5+＝1+b，∴b＝4+．观察图象可知：满足条件的b的范围为：．15．解：（1）①根据直线l的近距点可知A，B是直线y＝x的近距点．故答案为A、B．②当PM+PN＝4时，可知点P在直线l1：y＝x+2，直线l2：y＝x﹣2上．所以直线l的近距点为在这两条平行线上和在这两条平行线间的所有点．如图1，EF在OA上方，当点E在直线l1上时，n的值最大，为．如图2，EF在OA下方，当点F在直线l2上时，n的值最小，为﹣2．当n＝0时，EF与AO重合，矩形不存在．综上所述，n的取值范围是，且n≠0．（2）如图3中，过点C作CE⊥x轴交直线y＝kx于E或M，作CF⊥y轴交直线y＝kx于F或N．易知E（﹣2，﹣2k），F（，2），M（﹣2，﹣2k），N（，2），当CF+CE＝4时，2+2k+（﹣2﹣）＝4，解得k＝1﹣或1+（舍弃）当CM+CN＝4时，﹣2+（﹣2+2k）＝4，解得k＝﹣1﹣或﹣1+（舍弃），观察图象可知，满足条件的k的值为：．16．解：（1）根据正方点的定义，可知点R与A、B是正方点．故答案为R．（2）由题意：t﹣0＝1﹣（﹣2）或1﹣t＝1﹣（﹣2），解得t＝3或﹣2，故答案为﹣2或3．（3）①画出如图所示的图象，②如图，当直线y＝x+b与①中的图象有交点时满足条件．当直线y＝x+b经过图中M（1，3）时，3＝+b，解得b＝，当直线y＝x+b经过图中N（﹣2，﹣3）时，﹣3＝﹣1+b，解得b＝﹣2，观察图象可知：m或m≤﹣2时，y＝x+m上存在点N，使得A，D，N三点为正方点．17．解：（1）①由函数的对称性知，当x＝0.5时，y1＝0.71；②补全表格后描绘得到以下图象：（2）y1、y2关于x＝2对称，故描点得到y2的图象，如下：（3）①从图象可以看出函数y1的最小值为：0.5，故答案为0.5；②函数y1的图象与函数y2的图象的交点点P到达点O处，故答案为：点P到达点O处；③PE＝PC，即：y1＝PC＝AC﹣x＝4﹣x，在图上画出直线l：y＝4﹣x，直线l与y1的交点坐标为：x＝2.5，y＝1.58，故答案为2.5．18．解：（1）一次函数y＝kx+2的图象与y轴交点D（0，2），d（点D，△ABC）表示点D到△ABC的最小距离，就是点D到点A的距离，即：AD＝2﹣1＝1，∴d（点D，△ABC）＝1当k＝1时，直线y＝x+2，此时直线L与AB所在的直线平行，且△ABC和△DOE均是等腰直角三角形，d（L，△ABC）表示直线L到△ABC的最小距离，就是图中的AF，在等腰直角三角形ADF中，AD＝1，AF＝1×＝d（L，△ABC）＝故答案为：1，；（2）若d（L，△ABC）＝0．说明直线L：y＝kx+2与△ABC有公共点，因此有两种情况，即：k＞0或k＜0，仅有一个公共点时如图所示，即直线L过B点，或过C点，此时可求出k＝2或k＝﹣2，根据直线L与△ABC有公共点，∴k≥2或k≤﹣2，答：若d（L，△ABC）＝0时．k的取值范围为：k≥2