江苏省高考数学试题答案

江苏省2019年高考数学试题及答案（试卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务势必自己的姓名、准考据号填码写在答题卡和试卷指定地点上，并将条形码正确粘贴在条形码地区内。2．回答选择出选，时题每题答案后，用铅笔把答题卡上对应目题的答案标号涂黑。如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。回答非选择时题，将答案写在答卡题上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本卷试和答题卡一并交回。数学Ⅰ参照公式：n样本数据x1,x2,?,xn的方差12sni1柱体的体积VSh，此中S是柱体的底面积，

2n1．，此中xxxxiini1h是柱体的高．1锥体的体积Sh，此中S是锥体的底面积，h是锥体的高．3一、填空题：本大题共14小题，每题5分，合计70分．请把答案填写在答题．卡．相．．应位．置．上．．．1．已知会合A，，则B.{1,0,1,6}B{x|x0,xR}A2．已知复数(a2i)(1i)的实部0为，此中i虚为数单位，则数实a的值是.3．下列图是一个算法流程图，输则出的S的值是.24．函数y76xx的定义域是.15．已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是.6．从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，选则出的2名同学中起码有1名女同学的概率是.2经点过（3，4)，则该双曲的线渐近线方y27．在平面直角坐标系中，若双曲线21(0)xOyxbb程是.8．已知数列n*n是其前n和项.若a2589，则8的值是等差数列，{a}(nN)Saa0,S27S是.．如图，方长体1111的体积是120，E为9ABCDABCDCC的中点，则三棱锥E-BCD的体积1是.410．在平面直角坐标系中，P是曲线(x0)上的一个动点，则点P到直线x+y=0的xOyyxx距离的最小值是.11．在平面直角坐标系xOyA在曲线y=lnx上，且该曲在线点A的处切线经点过（-e，-1)(e中，点为自然数对的底数），则点A的坐标是.12．如图，在△ABCE在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点O中，D是BC的中点，.若AB的是值.ABAC6AOEC，则ACtan2sin2π.13．已知的值是π3，则4tan414．设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是2k(x2),0x1奇函数.当x(0,2]，时2f(x)1(x1)，g(x)1,1x22

，此中k>0若.在区间(0，9]上，对于x的方程f(x)有8个不一样的实数根，则k的取值范是围.g(x)二、解答题：本大题共6小题，合计90分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字明说、证明过程或演算步骤．15．（本小题分满14分）在△ABC中，角A，B，C的对为别分边a，b，c．（）若，22，求c的值；3（2）若sinAcosB，求sin(B)的值．a2b216．（本小题分满14分）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB=BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；2）BE⊥C1E．17．（本小题分满14分）22如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:

