吉林省通化市2023年高考数学一模试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.答题时请按要求用笔。

3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知随机变量X服从正态分布N（1,4）,P（X>2）=0.3,P（X<0）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

2.函数f（x）=sin5（。>0）的图象向右平移工个单位得到函数y=g（x）的图象，并且函数g（x）在区间［工,1］上

1263

TTTC

单调递增，在区间［§,务］上单调递减，则实数。的值为（）

735

A.一B.-C.2D.-

424

3.是函数=1川在区间（0,1w）内单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

'x+2y>2

4.已知实数x,y满足约束条件<y-尤<1,若z=2x—y的最大值为2,则实数★的值为（）

y+l>kx

57

A.1B,-C.2D.-

33

5.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是S3的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为（）

6.下列不等式成立的是（）

AHB.c.iog.i<iog.iD.

7.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何

体的表面积是（）

o

14V2

正视图侧视图

<0

俯视图

A.16五+16万

B.160+8万

C.80+16万

D.80+8%

1+X

8.函数=W-l的图象大致为

-J(pL0.哥二

A--iit_X：i—*

F;一-1；°j1*--一步卜—

D.J

n

9.设函数/(x)=J_«lnx+x+21恰有两个极值点，则实数f的取值范围是()

A.[-00,11B.[，+8)

I2」

D•卜W]U停引

。(MHK)

10.已知圆锥的高为3,底面半径为G，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的

体积的比值为（）

532c425

A.—B.—C.—D.—

3939

11.已知菱形ABC。的边长为2,ZABC=60°,则而.①=（）

A.4B.6C.273D.46

12.设S“是等差数列{q}的前〃项和，且$4=%+3,则生=（）

A.-2B.-1C.1D.2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.图（1）是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串直角三角形演化而成的（如图（2））,其

中，则。的值是-

OA,=44=A2A,=•­­=44=1-4

14.已知集合4={1,4},3={a—5,7}.若Ac3={4},则实数a的值是.

15.边长为2的菱形ABC。中,AC与BO交于点O,E是线段8的中点,AE的延长线与CZ）相交于点尸，若

NSW=60。,则丽.乔=.

16.我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”.他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜.三

斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜

平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积.所谓“实”、

“隅”指的是在方程pi=q中，p为“隅”，g为“实”.即若AABC的大斜、中斜、小斜分别为a,b,c,贝!]

112

,1,7fa+C—bYl

S-a-c2-|^-------------J.已知点O是AABC边48上一点，AC=3,BC=2,NACD=45'，

tanNBCD=2叵，则AABC的面积为.

7

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b9c9且向量机=（2。一c,Z?）与向量〃=（cosC,cos8）共线.

(1)求於

_UUUUUU..一

(2)若6=3"，«=3,且AD=2DC，求3。的长度.

18.(12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面A3C。平面BID,AD//BC,AB=BC=AP=-AD,ZADP=30°，

2

/84。=90，E是尸。的中点.

(1)证明：PDLPB；

(2)设4)=2,点M在线段PC上且异面直线8M与CE所成角的余弦值为姬，求二面角AB-尸的余弦值.

19.(12分)AABC的内角A，B,C的对边分别是“，b,c,已知(〃一人)2=。2一功.

(1)求角C；

(2)若4ccos(A+T)+bsinC=0,。=1,求AABC的面积.

20.(12分)已知函数/(%)=Asin®x+e)［A>O,«y>O,-g<0<g］的最小正周期是不，且当x=工时，f(x)

\22J6

取得最大值2.

(1)求“X)的解析式；

(2)作出“X)在［0,句上的图象(要列表).

21.(12分)已知函数f(x)=xlnx.

(1)若函数g(x)=〃^—L,求g(x)的极值；

XX

(2)证明：f(x)+l<ex-x2.

