必修4大题三角综合和向量综合含答案

高一必修4三角函数和向量大题训练（晓出）三角函数的化简和求值问题：学习要求：①这是基本功，也是高考的第一大道题目，务必要拿分；②公式要默写记忆，特别是“奇变偶不变，符号看象限”；③解题方法要把握“高次降低次（用二陪角公式）、不同名化同名”（和差公式的逆向使用、构造法求值、平方法求值）、解方程思想（知一求二）；④指定范围和不指定范围求值问题。1．(本题12分)，求(1)最小正周期；(2)最大值以及相应的x值；1．解答：（1）T=π；（2）x=kπ+时，f(x)|max=.2．（本小题满分12分）已知函数求：（1）的最小正周期；（2）的单调递增区间；（3）在上的最值.2．解：（Ⅰ）因为所以的最小正周期（Ⅱ）因为所以由得所以的单调增区间是（Ⅲ）因为所以所以即的最小值为1，最大值为4.（2010年）3．（本小题满分14分）设函数，，，且以为最小正周期．（1）求；（2）求的解析式；（3）已知，求的值．3.解：（1）由已知可得：（2）∵的周期为，即∴故（3）∵∴由已知得：即∴故的值为或4．(本题12分)已知向量a=向量b=当a∥b时，求；当a⊥b时，求；求︱2a－b4．解答：（1）；（2）；（3）最大值为4；最小值为2(－1).（2009年）5．(本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，，求的值． 5.【解】（1）,，即又∵,∴，即，∴又，（2）∵,，即又,∴6．(本题满分10分)已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），|｜＝．（Ⅰ）求cos（－）的值；（Ⅱ）若０＜＜，－＜＜０，且sin＝－，求sin的值．6解：（Ⅰ）（5分），．---------------------------------------1分，．---------------------------------2分即．---------------------------------------------------1分．------------------------------------------------------------------1分（Ⅱ）（5分）∵，∴---------------------1分∵，∴----------------------------------1分∵，∴-----------------------------------------------------1分∴．-----------------------------------------------------------2分二．三角函数的图象问题：（学习要求：①做到能会识图、画图、关键是用图来把握性质，要默出三个基本三角函数图；②把握图象的平移（方法是只“对x”进行移或伸），要区别“先移动后伸缩”与“先伸缩后平移”一般选择前者做题好点；③按向量平移是难点，要作图理解移动方向；④学会五点法作图（有时包括边界点不止五点），关键是指定范围的作图问题，要用整体思想。）7．已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1（x∈R）, （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？7．解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1=(2cos2x－1)++（2sinx·cosx）+1 =cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+ =sin(2x+)+． 所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即x=+kπ,（k∈Z）． 所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z} （2）将函数y=sinx依次进行如下变换： （i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像； （ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像； （iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像． 综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像．**8．设函数f(x)=a·b,其中a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R.（1）若f(x)=1－,且x∈[,],求x；（2）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(|m|<)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.8解答．(1)f(x)=a·b=1+2sin(2x+),由1+2sin(2x+)=1－,得sin(2x+)=－，∵x∈[,]，∴≤2x+≤.∴2x+=，即x=.(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象,即函数y=f(x)的图象.由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1,∵|m|<,∴m=－,n=1.（可以作图理解）9．设函数图像的一条对称轴是直线。（Ⅰ）求；（Ⅱ）求函数的单调增区间；（Ⅲ）画出函数在区间上的图像。9解：（Ⅰ）的图像的对称轴，（Ⅱ）由（Ⅰ）知由题意得所以函数（Ⅲ）由x0y－1010故函数三．平面向量与解析几何综合（学习要求：要把图形和向量结合分析；重点是综合求平行、垂直、长度（即模长）、角度（角度）问题；把握数形结合、解方程思想；估计出现中等题以上。）1．(本题满分10分)已知，当为何值时，平行时它们是同向还是反向？1解:因为，--------------------------------2分当时，则-------------------------------------------------2分解得：--------------------------------------------------------------------------2分此时，===．-----------------------------------------------------------2分所以反向．---------------------------------------------------------------2分［另解：当，存在唯一实数，使即得：解得：，即当，这时因为，所以反向．］2、(本题满分14分)四边形中，（1）若，试求与满足的关系式；（2）满足（1）的同时又有，求的值及四边形的面积。2．解：∴（1）则有化简得：（2）又则化简有：联立解得或则四边形为对角线互相垂直的梯形当此时当此时3、已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为，（＋2）（－2）＝0.（1）求点P的轨迹方程；（2）求·的取值范围．3、解：（1）由（＋2）（－2）＝0，∴｜｜2＝4｜｜2．设P（x，y），得｜x＋4｜2＝4［（x＋1）2＋y2］，∴3x2＋4y2＝12.∴点P的轨迹方程为＋＝１；（2）设P（x，y），∴＝（－4－x，0），＝（－1－x，－y）．·＝（－4－x，0）·（－1－x，－y）＝x2＋5x＋4＝－．由x∈［－2，2］，故有·∈［－2，18］． 4．平面内有向量=（1，7），=（5，1），=（2，1），点X为直线OP上的一个动点.（1）当·取最小值时，求的坐标；（2）当点X满足（1）的条件和结论时，求cos∠AXB的值.4．解：（1）设=（x，y），∵点X在直线OP上，∴向量与共线.又=（2，1），∴x－2y=0，即x=2y.∴=（2y，y）.又=－，=（1，7），∴=（1－2y，7－y）.同样=－=（5－2y，1－y）.于是·=（1－2y）（5－2y）+（7－y）（1－y）=5y2－20y+12=5（y－2）2－8.∴当y=2时，·有最小值－8，此时=（4，2）.（2）当=（4，2），即y=2时，有=（－3，5），=（1，－1）.∴||=，||=.∴cos∠AXB==－.评述：（1）中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数.而（2）中即为数量积定义的应用.图45．（本小题满分13分）如图4，已知点和单位圆上半部分上的动点．图4若，求向量；⑵求的最大值．1．