xy的焦点为（–、），221(ab0)ab2（1，0）．过F2作x的轴垂线l，在x的轴上方，l与圆F2222F:(x1)y4a交于点A，与椭圆C交于点D.连接AF并延伸交圆F于点B，连接BF交椭圆C于点E，连接DF．1221已知DF1=5．231）求椭圆C的标准方程；2）求点E的坐标．18．（本小题分满16分）如图，一个湖的界限是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修筑两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的全部点到点O的距离均不．小．于．．圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D垂为足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；2）在规划要求下，P和Q中可否有一个点选在D？处并说明原因；3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（本小题分满16分）设函数f(x)(xa)(xb)(xc),a,b,cR、f'(x)为f（x）的导函数．1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；（2）若a≠b，b=c，且f（x）和f'(x)的零点均在会合{3,1,3}中，求f（x）的极小值；（3）若a0,0b,1,c1，且f（x）的极大值为M，求证:M≤4．2720．（本小满分16分）4定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a*245324，求证：数列{an}为“Mn}知足：0(nN)aaa,a4a4a－数列”；（2）已知数列{b*1,122，此中S数为列{bn}(nN)知足：b1Sbbnn}的前n和项．1nnn①求数列{bn}的通项公式；②m设为正整数，若存在“M－数列”{cn}*，对随意正整数k，当k≤m，时都有k剟bkk1(nN)cc成立，求m的最大值．数学Ⅱ(附带题)21．【做选】题此题包含A、B、C三小题，．请选定．其．中．两．小．．题，．并．在．相．．应的．答．．题区．域．内．作．答．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答应时写出文字明说、证明过程或演算步骤．A.选修[4-2：矩阵与变换]（本小题分满10分）已知矩阵A3122（1）求A2；（2）求矩阵A的特点值.B.修选[4-4：坐标系与参数方程]（本小题分满10分）在极坐标系中，已知两点A3,,B2,，直线l的方程为sin3.424（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离.C.选修[4-5：不等式选讲]（本小题分满10分）设xR，解不等式|x+|2x1|>2.【必做题】第22题、第23题，每题10分，合计20分．请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时写应出文字说明、证明过程或演算步骤．n2n*2(1x)aaxaxax,n?4,nN.已知34.a2aa22（.本小题分满10分）设012nnab，此中*232（1）求n的值；（2）设(13)3a,bN，求ab的值.523（.本小题分满10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集An{(0,0),(1,0),(2,0),,(n,0)}，B(0,1),(n,1)},C{(0,2),(1,2),(2,2),n,2)},nN.nn令MABC.从会合Mn中任取两个不一样的点，用随机变量X表示它们之的间距离.nnnn1）当n=1，时求X的概率散布；2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）.6参照答案数学Ⅰ一、填空题：此题考察基础知识基本运算和基本思想方法、.每题5分，合计70分.1.{1,6}2.23.54.[1,7]5.572x6.7.y3108.169.1010.4(e,1)12.313.214.,211.11034二、解答题15本.小题主要考察正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基知础，识考察运算求解能力.满分14分.3,2,cos2解：（1）由于acbB，322222221由余弦定理cosBacb，得2(3c)c(2)，即c.2ac323cc3所以c3.3（2）由于sinAcosB，a2b由正弦定理abcosBsinBcosB2sinB，得，所以.sinAsinB2bb进而222224cosB(2sinB)，即cosB41cosB，故cosB.5sinB0，所以cosB2sinB0cosB25由于，进而5所以sinBπcosB25.2516本.小题主要考察直与线直线、直线与平面、平面与平面的地点关系等基础知，识考察幻想间象能力和推理论证能力.分满14分.证明：（1）由于D，E分别为BC，AC的中点，所以ED∥AB.在直三棱柱ABC-ABC中，AB∥AB，11111所以A1B1∥ED.又由于ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，7所以A1B1∥平面DEC1.（2）由于AB=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC.由于三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱，所以CC1⊥平面ABC.又由于BE?平面ABC，所以CC1⊥BE.由于C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，所以BE⊥平面A1ACC1.由于C1E?平面A1ACC1，所以BE⊥C1E.17本.小题主要考察直方线程、圆的方程、椭圆方程、圆椭的几何性、质直线与圆及圆椭的地点关系等基础知识，考察推理论证能力、剖析题问能力和运算求解能力.满分14分.解：（1）设椭C圆的焦距为2c.由于F1，，2，，所以12，(-10)F(10)FF=2c=1.又由于DF1=

52

，AF⊥，轴所以DF=25322222xDFFF()2，11222所以2a=DF+DF=4，进而a=2.12222，得b2=a-c=3.由b22.xy1所以，椭圆C的标准方程为43（2）解法一：22由（1）知，椭圆C：

xy1，a=2，43由于AF⊥x，轴所以点A的横坐标为21.将x=1代入圆F2的方程(x-1)22+y=16，解得y=±4.由于点A在x轴上方，所以A(1，4).又F1(-1，0)，所以直线AF1：y=2x+2.y2x22由，得225x6x110，(x1)y16解得x1或x11.11512将xy2x2，得y代入，558所以(11,12)y31)B.又F2(1，0)，所以直线BF2：(x554.3，得213y(x1)7x6x130，解得x1或x.由47221y43又由于E是线段2与椭圆的交点，所以x1BF.将x1代入333，得y.所以E(1,).y(x1)422解法二：22由（1）知，椭圆C：

xy1.如图，连接EF1.43由于BF2=2a，EF+EF=2a12，所以EF=EB1，进而∠BF1E=∠B.由于F2A=F2B，所以∠A=∠B，所以∠A=∠BF1E，进而EF1∥F2A.由于AF⊥x，轴所以⊥轴2EF1x.x13由于F1，，由y.xy，得21433又由于E是线段BF与椭圆的交点，所以2y.所以

