高等电磁理论波函数与格林函数

高等电磁理论波函数与格林函数面对的问题:为什么要引入位函数？怎样引入位函数？位函数具有何特点？如何应用位函数？3.1标量位和矢量位为什么要引入位函数？简化问题的分析求解。——矢量电位——标量磁位或——赫兹磁矢量位——矢量磁位——标量电位或——赫兹电矢量位三种形式的位函数3.1.1矢量磁位和标量电位

规范不变性

微分方程（矢量位方程）定义适当选择可简化方程★

洛仑兹条件达朗贝尔方程考虑到Lorentz条件后，电荷及电流产生的电磁场可仅用矢量磁位A

表示为积分解若要求经过上述规范变换后的位函数A’与φ’之间也满足Lorentz条件，即这种规范称为Lorentz规范，此时，规范函数U应该满足一定的条件。由于可见，为了使A’与φ’满足Lorentz条件，必须要求规范函数U满足齐次标量Helmholtz方程，即★

库仑条件A只有两个独立分量且ρ=0、J=0，若令Ф

=0，则※讨论★

无源情况若要求变换后的矢量位A’也满足Coulomb条件，则这种规范称为Coulomb规范。因为可见，此时规范函数U满足Laplace方程，即3.1.2矢量电位和标量磁位

定义对偶关系：微分方程①洛仑兹条件②库仑条件※讨论且只有两个独立分量ρm=0、Jm

=0，若令Ф

m

=0，则★

无源情况★

一般情况既有电流源，又有磁流源，则例：推导在导电媒质中的波动方程以及矢量位方程1.赫兹电矢量位Π

e

（ρm=0、Jm

=0）定义：且3.2赫兹电矢量位和赫兹磁矢量位Π

e方程的微分方程——等效电极化矢量）（在无源区：时谐场：2.赫兹磁矢量位（、）定义：且对偶关系：时谐场：方程——等效磁极化矢量在无源区：且一般情况下3.3用位函数表示无源区的电磁场已知在线性、均匀、各项同性的无源静止介质中，电场强度和磁场强度满足如下之Helmholtz方程。该方程在三种常用的正交坐标系中均可归结为标量Helmholtz方程的求解。现以赫兹矢量为例，说明在正交曲面坐标系中如何用这种辅助函数来表示电磁场分量。1.直角坐标系（，，）取、，则且，若令，则TE波若令，则TM波TM波2.圆柱坐标系（，，）取，满足。由产生的电磁场为TE波取，满足。由产生的电磁场为

将上面的结果叠加起来，总的合成场为：3.球面坐标系（，，）问题：取、解决方法：由：得：由：得：令令对比在球坐标中标量波动方程为：可将球坐标系中无源区域的电磁场量表示为利用所定义的标量函数u，由可证明此时，考虑

即为沿r方向的横磁波(TM波)同理，考虑有v满足标量波动方程利用v可以将球坐标系中无源区域的电磁场量表示为（也可采用对偶原理）此时，即为沿r方向的横电波(TE波)且，取、将上面求得的TM波和TE波相叠加，3.4标量波函数讨论的问题:什么是标量波函数？常用标量波函数的形式与特点？——的基本解什么是标量波函数？方程基本解其中：——行波解——驻波解3.4.1平面波函数（、、中有两个是独立的）h(kx)零无限大k=β-jα的特殊化特殊表示法物理解释e–jkxkx→–j∞kx→j∞k实数k虚数k复数e–jβxe–αxe–αxe–jβx+x行波雕落场衰减行波ejkxkx→j∞kx→–j∞k实数k虚数k复数ejβxeαxeαxejβx–x行波雕落场衰减行波sinkxkx=nxkx→±j∞k实数k虚数k复数sinβx–jsinhαxsinβxcoshαx­–jcosβxsinhαx驻波两种雕落场局部化驻波coskxkx=(n+0.5)xkx→±j∞k实数k虚数k复数cosβxcoshαxcosβxcoshαx­+jsinβxsinhαx驻波两种雕落场局部化驻波一般解基本解1、有界空间的一般解、、取离散值，取驻波解。各种可能存在的波型叠加例：矩形波导中的标量波函数——偶模，TE模；——奇模，TM模；讨论、二维介质板波导的基本波函数（奇函数）内部上外部下外部取不同的值，表示沿不同方向传播的平面波一般解的波谱或角谱2、无界空间的一般解、、取连续值，取行波解。平面波基本解其中：波矢量方程基本解则3.4.2圆柱面波函数（、中有一个是独立的）——贝塞尔方程在周期性条件下，其中：的解为柱函数，即★贝塞尔函数第一类Bessel函数第二类Bessel函数★渐近公式：①——行波解——驻波解②★展开公式★贝塞尔函数的正交性其中是或的第i个根Bn(kρ)零无限大物理解释Hn(1)(kρ)kρ→j∞kρ=0kρ→–j∞k实数—向内行波k虚数—雕落场k复数—衰减行波Hn(2)(kρ)kρ→–j∞kρ=0kρ→j∞k实数—向外行波k虚数—雕落场k复数—衰减行波Jn(kρ)沿实数轴有无数的零kρ→±j∞k实数—驻波k虚数—两种雕落场k复数—局部化驻波Nn(kρ)沿实数轴有无数的零kρ=0kρ→±j∞k实数—驻波k虚数—两种雕落场k复数—局部化驻波1、有界空间的一般解（、取离散值）例：圆柱形波导中的基本标量波函数——偶模；——奇模。圆柱体外散射场的基本标量波函数讨论1、无限长圆柱形介质圆杆的基本波函数内部外部讨论2、无限长双层圆柱形介质圆杆内外场的基本波函数第一层第二层外部讨论3、平板径向波导的基本波函数2、无界空间的一般解（、取连续值）或方程基本解3.4.3球面波函数则在周期性条件下，——球贝塞尔方程连带勒让德方程★连带勒让德函数m=0m>0——连带勒让德多项式——勒让德多项式第一类Legendre函数第二类Legendre函数★连带勒让德函数的正交性即的解为球贝塞尔型函数★球贝塞尔型函数第一类球Bessel函数第二类球Bessel函数★球贝塞尔函数的正交性其中是的第i个根基本波函数一般解例：球形区域内中的基本标量波函数——偶模；——奇模；球形区域外中的基本标量波函数一般解一般解讨论、介质球散射问题的基本波函数内部外部3.5矢量波函数讨论的问题:什么是矢量波函数？矢量波函数的特点常用矢量波函数的形式矢量波函数的应用什么是矢量波函数？如何引入矢量波函数？——的基本解——任一矢量可用三个线性无关矢量来表示——满足矢量波动方程，线性无关，最好是正交的3.5.1矢量波函数的定义