(参考数据：In220.69ln3«1.10%4.48«7.39)

11

X=—I—t（<

22x=1+cosn0

22.（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线/的参数方程为、（/为参数）和曲线C：<."（。

1y=sm0

y=——ti

l2

为参数），以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

（1）求直线/和曲线C的极坐标方程；

7T5V

（2）在极坐标系中，已知点M是射线4:6=a£[0,-]）与直线I的公共点，点N是4与曲线C的公共点,求台招

2|OM|

的最大值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

利用正态分布密度曲线的对称性可得出P（x<0）=P（X>2）,进而可得出结果.

【详解】

•••X〜N（l,4）,所以，P（X<0）=P（X>2）=0.3.

故选：B.

【点睛】

本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.

2.C

【解析】

由函数/（x）=sin«yx（。>0）的图象向右平移专个单位得到g（x）=sin[c^=sin（cox-—>）,函数g（x）在

）1）11171

区间上单调递增，在区间-~2

_o3J|_3

上单调递减，可得x=W时，g（x）取得最大值，即（<yxg-署）=三+2左乃，k&Z,。>0,当人=（）时，解得。=2,

故选C.

点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”

的规律求解出g(x),根据函数g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减可得x=§时，g(x)取

得最大值，求解可得实数0的值.

3.C

【解析】

2

/(x)=|(ar-l)x|=|ar-x|,令口？_》=0,解得西=0,x2

【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.

4.B

【解析】

画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解Z即可.

【详解】

(22、(42攵一1、

可行域如图中阴影部分所示，B+1,。丁二,丁二，要使得z能取到最大值，贝(I左>1,当1<%<2

\k-lk-\)[2攵+12k+lJ

2+1）=2,得%=；;当％〉2时，z在点C处取得最大值，即

时，X在点8处取得最大值，即2

2岛卜岗卜2,得弓（舍去）.

故选:B.

【点睛】

本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想，分类讨论是解题的关键,属于中档题.

5.C

【解析】

试题分析：设AC、3。的交点为。，连接E。，则NAEO为AE,SO所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为。，

46+。川—绅

则==所以cos/AE。

2222AE-OA

吟故c为正确答案.

2x（*a）.qa）

考点：异面直线所成的角.

6.D

【解析】

根据指数函数、对数函数、塞函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.

【详解】

对于A,,••（）<[<2，.1sin，<cos1，A错误；

2422

/、x--

对于B,•・•），=（；）在R上单调递减，B错误；

对于C,log11=log23>l,log11=log32<l,.-.log,|>103]^,c错误；

对于O,...>=)在R上单调递增，；.(《)>］；)3,0正确.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幕函数的

单调性.

7.D

【解析】

由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为

—4,4V2H—H—7T,2,6=8\/2+8万，故选D.

222

8.D

【解析】

由题可得函数/(x)的定义域为{x|xH±1},

因为f(-x)=ln|Fl=-ln|pM|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，排除选项B；

1+x1-X

X/(l.D=ln21>l,/(3)=ln2<l,所以排除选项A、C,故选D.

9.C

【解析】

恰有两个极值点，则用勾=0恰有两个不同的解，求出用x)可确定x=l是它的一个解，另一个解由方程

三-f=0确定，令g(x)=£-(x>0)通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1的解时t应满足的条件.

xI2xI2

【详解】

由题意知函数/(X)的定义域为(0,+?),r(x)-94

eX\

-t(x+2)](X-1)(X+2)----------1

x+2)

X2

X2

因为“X)恰有两个极值点，所以/<x)=o恰有两个不同的解，显然x=l是它的一个解，另一个解由方程

-r=0确定，且这个解不等于1.

x+2

(x+l)ev

令g(x)=——(x>0),则，(x)〉0,所以函数g(x)在(0,+?)上单调递增，从而g(x)〉g⑼=；,

(X+2)2

x+2

/(x)=?-4lnx+x+j]恰有两个极值点，即实数1的取值范围是

且g(i)=§.所以，当，＞5且，声3时,

1e,.(e)

U鼻,+8.

2,3IJ7

故选：C

【点睛】

本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.

10.B

【解析】

计算求半径为/?=2,再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.

