近代物理导论曹禺第一章

拉格朗日方程与哈密顿方程1基本概念约束:在一个力学体系中，常存在着一些限制某些位移不能实现的条件，这些条件称为约束。自由度：一般来说，由N个质点组成的系统，如果各质点彼此无影响，每个质点均不受任何约束，则此系统由3N个独立坐标来描述；如果有形式为，的k个约束方程，则此系统只需个独立坐标来描述，称此系统具有个自由度。为单值地确定一个系统的位置所必需给定的独立变量的数目，叫作这个系统的“自由度数”。广义坐标：这些独立变量不一定非是笛卡儿直角坐标不可，根据问题的具体情况，选择某种其他的坐标可能更合适。为了方便，用足够描述有S个自由度的系统的S个变量用来表示，称为该系统的S个广义坐标。令，则：其中叫拉格朗日广义坐标，如：质点被约束在圆周上运动，令：，--广义坐标，约束方程：2拉格朗日函数与拉格朗日方程设有由N个质点构成的质点系，其个质点的三个直角坐标为，质量为，则N个质点的牛顿运动方程为：定义用直角坐标表示的质点的动能T为：如果我们讨论的是所谓保守力系，则可以引入一个势函数于是同理可得引入拉格朗日函数，定义由于只是的函数，而又限于只是坐标的函数，因此在引入之后，可以证明，用广义坐标表示的一般形式的拉氏方程与上式一样即是描述具有s个自由度的系统的拉格朗日方程。例1.以平面极坐标为广义坐标，试用拉格朗日方程求行星运动的微分方程。解：选广义坐标：，则：动能：，势能：，代入拉氏方程：，得运动方程：其中为常数。例2.现以平面双摆为例。两个长为，摆球质量为的全同单摆串连，固于点，轴水平，轴沿铅垂方向向下。让球A与球B在绳的约束下在xy平面内摆动。系统质点数,约束数；，系统的自由度。取，，系统的动能为系统的势能为（取为势能的零点）拉格朗日函数为3.小振动问题、代表球离开平衡位置的位移，两小球质量相同，以代表，弹簧的倔强系数用代表，系统的势能是系统的动能是拉格朗日函数是两球运动方程是令，上两式改写为取试探解，，代入两式，消去公共因子，可得联立方程，，两者不能矛盾，所以应有由此得到两个圆频率值为和把代回上式得，把代回上式得这两个耦合在一起的振动系统具有两个不同的频率，它们被称为此系统的“简正频率”。当系统以振动时，，两球同时向右或向左得到相同的位移，表示两球有相同的相位；当系统以振动时，，表示两球的相位正好相差。一般情况下，两球的振动是刚才两种情况的叠加。为此，引入初相，，，特解可以写为（取指数函数的实部），通解的形式是两特解的叠加给定初时条件，时的，则能确定，可以得到完整的解。势能，令，可以写成动能，所以系统的总能量可以写为引入新坐标，其中，根据我们已经熟悉的简谐运动，可以看出，这是两个分别以圆频率和振动的独立振子的能量之和。而且还可以看出，这两个振动的动力学方程应当分别为；这就是说，引入一种新的坐标，可以把一个耦合振子的振动化解为用新坐标表示的独立振子的振动，这一新坐标即称为“简正坐标”。这个结果是由两个耦合振子的振动得来的，但可以证明它对多个耦合在一起的粒子系统的振动问题仍能成立，即也可以引入简正坐标的办法，把多粒子耦合系统的振动化解为多个独立振子的振动。4.哈密顿函数、哈密顿方程1广义动量动能用直角坐标表示，对动能取各分量的偏导数，可得动量的分量，，，对于势函数只与位置有关的保守系，因与速度无关，，可以写出2．勒让德变换设又一函数，其全微分为其中，，令则应有，把用代入得到，与相比，可得，，即称函数的勒让德变换。也可以只换一个变量，这时新函数所取形式，，有了以上两点准备，我们对拉格朗日函数进行勒让德变换，以导出哈密顿函数和哈密顿方程。3哈密顿函数和哈密顿方程对拉格朗日函数进行勒让德变换为广义动量，将写成左：右：由于上式右方的第二项中的即是，所以第二项与最后一项相消；同时，因，代入拉氏方程得到即于是两式比较，得到，，4哈密顿函数的物理意义拉格朗日函数代入勒让德变换=动能可以表示为广义速度的二次齐次函数形式，利用关于齐次函数的欧勒定理假如是n次的齐次函数，则将上式中的展开写成是的二次齐次函数，上式应等于，得到即正好是系统的势能与动能的总和，在不是的函数的情况下，写出哈密顿函数有一条简单的办法，把系统的总能量用广义坐标和广义动量表示出来即可。只要仅仅是和的函数，而不是的显函数，则，即是一个不随时间变得常量。因为将，及代入上式时，即可看出例试用哈密顿方程导出单摆的运动方程。解：选悬线与铅垂线的夹角为广义坐标，则：，广义动量：，哈密顿函数：得运动方程：例两个质点,质量分别为及，它们在相互吸引的作用下运动，作用力可由势函数给出，代表两质点的距离。设，的直角分别是和，同