2022届长春市中考数学模拟考试试卷及答案解析

2022届长春市中考数学模拟考试试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）在-2口3的“口”中填入一个运算符号使运算结果最小（）

A.+B.-C.XD.小

2.（3分）据报道，目前我国'‘天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速

度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为（）

A.3.386X109B.0.3386X109C.33.86X107D.3.386X108

3.（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体.将正方体①移走后，所得几何体

中视方向

A.主视图改变，俯视图改变

B.左视图改变，俯视图改变

C.俯视图不变，左视图改变

D.主视图不变，左视图不变

4.（3分）一元二次方程4』+l=3x的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

5.（3分）如图，以正五边形4BCOE的边OE为边作等边三角形。EF,使点尸在其内部,

连结FC,则/。FE的大小是（）

A.76°B.66°C.60°D.48°

6.（3分）在中，A8<3C,对角线AC的垂直平分线交于点E,连结CE,若。ABC。

的周长为20c切，则△CCE的周长为（）

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ED

A.20cmB.40cmC.15cmD.1Ocm

7.（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m.如果

在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4,”，那么相邻两树间的坡面距离为（）

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形0A8C的对角线。8、AC相交于点。，BE//

b

AC,AE//OB.函数y=三（％>0,x>0）的图象经过点E.若点A、C的坐标分别为（3,

0）、（0,2）,则k的值为（）

A.3B.4C.4.5D.6

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）计算：q2.q4=.

10.（3分）关于x的方程x+2a=l的解是负数，则。的取值范围是.

II.（3分）如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交NMAN的两边于点B、

D；②以点B为圆心，A£>长为半径画弧，再以点。为圆心，AB长为半径画弧，两弧交

于点C；③分别连结BC、CD、AC.若NMAN=60°,则NACB的大小为.

12.（3分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90Q,点。、E、F分别是A8、AC、AO的中

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点，若AB=8,则EF=

13.（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角

形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是.

Q5

14.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、8的坐标分别为（一慨，2）、（-,2）,连结

乙2

AB,若函数（x-/z）2与线段AB有交点，则〃的取值范围是.

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）先化筒，再求值：（尤-1）2-》（％-3）,其中苫=花—1.

16.（6分）一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个篮球，这些球除颜色不同外其

他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中

随机摸出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红

色一次黄色的概率.

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17.(6分)我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，

为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%,结果比原

计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部.

18.(7分)如图，ZXABP是等边三角形的顶点A、B均在上，PB与。。相切于点8,

BC为。。直径.

(1)求证：PA是OO的切线.

(2)连结OP,若BC=4,则OP的长为

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19.(7分)图①、图②、图③都是6X6的网格，每个小正方形的顶点称为格点.AABC

顶点A、B、C均在格点上.在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图

痕迹.

(1)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD.

(2)在图②中画出aABC的AB边上确定一点E,使AE=2BE.

(3)在图③中画出△8MN,使得△BA/N与AABC是位似图形，且点B为位似中心，点

图①图②图③

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20.（7分）某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式:

（I）下列调查方式最合理的是（填序号）.

①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；

②从不同住宅楼中随机选取200名居民；

③选取社区内的200名在校学生.

（2）将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图.

①补全条形统计图.

②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有人.

（3）请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数.

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21.（8分）某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品.乙工厂先

加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙

工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品.甲、乙两工厂加工新产品的数量），甲（件）、

y乙（件）与加工新产品的时间x（天）的函数图象如图所示.

（1）甲工厂每天加工件新产品；

（2）乙工厂维修设备的时间是多少天；

（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙（件）与加工新产品的时间x（天）的函

数关系式，并写出自变量x的取值范围.

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22.（9分）【问题情境】

如图①，在RtzMBC中，NACB=90°,AC^BC,点。为AB中点，连结CD,点E为

C8上一点，过点E且垂直于QE的直线交AC于点F.易知：BE=CF.（不需要证明）

【探索发现】

如图②，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=BC,点。为A8中点，连结CC,点E为

CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F.

【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由.

【类比迁移】

如图③，在等边△ABC中，AB=4,点。是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、

C重合），将射线QE绕点。逆时针旋转60°交BC于点F.当CF=2CE时,C£=.

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23.(10分)如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,NABC=30°,AC=3.动点P从点C出

发以每秒1个单位的速度沿CA匀速向终点A运动，同时点Q从点A出发以每秒2个单

位的速度沿AB匀速向终点B运动，以PC、PQ为邻边构造平行四边形PQMC,当点P

到达点4时，点。也随之停止运动.设点P的运动时间为f秒.

