逻辑联结词与充要条件

第2讲 逻辑联结词与充要条件【考点解读】1、了解逻辑联结词 “或”、“且”、“非”的含义，会判断简单复合命题的真假。理解全称量词与存在量词的意义。能正确地对含有一个量词的命题进行否定，会判断含有量词的命题的真假。4.理解命题的概念。了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。6.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义 。【知识扫描】简单的逻辑联结词1）“或”“且”“非”等词叫做逻辑联结词。逻辑联结词与集合中的“交”、“并”、“补”密切相关。①ABx|xA,或xB，集合中的并集是用“或”来定义的。是指至少满足“xA”与“”中的一个，即：xA，且xB；也可以是xA，且xB；还可以是xA，xB且xB.因此逻辑联结词“或”的含义与并集中“或”的含义基本一致.②ABx|xA,且xB，集合中的交集是用“且”来定义的。它是指“xA”与“xB”都要满足的意思，即：x既属于A，同时又属于B.③CuA={xx蜗U,且x A}，集合中的“补集”与“非”密切相关。（2）复合命题：不含逻辑联结词的命题叫做简单命题。由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题。（3）复合命题的三种形式与真假判断：p或q记为púq，一真即真；且q记为pùq，一假即假；非p记为?p，p与?p一真一假。对于复合命题的真假判断可以借助下列表格进行记忆 .p q p q p q p真 真 真 真 假1真假真假假假真真假真假假假假真2.全称量词与存在量词(1)短语“所有”在陈述句中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词，并用符号 “ ”表示，含有全称量词的命题叫做全称命题 .短语“有一个”、“有些”、“至少有一个”在陈述句中表示事物的个体或部分，逻辑中通常叫做存在量词，并用符号 “”表示，含有存在量词的命题叫做特称命题 .全称命题与特称命题的否定：①对于全称命题p：xM,p(x)，其否定为p：xM,p(x)；②对于特称命题q：xM,q(x)，其否定为q：xM,q(x).常见的正面叙述的和它的否定词语如下表所示：词语是一定是都是大于小于词语的否定不是一定不是不都是小于或等于大于或等于词语且必有一个至少有n个至多有一个所有x成立词语的否定或一个也没有至多有n-1个至少有两个存在一个x不成立3.命题的定义及真假判断(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题 .其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题 .一般地来说，疑问句、祈使句 、感叹句等都不是命题；对于含有变量的语句，要注意根据变量的范围，看能否判断真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题；还有一些语句，尽管目前无法判断其真假，但从事物的本质而论，语句是可辨别真假的，尤其是在科学上的一些猜想等，这类语句也叫做命题 .命题的常见形式是：若p，则q.其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.判断其真假时，首先要搞清楚该命题的结构， 分清条件和结论， 再和其他的相关知识联系起来，加以判断.4.命题的四种形式及其相互关系命题的四种形式:原命题:若q则p; 逆命题: 若q则p;否命题:若?p则?q；逆否命题：若 ?q则?p。2（2）四种命题的关系：在判断一些命题的真假性时，可以有两种方法：一是分清原命题的条件和结论，直接对原命题的真假进行判断； 二是不直接写出命题， 而是根据命题之间的等价性进行判断， 即原命题和逆否命题等价，同 真同假，逆命题和否命题等价，同真同假 .5.充分条件与必要条件若pq，就说p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若p q，且q p，即p q，就说p是q的充分必要条件 .6.充分条件、必要要条件的判断方法 ：(1)定义法按如下步骤进行：①分清条件与结论：A是B的充分不必要条件是指： A B且B A；而A的充分不必要条件是 B是指：B A且A B.