【详解】

如图所示：设球半径为R,则7?2=(3-/?)2+6=解得火=2.

41321厂2V32

3

故求体积为：V]=-7rR=—7r9圆锥的体积：匕=—万Gx3=3»,故于=不■.

333匕9

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

11.B

【解析】

根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果.

【详解】

如图所示，

口A,____________

菱形形ABCD的边长为2,ZABC=60°,

二NC=120°,•••BO?=2?+2?—2x2x2xcos1200=12,

ABD=2>/3,且ZB£)C=30°,

工BbCD=\Bb\x\Cb\xcos30°^2y/3x2x—=6,

2

故选B.

【点睛】

本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题..

12.C

【解析】

利用等差数列的性质化简已知条件，求得见的值.

【详解】

由于等差数列｛《,｝满足=4+3,所以6+生+4+4=4+3,+«2+«3=3,3«2=3,a2=1.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.

7

【解析】

先求出向量时■和44夹角的余弦值，再由公式即得.

【详解】

如图，过点作A74的平行线交。A,于点8,那么向量值和有夹角为ZBA4,•••/。44=90，

NA34=90,N404=N%4,•・•。4=44=1,且△。4人是直角三角形，，％=正，同理得

OAb—V6,OAj=5/7，二cos(A4,44)=sin246Az0=.44=1x

故答案为：叵

7

【点睛】

本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量44和瓶的夹角.

14.9

【解析】

根据集合交集的定义即得.

【详解】

•.・集合A={1,4},3={。一5,7},AnB={4}>

••.a—5=4,则a的值是9.

故答案为：9

【点睛】

本题考查集合的交集，是基础题.

I

15.-

4

【解析】

取基向量而，AB，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将屁，前表示为基向量后再相乘可得.

【详解】

如图：

DC

B

__________—,1—,1—.1——1—.

AF=AAD+(1—A)ACf又AE=-AD-l—AO=-AD—AC,

2224

且存在实数f使得而一通，

.\2AD+(l-A)AC=-tAD+-tAC,

—.?1—.

/.AF=-AD+-AC,

33

W=AF-AE=-AD+—AC,

612

/.BE.EF=(AE-AB^EF=(AD+DE-AB).EF=(AD+-DB-ABX-AD+—AC)

=(AD+-AB--AD-ABX-AD+—AC)

44612

3—■3—1—1—.

=(-AD--AB)•(—AD+—AB)

44412

=3而2—_L通」旗.而

16168

=-x4-----x4—x2x2x—

161682

=—1

4

故答案为：—.

4

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.

16.巫

4

【解析】

利用正切的和角公式求得tanZACB,再求得cosZ4C8,利用余弦定理求得A3,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.

【详解】

tanZACB=tan(ZACT>+N8C0=.3+，an"CD=—岳,所以cos/AC8=—'，由余弦定理可知

1-tanZACDtanZBCD4

AB2^AC2+BC2-2ACBCCOSZACB=\6>得AB=4.根据“三斜求积术”可得

2

22’42+22—32党所以废半

片」4X2-

4

【点睛】

本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式，余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力，难度

较易.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)B=-(2)BD=M

3

【解析】

(1)根据共线得到(2a-c)cosB=bcosC,利用正弦定理化简得到答案.

(2)根据余弦定理得到c=9,cosC=赤，再利用余弦定理计算得到答案.

【详解】

(1)<7篦=(2a-c,b)与〃=(cosC,cos6)共线,工(2。-c)cosB=Z?cosC.

即(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,2sinAcosB=sin(B+C)=sinA

即sinA(2cosB-l)=0,VsinA0,AcosB=—,丁BG(0,^),

2

jr

(2)b=3币,a=3,B=飞,在△ABC中，由余弦定理得:

(^8'+'2"=咨咨」,废一3C-54=0.

2ac2x3xc2

贝！lc=9或c=-6(舍去).

"a2+/72-c29+63-81-1uuaiuuui

・・cosC=———=———==—1=9•:AD=2DC・・DC—b=V7.