23E(1,).218本.小题主要考察三角函数的应用、解方程、直线与圆基础知等识，考察直观象和数学建模及运想用数学知识剖析和解决实质问的能力题.满分16分.解：解法一：（1）过A作AEBD，垂足为E.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，DEBEAC6,AECD8.'由于PB⊥AB，所以cossin84PBDABE.1059所以BD1215.PB45cosPBD所以道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则段线BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不知足规划要求.②若Q在，处结连，由（）知2210DAD1ADAEED，进而2227，所以∠BAD角锐为.ADABBDcosBAD2ADAB250所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.所以，Q在选D也处不知足划规要求.综上，P和Q均不可以选在D处.（3）先讨点论P的地点.当∠OBP<90时°，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不切合规划要求；当∠OBP≥90时°，对线段PB上随意一点F，OF≥OB，即线段PB上全部点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P切合规划要求.设为l上一点，且1，由（）知，1，P1PB=151PDPBsinPBDPBcosEBA1593；此时11115当∠OBP>90，时°在中，1PB1B15由上可知，d≥15.再讨点论Q的地点.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右边，才能切合规划要求.当QA=15时，2215262321CQQAAC.此时，段线QA上全部点到点O的距离均不小于圆O的半径.10综上，当PB⊥AB，点Q位于点C右边，且CQ=321时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ=D+CD+CQ=17+321.所以，d最小时，P，Q两点间的距离为17+321（百米）.解法二：（1）如图，过O作OH⊥l，垂足为H.以O为坐标原点，直线OH为y轴，成立平面直角坐标系.由于BD=12，AC=6，所以OH=9，直线l的方程为y=9，点A，B的纵坐标分别为3，-3.2+y2=25因.为AB为圆O的直径，AB=10，所以圆O的方程为x3.进而A（4，3），B（-4，-3），直线AB的斜率为4由于PB⊥AB，所以直线PB的斜率为4，3y425x.直线PB的方程为33所以P（-13，9），22PB(134)(93).15所以道路PB的长为15（百米）.2）①若P在D处，取线段BD上一点E（-4，0），则EO=4<5，所以若Q在D处，连接AD，由（1）知D（-4，9），又A（4，3），所以线段AD：3.x6(4剟xy4)4在线段AD上取点M（3，15OM3），由于所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.所以Q在选D也处不知足划规要求.综上，P和Q均不可以选在D处.（3）先讨点论P的地点.

P选在D处足满不规划要求.221522345，411当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不切合规划要求；当∠OBP≥90时°段线对，PB上随意一点F，OF≥OB，即线段PB上全部点到点O的距离均不小于O圆的半径，点P切合规划要求.设l为上一点，且1，由（1）知，1B=15，此时1（-13，9）；PPBABPP1当∠OBP>90，时°在△中，1.1B15由上可知，d≥15.再讨点论Q的地点.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右边，才能切合规划要求.当QA=15，时Q设（a，9），由22AQ(a4)(93)，得a=，所以Q（，9），此15(a4)43214321段线，时QA上全部点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当P（-13，9），Q（4321，9）时，d最小，此时P，Q两点间的距离PQ4321(13)17321.所以，d最小时，P，Q两点间的距离为17321（百米）.19．本小题主要考察利用导数研究函数的性质，考察综合运用数学思想方法剖析与解决题问以及逻辑推理能力．分满16分．解：（abc31）由于，所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)．由于8，所以3f(4)(4a)8，解得a2．（2）由于bc，所以进而