这两种说法在充分必要条件推理判断中经常出现，且容易混淆，在解题中一定要注意问题的设问方式， 弄清它们的区别，以免判断错误；②找推式：即判断 p q及q p的真假；③下结论.2）集合法：在对命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若AíB，则p是q的充分条件;若AB;1若AêB，则p是q的必要条件;若A1若A=B，则p是q的充要条件;若AB，则p是q是即不充分也不必要条件;11(3)等价法：若p是q的充分不必要条件，即pq，且qp，则由原命题与其逆否命题的等价性可知，qp，且pq，所以p是q的必要不充分条件；同理，若p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；若p是q的充要条件，则p是q的充要条件.在判断p与q之间的关系时，可以借助以上结论进行恰当地转化，简化解题过程.注意：确定条件为不充分或不必要的条件时，常用构造反例的方法来说明。3【考计点拨】牛刀小试1．（2011年安徽高考题）命题 “所有能被 2整除的整数都是偶数 ”的否定是（ D）．．（A）所有不能被 2整除的整数都是偶数（B）所有能被 2整除的整数都不是偶数（C）存在一个不能被 2整除的整数是偶数（D）存在一个能被 2整除的整数不是偶数答案：D2.已知命题 p、q,“非p为假命题”是“ p或q是真命题”的（ ）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】∵“非 p为假命题”，∴p为真命题，因此“ p或q是真命题”；若“p或q是真命题”，则p真q假，或p假q真，或p真q真，不一定得到 p为真命题，所以“非 p为假命题”是“p或q是真命题”的充分而不必要条件，选择 A.3.下列命题中的假命题是（）．．．A．xR，2x1＞02＞0B．xN，x1C．xR，lgx＜1D．xR，tanx2【答案】B【解析】因为当x1,(x1)20，因此B正确，而由指数函数式定义可以A对，对于答案C，令0x1,结合对数函数性质，可知命题成立。对于答案D，因为正切函数值域为R，因此存在x,满足题意。4.对于数列｛an｝，“an1an（n=1，2）”是“an为递增数列”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.必要条件D.既不充分也不必要条件4【答案】B【解析】an1 an an1 an，即数列 an为递增数列，为充分条件；反之，数列an为递增数列时， an1 an，当an 0，不一定an1 an，故为非必要条件．5．已知命题p：?∈R，2＋2＋3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围xaxx是________．【解析】因为命题 ￢p是真命题，所以命题 p是假命题，而当命题 p是真命题时，就是2a＞0，解得a＞1不等式ax＋2x＋3＞0对一切x∈R恒成立，这时应有3，因此＝4－12＜0a当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时实数a的取值范围是1a≤.3【答案】a≤13考点一 简单的逻辑联结词及全称命题与存在命题的否定【例1】写出由下述各命题构成的“ p或q”，“p且q”，“非p”形式的命题，并指出所构成的这些命题的真假。1）p：9是144的约数，q：9是225的约数。2）p：方程x2－1=0的解是x=1，q：方程x2－1=0的解是x=－1；3）p：实数的平方是正数，q：实数的平方是0.解析（1）p或q：9是144或225的约数；p且q：9是144与225的公约数，（或写成：9是144的约数，且 9是225的约数）；非p：9不是144的约数.∵p真，q真，∴“p或q”为真，“p且q”为真，而“非 p”为假.2）p或q：方程x2－1=0的解是x=1,或方程x2－1=0的解是x=－1（注意，不能写成“方程x2－1=0的解是x=±1”，这与真值表不符）；p且q：方程x2－1=0的解是x=1,且方程x2－1=0的解是x=－1；非p：方程x2－1=0的解不都是x=1（注意，在命题p中的“是”应理解为“都是”的意思）；∵p假，q假，∴“p或q”与，“p且q”均为假，而“非 p”为真.（3）p或q：实数的平方是正数或实数的平方是0；P且q：实数的平方都是正数且实数的平方是0；非P：实数的平方不都是是正数。5变式训练 1：若命题p：不等式ax b 0的解集是 x|x b ，命题 q：关于x的不等a式(x a)(x b) 0的解集是 x|a x b，则在命题：“p且q”、“p或q”、“非p”、“非q”中，是假命题的有 .解析：依题意可知命题 p和q都是假命题，所以“ p且q”为假、“p或q”为假、“非p”为真、“非q”为真.规律总结：由简单命题和逻辑联结词构成复合命题时，要注意对 “命题p或命题q”、“命题p且命题 q”的语句中有关词语做出调整，以便符合中文表达的习惯 .