(1)求线段AB的长.

(2)当PQ与△ABC的边平行或垂直时，求，的值.

(3)设平行四边形PQMC与aABC重叠部分图形的面积为S,求S与t的函数关系式.

(4)以PC为边向左侧做正方形PCEF,当正方形PCE尸和平行四边形PQMC重叠部分

的图形是轴对称图形时，直接写出，的取值范围.

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24.（12分）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”.

例如：y-（x-1）2-2的“同轴对称抛物线”为>=-（x-1）2+2.

（1）满足什么条件的抛物线与其“同轴对称抛物线”的顶点重合：.

（2）求抛物线），=-p+x+l的“同轴对称抛物线”.

（3）如图，在平面直角坐标系中，点8是抛物线L：y=/-4or+l上一点，点B的横

坐标为1,过点8作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C,分别作点B、

C关于抛物线对称轴对称的点B'.C,连接BC、CC、B，C、BB',设四边形

BB'CC的面积为S（S>0）.

①当四边形88'CC为正方形时，求“的值.

②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、

纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围.

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2022届长春市中考数学模拟考试试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1.（3分）在-2口3的“口”中填入一个运算符号使运算结果最小（）

A.+B.-C.XD.4-

【解答】解：-2+3=1,-2-3=-5,-2X3=-6,-2+3=-多

2

V-6<-5<-1<1,

...在-2口3的“口”中填入一个运算符号“X”使运算结果最小，

故选：C.

2.（3分）据报道，目前我国“天河二号”超级计算机的运算速度位居全球第一，其运算速

度达到了每秒338600000亿次，数字338600000用科学记数法可表示为（）

A.3.386X109B.0.3386X109C.33.86X107D.3.386X108

【解答】解：将338600000用科学记数法表示为：3.386X108.

故选：D.

3.（3分）如图是由7个同样大小的正方体摆成的几何体.将正方体①移走后，所得几何体

（）

丰视方向

A.主视图改变，俯视图改变

B.左视图改变，俯视图改变

C.俯视图不变，左视图改变

D.主视图不变，左视图不变

【解答】解：几何体由上下两层组成，将正方体①移走前的主视图为：上层有一个正方

形，下层有四个正方形，

正方体①移走后的主视图为：上层有一个正方形，下层有四个正方形，没有改变；

将正方体①移走前的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形，

正方体①移走后的左视图为：上层有一个正方形，下层有两个正方形，没有发生改变;

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将正方体①移走前的俯视图为：前面有两个正方形，后面有四个正方形，

正方体①移走后的俯视图为：前面有一个正方形，后面有四个正方形，发生改变，

故选：D.

4.（3分）一元二次方程4/+l=3x的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

【解答】解：原方程可变形为47-3x+l=0,

VA=（-3）2-4X4X1=-7<0,

一元二次方程4/+1=3x没有实数根.

故选：A.

5.（3分）如图，以正五边形4BCOE的边OE为边作等边三角形。EF,使点尸在其内部,

连结尸C,则/OFE的大小是（）

【解答】解：因为是等边三角形,

所以/£)FE=60°,

故选：C.

6.（3分）在。ABC。中，AB<BC,对角线AC的垂直平分线交AD于点E,连结CE,若

的周长为20。〃，则△（）£■的周长为（)

C.\5crnD.10cm

【解答】解：•.•对角线AC的垂直平分线交AQ于点E,

：.AE=CE,

：。ABC。的周长为20cm,

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：.AD+DC=10c/n,

・•・ACDE的周长=QE+CE+C£>=AE+QE+CO=AD+GD=l（k7〃，

故选：D.

7.（3分）如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m.如果

在坡度为1：2的山坡上种树，也要求株距为4〃?，那么相邻两树间的坡面距离为（）

A.4〃zB.2y/5mC.---mD.Sm

3

【解答】解：如图，TAB的坡度为1：2,

AC1AC1

，—=~,即—=一，

BC242

解得，AC=2,

由勾股定理得，AB=y/BC2-^AC2=V424-22=275(m),

8.（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OA8C的对角线03、AC相交于点。，BE//

b

AC,AE//OB.函数y=2a>0,x>0）的图象经过点E.若点A、C的坐标分别为（3,

【解答】解："：BE//AC,AE//OB,

二四边形AEBD是平行四边形，

；四边形0A8C是矩形，C的坐标为（0,2）,

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：.DA=^AC,。8=抽，AC=OB,AB=0C=2,

：.DA=DB,

四边形AEBQ是菱形；

连接。E,交AB于F,如图所示：

♦.•四边形4EBO是菱形，

.•.A8与DE互相垂直平分，

：0A=3,0C=2,

.".EF=DF=^OA=I，AF=^AB=1,3+|=1,

9

.•.点E坐标为：（一,1）.