2ab2X3X3V72,73

在△3£>C中，由余弦定理得:

BD2=CB2+DC2-2Cfi£)CcosC=9+7-2x3xV7x^^=19,

2V7

：•BD=M・

【点睛】

本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.

18.(1)见解析；(2)空

7

【解析】

(1)由平面A6C。，平面PAD的性质定理得45,平面Q4Z),.♦.A8J_P£>.在中，由勾股定理得

P£>_LAP,，尸。！.平面Q46,即可得产。，依；

(2)以P为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法和异面直线8M与CE所成角的余弦值为巫，得点M的

5

坐标，从而求出二面角A6-尸的余弦值.

【详解】

(1)1•平面ABCD_L平面尸AD，平面ABCDpI平面PAD=A£)，BAD=90，所以4?_LAD.由面面垂直的

性质定理得48,平面PAO，.•.A5，P£>，在AR4D中，-：AP=-AD,N4£)P=30，，由正弦定理可得：

2

sinZA£)P=-sinZAP£),

2

ZAPD=90°>即PDLAP,;.PD工平面PAB,；.PDLPB.

i、

(2)以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C3，5，1，

\

E——,0,0,设—则8M一。―1,Q—1

「INZ；

35

_

在=(o,_g,_］卜cosBM,C干BMCE_240_VW

'网西陵一3a+2下5

V2

得，V；.=隹/一

,而通=(0,0,1),设平面A8M的法向量为。=(x,y,z),由而可得:

\/3x-2y-z=0人一

〈,令x=2,则万=(2,后0),取平面Q4B的法向量沅=(1,0,0),则

z=0

__inn2277故二面角M-AB-P的余弦值为迎.

COST?/,7?—,I.।—/——,

恻同币77

【点睛】

本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用，

属于中档题.

TT

19.(1)-

3

(2)百

【解析】

(1)利用余弦定理可求cosC,从而得到C的值.

(2)利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得〃=4a,得到〃值后利用面积公式可求S^BC.

【详解】

(1)由=。2_时,得/+/一。2=血

所以由余弦定理，得cosC="+"-c"=L

2ab2

又因为Ce(O,〃)，所以C=(.

(2)由4ccos(A+a)+bsinC=0,得TcsinA+Z?sinC=0.

由正弦定理，得4c、a=0c,因为cwO,所以〃=4a.

又因。=1,所以b=4.

所以AABC的面积S=—a/?sinC=—x1x4x—=5/3.

222

【点睛】

在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐

次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那

么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.

20.(1)/(x)=2sin(2x+^j；(2)见解析.

【解析】

(1)根据函数y=/(x)的最小正周期可求出。的值，由该函数的最大值可得出A的值，再由/［菅)=2,结合。的

取值范围可求得。的值，由此可得出函数y=/(x)的解析式;

(2)由x«O,可计算出2x+工的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数y=/(x)在区间［(),句上的图象.

6

【详解】

(1)因为函数)，=/(x)的最小正周期是万，所以。===2.

冗

又因为当x=£时，函数y=/(x)取得最大值2,所以A=2,

6

同时2x2+0=2攵乃+工(％GZ),得0=+eZ),

626

因为-g<°<W，所以9=3，所以/(x)=2sin

2262Y

⑵因为旧。团，所以加兀+对4不1工34

列表如下:

C兀717T3万137r

2x4—7T27

667~2工

冗542万11%

X071

6~12T~\2

/(X)120-201

描点、连线得图象:

y

1111111tl

；：2/iiiiiiiiiii

Z一厂I一I厂I一厂\xi厂i立i一i面i一i：豆i厂丁ii

1r-T1T±

40\\\1\2!31!6!!/；irr

-TTX

I得日午羽岖也：\/IHL

-甲卜斗油2：2十一再"笆

I—

111111\111/111

—

J」1111111>C111

一乙

【点睛】

本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.

21.(1)见解析；(1)见证明

【解析】

(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等