双半径单交线和双距离单交线公式讲义-高三数学二轮专题复习_第1页
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双半径单交线和双距离单交线公式结论：双半径单交线公式：当平面ABC平面BCD，和外接圆半径分别为，，平面ABC与平面BCD的公共棱为l，三棱锥外接球半径为R，则证明：如图所示，设三棱锥外接球半径为R，球心为O，和外接圆半径分别为，，外接圆圆心分别为，，平面ABC与平面BCD的公共棱为l，则，，为BC中点，，所以，则，故双距离单交线公式：两个三角形平面存在夹角，该几何体外接球半径为R，则，其中m和n分别为平面外接圆圆心到交线的距离（和）；表示m和n的夹角（当且仅当两个三角形平面有一个是钝角三角形时，取二面角的补角）；l表示两三角形平面的交线长度.典例分析：例1.（2020天河一模）在三棱锥中，，侧面SBC与底面ABC垂直，则三棱锥外接球的表面积是______.解：侧面SBC与底面ABC垂直，且都为边长为2的正三角形，则，那么所以三棱锥外接球的表面积答案：例2.在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是（）A.B.C.D.解：和都为边长为2的正三角形，则它们外接圆圆心到交线的距离都是，即，，所以故三棱锥外接球的表面积答案：D例3.在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积是（）A.B.C.D.解：取AB中点E，因，所以，，则，，所以，，，同理，所以三棱锥外接球的表面积答案：D例4.在三棱锥中，是边长为的等边三角形，，二面角的大小为，则此三棱锥的外接球表面积为_____.解：因，，所以，，，，因为是边长为的等边三角形，所以外接圆圆心到AB的距离，由于和只有一个是钝角三角形，且二面角的大小为，则，则此三棱锥的外接球表面积答案：针对练习：1.（2023云师大附中月考）在长方体中，，E为线段AB的三等分点（靠近点B），若三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.2.在四棱锥中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，平面PCD平面ABCD，则四棱锥外接球的表面积为_______.3.（2023金太阳月考）已知体积为的球与正三棱柱的所有面都相切，则三棱柱外接球的表面积为（）A.24B.20C.16D.124.在三棱锥中，PA平面ABC，，且，则三棱锥外接球的体积等于（）A.B.C.D.5.三棱锥，PA平面ABC，且，则该三棱锥外接球的表面积是______.6.已知边的长为3的正的顶点和点D都在球O的球面上，若，且AD平面ABC，则球O的表面积为_____.7.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球O的球面上，AB底面BCD，，且，利用张衡的结论可得球O的表面积为（）A.30B.C.33D.8.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家，他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知在菱形ABCD中，，将沿BD进行翻折，使得.按张衡的结论，三棱锥外接球的表面积约为（）A.72B.

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