2

•.,函数y=［（优>0,x>0）的图象经过点E,

・99

••Z=2x1=7.

故选：C.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9.（3分）计算：/心心

【解答】解：a2,a4=a2+4=a6.

故答案为：小.

10.（3分）关于x的方程x+2a=l的解是负数，则。的取值范围是>0.5.

【解答】解：♦.h+2a=l的解为x=l-2a,

Al-2a<0,

则a>0.5,

故答案为：a>0.5.

11.（3分）如图，①以点A为圆心2cm长为半径画弧分别交NMAN的两边AM、AN于点B、

D；②以点B为圆心，AO长为半径画弧，再以点。为圆心，AB长为半径画弧，两弧交

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于点C；③分别连结BC、CD,AC.若NMAN=60°,则NACB的大小为30°

【解答】解：由题意可得：AB=BC=CD=AD—2cm,

四边形A8CD是菱形，

1

：.BC//DA,NC4B=NC4O=*/MAN=30°,

AZACB=ZCAD=30°,

故答案为：30°.

12.（3分）如图，在RtzXABC中，ZACB=90°,点£＞、E、F分别是43、AC、AO的中

BC

【解答】解：在RlZXABC中，

；£）是AB的中点，且AB=8,

：.AD=BD,

1

：.CD=^AB=4,

'：AF=DF,AE=EC,

：.EF=^1CD=2.

故答案为：2.

13.（3分）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角

形，展开后得到一个等腰三角形.则展开后三角形的周长是2+2"U.

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104

【解答】解：根据题意，三角形的底边为2（10+2-4）=2,腰的平方为32+12=10,

因此等腰三角形的腰为g,

因此等腰三角形的周长为：2+2g.

答：展开后等腰三角形的周长为2+2g.

Q5

14.（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A、3的坐标分别为（一米2）、（-,2）,连结

1

-

AB,若函数2(X心2与线段AB有交点,则〃的取值范围是一一2必W]—.

.•.对称轴为x=/?,

当Y一飘，点（一|,2）在函数图象上，

则有2=,（-1-A）2,

解得6=-：或a=*（舍），

当4冶时，点号2）在函数图象上，

则有则有2=忘1（-5-/z）r2,

解得6=*（舍）或4=

:.-为03时函数与线段AB有交点，

故答案为—（<h<

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15.（6分）先化简，再求值：（/-1）2-x（x-3）,其中工=遍—1.

【解答】解:原式=7-2x+l-f+3x

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=x+l,

当户遮一1时，

原式=V5—1+1

=V5.

16.（6分）一个不透明的口袋中有1个红球、1个黄球、1个篮球，这些球除颜色不同外其

他完全相同，小刚同学从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回并摇匀；再从口袋中

随机摸出一个球记下颜色，用画树状图或列表格的方法，求小刚同学摸出的小球一次红

色一次黄色的概率.

【解答】解：列表如下:

蓝黄红

蓝（蓝，蓝）（黄，蓝）（红，蓝）

黄（蓝，黄）（黄，黄）（红，黄）

红（蓝，红）（黄，红）（红，红）

所有等可能的情况有9种，其中摸出的小球一次红色一次黄色的情况有2种,

所以摸出的小球一次红色一次黄色的概率为;.

9

17.（6分）我市经济技术开发区某智能手机有限公司接到生产300万部智能手机的订单，

为了尽快交货，增开了一条生产线，实际每月生产能力比原计划提高了50%,结果比原

计划提前5个月完成交货，求每月实际生产智能手机多少万部.

【解答】解：设原计划每月生产智能手机x万部，则实际每月生产智能手机（1+50%）x

万部,

300300

根据题意得:-------------=5

x(1+50%)%

解得：x=20,

经检验，x=20是原方程的解，且符合题意,

:.（1+50%）x=30.

答：每月实际生产智能手机30万部.

18.（7分）如图，ZVIBP是等边三角形的顶点A、B均在。0上，PB与。。相切于点B,

BC为。。直径.