为标量波函数，即

为单位常矢量证明满足方程3.5.2矢量波函数的性质（1）的散度与旋度（2）具有对称关系——有旋无散场——有散无旋场M与N之间，以及L与M之间是相互正交的。在某些坐标系中还可证明L与N之间也是相互正交的，那么L、M、N构成正交函数系，且可证明也具有完备性。边样，L、M、N的线性组合即可构成矢量Helmholtz方程的解。（3）正交性3.5.3用矢量波函数表示矢量场取设（无源区）若——TM波若——TE波则3.5.4直角坐标系中的矢量波函数★

有界空间：取a=ez，考虑直角坐标系★

无界空间：例：矩形波导中的矢量波函数正交性的描述？取3.5.5圆柱坐标系中的矢量波函数例圆柱波导中的矢量波函数正交性的描述？3.5.6球坐标系中的矢量波函数如何选取矢量a

？取a

=r例：球形区域内中的矢量波函数3.6标量格林函数讨论的问题:标量格林函数的概念标量格林函数的特点如何求解标量格林函数？标量格林函数的应用格林函数——单位点源作用下非齐次波动方程的解无界空间解非齐次矢量波动方程——并矢格林函数非齐次标量波动方程的求解问题SVJJm解非齐次标量波动方程——标量格林函数有界空间：如何考虑边界条件的影响？——利用格林函数求解面临的问题：标量格林恒等式3.6.1格林恒等式矢量格林恒等式3.6.2δ函数x′xyy★

函数的定义★δ函数的物理意义xqyzxIlyz★δ函数的挑选性★

函数的对称性★

三维δ函数的表示★δ函数的本征函数展开★δ函数的积分表示设由3.6.3非齐次标量波动方程的积分解或令3.6.4标量格林函数（1）无界空间的格林函数★三维格林函数★辐射条件★二维格林函数例求一维标量波动方程的标量Green函数因为场不可能无限大，可以推得：又从源点条件可以得到：

（2）有界空间的格林函数第一类边值问题第一类格林函数第二类格林函数第二类边值问题（3）格林函数的对称性或证明:由例已知标量格林函数满足如下方程和边界条件根据以上关系式，求解标量位的泊松方程3.6.5用镜像法求标量格林函数其中或问题：求半无限大空间的标量格林函数根据镜像法，标量格林函数可写为对应于Ax的标量格林函数为第一类格林函数解由例：分别求无限大的理想导电平面上方处的电偶极子的矢量磁位和磁偶极子的矢量电位对应于Az的标量格林函数为第二类格林函数对应的本征函数问题3.6.6利用本征函数展开法求标量格林函数令或或例1：矩形波导管中的第一类格林函数（二维）矩形波导中沿z方向有一无限长的线电流I。基本波函数且令故例2：矩形波导管中TM波的标量格林函数（三维）基本波函数则令矩形波导中的处沿z方向的单位电流元故练习1：求下列一维标量格林函数练习2：已知标量格林函数在矩形区域的边值问题为：求此标量格林函数3.7并矢格林函数讨论的问题:并矢格林函数的概念并矢格林函数的特点如何求解并矢格林函数？并矢格林函数的应用面临的问题：非齐次矢量波动方程为简单起见，假定只有电流源，则JJmE,H边界条件：3.7.1并矢格林函数的定义及分类位于R’处，指向x，y，z的三个无穷小电偶极子所产生的电场。几种典型的边值问题几种典型的边值问题3.7.2并矢的定义及其运算设有一x方向的点电流源在空间产生的电磁场记为根据Maxwell旋度方程，可得3.7.3并矢Green函数的定义同理，分别设y方向和z方向点电流源它们在空间产生的电磁场分别记为同样根据Maxwell旋度方程，可得引入并矢格林函数式中，称为电并矢Green函数，称为磁并矢Green函数。容易证明通过上述推导可以看出，并矢Green函数可以看成是并矢点电流源在空间产生的并矢电磁场。上式就是并矢电磁场所满足的Maxwell方程。对上式取旋度，可得并矢Green函数满足的波动方程与不是独立的，所以在求解电磁场时只需其中一个即可。下面主要讨论。电并矢Green函数除满足波动方程外，在边界面上还应满足一定的边界条件。根据边界条件的不同，电并矢Green函数可分为以下几类:1）无界空间电并矢Green函数，它在无穷远处满足辐射条件。2）第一类电并矢Green函数，在边界上满足3）第二类电并矢Green函数，在边界