2322f(x)(xa)(xb)x(a2b)xb(2ab)xab，f'(x)3(xb)x2．令f'(x)0，得xb或2x．abab332abab，都在会合{3,1,3}ab中，且，由于,,所以2ab31,a3,b3．32此时f(x)(x3)(x3)，f'(x)3(x3)(x1)．令f'(x)0，得x3或x1．列表以下：12x(,3)3(3,1)1(1,)f'(x)+0–0+f(x)极大值极小值2所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)32．（3）由于a0,c1，所以32f(x)x(xb)(x1)x(b1)x，bx2f'(x)3x2(b1)xb．由于0b1，所以224(b1)12b(2b1)30，则f'(x)有2个不一样的零点，设为x1,x2x1x2．22由f'(x)0，得b1bb1b1bb1x,x．1233列表以下：x(,x)x1x,xx2(x,)1122f'(x)+0–0+f(x)极大值极小值所以Mfx．f(x)的极大值1解法一：3

2Mfx1

x1

(b1)x

bx12xb12bb1b(b1)21[3x2(b1)xb]x1113999232bb1(b1)b(b1)22127927bb23b(b1)2(b1)(b1)2(b(b1)1)272727b(b1)2442727．所以M．2727解法二：13由于0b1，所以x1(0,1)．当x，时2(0,1)f(x)x(xb)(x1)x(x1)．令21g(x)x(x1),x，则．(0,1)g'(x)3x(x1)13令g'(x)0，得x．列表以下：3x(0,1)1133(,1)3g'(x)+0–g(x)极大值所以当114x时，g(x)获得极大值，且是最大值，故g(x)maxg．3327所以当x(0,1)，时4M4f(x)g(x)，所以．272720．本小题主要考察等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考察代数推理、转变与化归运用数学知识探及综合究与解决问题的能力．分满16分．解：（1）设等比数列{a的公比为，所以1≠，≠n}qa0q0.aaa24411由245，得aqaqaa34a24a1011，解得q22．a1q4a1q4a10所以数列{}a为“M—数列”.n122（2）①由于

，所以b0．Sbb

1

nnnnb11221，则11b2122，得Sbb，由nnSbb1n1nnn2(bb)n1n当n2，时由bnnn1，得bbbb，bnn1n1nSSn2bb2bbn1nnn1整理得bn1n1n．b2b14所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列.*nnN.②由①知，bk=k，kN*.由于数列{cn}“为M–数列”公设，比为q，所以c1=1，q>0.由于ck≤bk≤ck+1，所以k1kqkq，此中k=1，2，3，?，m.当k=1时有，q≥1；当k=2，3，?，m，时有lnklnk．lnqkk1设f（x）=

lnx1lnx(x1)f'(x)2．x，则x令f'(x)0，得x=e列.表以下：x(1,e)e(e，+∞)f'(x)+0–f（x）极大值ln2ln8ln9ln3ln3由于66f(k)f(3)．23，所以max3取q，当k=1，2，3，4，5，时33lnk，即k3k,lnqkq3，k1经检知验k也成立．所以所求m的最大值不小于5．若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，进而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.所以所求m的最大值小于6.综上，所求m的最大值为5．数学Ⅱ(附带题)21．【选做】题A．[修选4–2：矩阵与换变]本小题主要考察矩阵的运算、特点值等基础知，识考察运算求解能力．满分10分．1531解：（1）由于A，22所以A23131222233123112115=322212=10．226（2）矩阵A的特点多项式为312f()54.22令f()0，解得A的特点值11,24.B．[修选4–4：坐标系与参数方程]本小题主要考察曲的线极坐标方程等基础知，识考察运算求解能力．满分10分．解：（1）设极点为O.在△OAB中，A（3，），B（，2），42由余弦定理，得AB=32(2)2232cos()5.24（2）由于直线l的方程为sin()3，4l线直则点过(32,)3．，倾斜角为24B(2,)(322)sin(3.)2又，所以点B到直线l的距离为422C．[选修4–5：不等式选讲]本小题主要考察解不等式等基础知识，考察运算求解和推理论证能力．分满10分．解：当x<0时，原不等式可化为x12x2，解得x<-1；3当0≤x≤

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时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；16当x>1时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1.21{x|x或x1}.综上，原不等式的解集为322【.必做题】本小题主要考察二式项定理、组合数等基础知识，考察剖析问题能力与运算求解能力，满分10分．n01