（1）求证：PA是。。的切线.

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(2)连结OP,若BC=4,则。尸的长为4.

【解答】证明：(1)如图，连接。4,OP,AC,

；尸8与。。相切于点8,

:./PBO=90°,

•••△ABP是等边三角形，

：.AB=PB,ZB4B=ZPBA=60°=4APB,

：.ZOBA=30°,

•：OA=OB,

...NQ4B=/O8A=30°,

：.ZOAP=90Q,且OA是半径，

：.PA是O。的切线；

(2);%是。。的切线，PB是的切线，

0P平分4PB,

ZOPB=|ZAPS=30°-ZABC,

•••8C是直径，

：.ZBAC=90Q=NPBO,S.AB=PB,NOPB=NABC,

.'△ABC丝△BPO(ASA)

：.BC=PB=4,

故答案为:4.

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19.(7分)图①、图②、图③都是6X6的网格，每个小正方形的顶点称为格点.AABC

顶点A、B、C均在格点上.在图①、图②、图③给定网格中按要求作图，并保留作图

痕迹.

(1)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD.

(2)在图②中画出aABC的AB边上确定一点E,使AE=2BE.

(3)在图③中画出△8MN,使得△BA/N与AABC是位似图形，且点B为位似中心，点

图①图②图③

(2)如图②所示，点E即为所求：

(3)如图③所示，△BMN即为所求.

20.(7分)某社区调查社区居民双休日的学习状况，采取下列调查方式：

(1)下列调查方式最合理的是(填序号).

①从一幢高层住宅楼中选取200名居民；

②从不同住宅楼中随机选取200名居民；

③选取社区内的200名在校学生.

(2)将最合理的调查方式得到的数据制成了如下扇形统计图和条形统计图.

①补全条形统计图.

②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有120人.

(3)请估计该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的人数.

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【解答】解：（1）下列调查方式最合理的是②从不同住宅楼中随机选取200名居民,

故答案为：②；

（2）①在图书馆等场所学习的有：200X30%=60（人），

在图书馆学习4〃的有：60-（14+16+6）=60-36=24（人），

补全的条形统计图，如右图所示；

②在这次调查中，200名居民中，在家学习的有：200X60%=120（人），

故答案为：120；

/c、r八八八24+50+16+36+6+10./A、

（3）2000X-------------2oo-------------=1420（人），

答：该社区2000名居民中双休日学习时间不少于4小时的有1420人.

21.（8分）某公司计划开发一批新产品，由甲、乙两个工厂同时加工这批产品.乙工厂先

加工了两天后，维修设备，当维修完设备时，甲、乙两工厂加工的新产品数量相等，乙

工厂再以原来的工作效率继续加工这批产品.甲、乙两工厂加工新产品的数量丫甲（件）、

y乙（件）与加工新产品的时间x（天）的函数图象如图所示.

（1）甲工厂每天加工20件新产品:

（2）乙工厂维修设备的时间是多少天；

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（3）求乙工厂维修设备后加工新产品的数量y乙（件）与加工新产品的时间x（天）的函

数关系式，并写出自变量x的取值范围.

*件）

【解答】解：（1）1604-8=20（件）；

故答案为：20；

（2）方法一：80+20=4,4-2=2,

答：乙工厂维修设备的时间是2天；

方法二：设y甲与x的函数关系式为），甲=如，

由题意，得8m=160,

解得加=20,

y甲与x的函数关系式为y甲=20x,

当y=80时，x=4,

4-2=2（天），

答：乙工厂维修设备的时间是2天；

（3）乙工厂第8天共加工了（8-2）X40=240件，

设y乙与x的函数关系式为y乙=丘+》，

由题意,得｛精二物

解得

乙与x的函数关系式为y乙=40x-80.

22.（9分）【问题情境】

如图①，在RtaABC中，NACB=90°,AC=BC,点。为AB中点，连结C。，点E为

CB上一点，过点E且垂直于QE的直线交AC于点F.易知：BE=CF.（不需要证明）

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【探索发现】

如图②，在RtZVIBC中，NACB=90°,AC^BC,点。为AB中点，连结CD,点E为

CB的延长线上一点，过点E且垂直于DE的直线交AC的延长线于点F.

【问题情境】中的结论还成立吗？请说明理由.