对于复合命题的真假必须按照真值表作出判断 .例2：命题p：“有些三角形是等腰三 角形”，则┐p是解析：像这种存在性命题的否定命题也有其规律：命题 p：“存在x A使P（x）成立”，┐p为：“对任意x A，有P(x)不成立”，它恰与全称性命题的否定命题相反，故答案为：所有三角形不是等腰三角形。【答案】所有三角形不是等腰三角形变式训练 2：写出下列命题的否定：1）平方和为0的两个实数都为0；2）有一个素数是偶数；3）三角形有且仅有一个外接圆；（4） x R,f(x) 0解（1）平方和为 0的两个实数不都为 0；2）每一个素数都不是偶数；3）存在一个三角形有两个以上的外接圆或没有外接圆；（4） x R,f(x) 0或f(x)无意义。规律总结：构造命题的否定形式时， 一要分清命题的否定与否命题的区别， 二是掌握一些常用词语的否定形式的写法， 如：“都是 不都是，至少有一个 一个也没有；至多有一个至少有两个；”常见命题的否定形式，如“ x M，p(x) x M，p(x)；p或q p且q”等。【考点二 全（特）称命题及真假判断6【例3】试判断下列命题的真假（ ）（1）xR,x220（2）xN,x41（3）x0Z,x031（4）x0Q,x023解析:明确变量x的范围，然后判断等式或不等式是否成立，从而得命题的真假。（1）由于xR，都有x20，因而有x222，即x220。所以命题"xR,x220"是真命题。（2）由于0N,当x0时，x41不成立，所以命题"xN,x41"是假命题。（3）由于1Z，当x1时，能使x031，所以命题"x0Z,x031"是真命题。（4）由于使x23成立的数只有3，而他们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方等于3，所以"x0Q,x023"是假命题。变式训练 3:已知a>0，则x0满足关于 x的方程ax=b的充要条件是(A)xR,1ax2bx1ax02bx0(B)xR,1ax2bx1ax02bx02222(C)xR,1ax2bx1ax02bx0(D)xR,1ax2bx1ax02bx02222解：由于a0，令函数y1ax2bx1a(xb)2b2，此时函数对应的开口向上，22a2a当xbb2x的方程ax=b，那么x0bb时，取得最小值，而x0满足关于,即当x0时，a2aaaymax1ax2b2，那么对任意的x1ax2bxb212bx0,bx0=,y=ax0022a22a2选C规律总结：本题考查了二次函数的性质、 全称量词与充要条件知识， 通过构造二次函数解决问题。题型三与逻辑联结词、全（特）称命题有关的参数问题【例4】已知两个命题 r(x):sinx+cosx>m,s(x):x 2+mx+1>0.如果对 x∈R,r(x) 与s(x)有且仅有一个是真命题，求实数 m的取值范围.7解析：由已知先求出对x∈R,r(x)，s(x)都是真命题时m的范围，再由要求分情况讨论出所求m的范围.∵sinx+cosx=2sin(x)24∴当r(x)是真命题时，m<2.又∵对x∈R，s(x)为真命题，即x2+mx+1>0恒成立，有=m2-4<0,∴-2<m<2.∴当r(x)为真，s(x)为假时，m<2.同时m≤-2或m≥2，即m≤-2，当r(x)为假，s(x)为真时，m≥2且-2<m<2，即2≤m<2.综上，实数m的取值范围是m≤-2或2≤m<2.变式训练4：已知命题p:方程x2mx10有两个不相等的负数根；q:方程4x24(m2)x10p或q”为真，“p且q”为假，求实数m的取值范无实根．若“围．解：p:2，m2．q:16(m2)21616(m24m3)0，m40m，01m3．p或q为真，p且q为假，p真，q假或p假，q真．m，m≤，，故m≥3或1m≤2．或≤或≥，1m．m1m3规律总结：含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或两个)命题的真假,求出此时参数成立的条件,再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.考点四充分条件、必要条件的判断及证明例5：求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件.解析：必要性：（1）方程有一正根和一负根，等价于44a0x1x21a＜0.a0（2）方程有两负根，等价于844a0200＜a≤1.a10a综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a＜0或0＜a≤1.充分性：由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一负根的充分条件.变式训练5：已