【类比迁移】

如图③，在等边△ABC中，AB=4,点。是AB中点，点E是射线AC上一点（不与点A、

C重合），将射线DE绕点D逆时针旋转60°交BC于点F.当CF=2CE时，CE=上用

或-1+V7.

【解答】解：【问题情境】证明：：在RtAABC中，乙4cB=90°,AC=BC,点。为

AB中点，

J.CDVAB,CD=BD=AD=%B,NBCD=NB=45°,

AZBDC=90°,

:NEDF=90°,

:"CDF=/BDE,

ZB=4DCF

在△BCE与△CQF中，,。=CD,

/BDE=ACDF

：.ABDE卷ACDF(ASA),

；.BE=CF；

【探索发现】成立,

理由：

•.,在RtZ\ABC中，。为A8中点,

第22页共28页

:,CD=BD,

又・・・AC=5C,

：.DC.LAB,

・・・NDBC=NDCB=45°,

VDE±DF,

；.NEDF=90°,

，/EDB+NBDF=NCDF+/BDF=90°,

：・NCDF=/BDE,

：.ZADF=ZCDEf

：.AF=CE,

：.CF=BE；

【类比迁移】:△ABC是等边三角形，

AZA=ZB=60°,

VZFDE=60°,

：.ZBDF=120°-ZADE,ZAED=\200-ZADE,

：.ZBDF=NAED,

：.△ADESXBDF,

.ADAE

••,—,

BFBD

・・,点。为48中点，AB=4f

：.AD=BD=2,AC=BC=4,

*：CF=2CE,

・,•设CE=x,则C尸=2x,

当点E在线段AC上时，

：.AE=4-x,BF=4・2x,

24-x

••—,

4-2%2

解得：x=3-V3,x=3+V3（不合题意，舍去），

:・CE=3-W,

如图④，当点七在AC的延长线上时，

VAE=4+x,BF=4-2xf

第23页共28页

24+x

**4-2%-2

解得：x=-1+V7,(负值舍去)，

:.CE=-1+V7.

综上所述，CE=3-8或-1+夕,

故答案为：3-或-\+小.

23.(10分)如图，在RlZ\ABC中，ZC=90°,/ABC=30°,AC=3.动点尸从点C出

发以每秒1个单位的速度沿CA匀速向终点A运动，同时点。从点A出发以每秒2个单

位的速度沿AB匀速向终点B运动，以PC,PQ为邻边构造平行四边形PQMC,当点P

到达点A时，点。也随之停止运动.设点P的运动时间为f秒.

(1)求线段4B的长.

(2)当PQ与△4BC的边平行或垂直时，求f的值.

(3)设平行四边形PQMC与△ABC重叠部分图形的面积为S,求S与，的函数关系式.

(4)以PC为边向左侧做正方形PCEF,当正方形PCEF和平行四边形PQMC重叠部分

的图形是轴对称图形时，直接写出r的取值范围.

【解答】解：(1)在RtZLABC中，NACB=90°,NABC=30°,AC=3,

，AB=24C=6；

(2)当PQJ_4B时，

；NBAC=9()°-NABC=60°,

.•.NAPQ=90°-NBAC=30°,

：.AP=2AQ,

由题意得：AQ—2t,PC—t,

第24页共28页

：.AP=3

A3-f=2X2r,

解得：f=耳；

当产。〃BC时，NAQP=NA8C=30°,ZAPQ=ZACB=9O0,

：.AQ=2AP.

：.2t=2(3-/),

解得：仁宏

33

综上所述，当尸Q与△ABC的边平行或垂直时，z的值为g秒或5秒;

(3)分两种情况：

①当0＜匹|时，作QGUC于G,如图1所示：

则AG=^AQ=t,QG=近AG=\p3t,

；.S=平行四边形PQMC-=PCXQG=rxy/3t=符;

BPS=V3/2（当OV区|）

图2

V四边形PQMC是平行四边形,

：.QM//PC,

'：PCIBC,

VZABC=3O°,

第25页共28页

:.QH=抽=j(6-2r)=3-t,

；.5=直角梯形PCHQ的面积=1(3-r+r)xV3/=挈r；

即S=¥，(|VfW3)；

(4)分两种情况：

①当PQ//BC时，正方形PCEF和平行四边形PQMC重叠部分的图形是正方形PCEF,

轴对称图形，

：.2t=2(3-r),

解得：仁,；

②当正方形PCEF和平行四边形PQWC重叠部分的图形是等腰直角△CPF时，是轴对称

图形；

则N