第六章联立方程组模型

第六章联立方程组模型1第一页，共四十九页，2022年，8月28日第一节基本介绍一，古典回归中我们假设解释变量x和干扰项是不相关的，本章我们将放开这一假设。再现实中，x和μ不相关的假设很难维持，此时需要联立方程组模型来解决。最典型的例子是需求和供给函数模型。第二页，共四十九页，2022年，8月28日假设需求函数为：q=α+βp+μ需求的变动分两种情况：沿着需求曲线的变动及需求曲线的移动（changesalongthedemandcurveandshiftofthedemandcurve),前者是由于价格的变动导致的，后者是影响需求的其他因素变化时所导致的，例如收入的增加时，会导致需求曲线向右移动，反之则向左移动。在需求函数模型中，影响需求变化的其他因素如收入、偏好及其他商品价格等均包括在干扰项中。第三页，共四十九页，2022年，8月28日当影响需求的其他因素变化时，μ会发生变化，从而导致需求曲线的移动一般情况下，需求的变动会根据供给曲线的形状的不同而产生不同的结果第四页，共四十九页，2022年，8月28日几种变化qD1SD2p1p2p第五页，共四十九页，2022年，8月28日qD1D2

Sp1p2p

第六页，共四十九页，2022年，8月28日

qSD1D2p第七页，共四十九页，2022年，8月28日前两个图中，即当供给曲线为向上倾斜和水平时，影响需求的因素变化，例如收入增加时，干扰项发生变化，需求曲线向右移动，我们发现价格也因此发生了变化。表明干扰项和解释变量不是不相关的第八页，共四十九页，2022年，8月28日供给曲线的形状对需求的研究具有重要的作用，研究需求函数时，也要将供给函数一起考虑进去，这样的模型就是联立方程组模型。二，联立方程组中的标准化问题例如在上面的需求函数中，q=α+βp+μ也可以写成p=α'+β'q+μ,分别将上面两个模型称为以q和p为标准化的方程。有时，两个方程不能互换。互换的条件是β

'和β不能等于零第九页，共四十九页，2022年，8月28日三，内生变量和外生变量联立方程组模型中变量被分为两类：一类是内生变量（EndogenousVariables),即由模型决定的变量，也被称为联合决定变量。另一类是外生变量(ExogenousVariables),是由外部因素决定的变量，也叫事先确定变量，因此和误差项是不相关的。第十页，共四十九页，2022年，8月28日例如：需求函数模型：q=a1+b1p+c1y+μ1，供给函数模型：q=a2+b2p+c2R+μ2，q为数量，p为价格，y为收入，R为降雨，其中y、R为外生变量，q、p为内生变量第十一页，共四十九页，2022年，8月28日第二节联立方程组模型的识别问题一，所谓识别问题指联立方程组模型的参数是否可以估计，如果通过一定的方法得到参数的一致估计量，就称该方程是可以识别的。如果能得到参数唯一的一组估计值，我们称其是完全可识别的。如果得到不止一组估计值，称之为过度识别。无法得到参数的估计值时，称为不可识别。下面我们介绍判断联立方程组模型是否可识别的几种方法。第十二页，共四十九页，2022年，8月28日间接最小二乘法（IndirectLeastSquares，ILS)使用前面的例子：需求函数模型：q=a1+b1p+c1y+μ1，供给函数模型：q=a2+b2p+c2R+μ2，将上述模型分别以p和q来标准化，得到：q=(a1b2-a2b1/b2-b1)+(c1b2/b2-b1)y-(c2b1/b2-b1)R+误差p=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y-(c2/b2-b1)R+误差第十三页，共四十九页，2022年，8月28日最初的需求函数和供给函数模型被称为结构方程（Structuralequations)根据标准化的方程被称为约简方程（Reduced–formequations)q=Π1+Π2y+Π3R+v1P==Π4+Π5y+Π6R+v2第十四页，共四十九页，2022年，8月28日Π1=(a1b2-a2b1/b2-b1)Π2=(c1b2/b2-b1)Π3=-(c2b1/b2-b1)Π4=(a1-a2/b2-b1)Π5=(c1/b2-b1)Π6=-(c2/b2-b1)我们通过间接最小二乘法得到了结构方程所有参数的唯一一组估计值，第十五页，共四十九页，2022年，8月28日估计约简方程，可以得到结构方程的参数，b1hat=Π3hat/Π6hatb2hat=Π2hat/Π5hatc1hat=-Π5hat(b1hat-b2hat)c2hat=Π6hat(b1hat-b2hat)a1hat=Π1hat-b1hatΠ4hata2hat=Π1hat-b2hatΠ4hat这种方法由于是通过约简方程间接得到原来模型即结构方程的参数估计值，因此被称作间接最小二乘法.我们把这种得到唯一一组解的情况称为完全可识别。下面我们再看一下其他的情形第十六页，共四十九页，2022年，8月28日假设：需求函数模型：q=a1+b1p+c1y+μ1，供给函数模型：q=a2+b2p+μ2，约简方程为：q=(a1b2-a2b1/b2-b1)+(c1b2/b2-b1)y+误差p=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y+误差第十七页，共四十九页，2022年，8月28日Π1=(a1b2-a2b1/b2-b1)Π2=(c1b2/b2-b1)Π3=(a1-a2/b2-b1)Π4=(c1/b2-b1)因此可以得到：b2hat=Π2hat/Π4hata2hat=Π1hat-b2hatΠ3hat但是无法得到需求函数的参数估计值即a1b1c1供给函数是完全可识别的，需求函数不可识别第十八页，共四十九页，2022年，8月28日再假设：需求函数模型：q=a1+b1p+c1y+d1R+μ1，供给函数模型：q=a2+b2p+μ2，约简方程为：q=(a1b2-a2b1/b2-b1)＋(c1b2/b2-b1)y＋(d1b2/b2-b1)R+误差P=(a1-a2/b2-b1)+(c1/b2-b1)y+(d1/b2-b1)R+误差第十九页，共四十九页，2022年，8月28日得到b2hat=Π2hat/Π5hatb2hat=Π3hat/Π6hat对应的a2hat=Π1hat-b2hatΠ4hat也有两个解，供给函数是过度识别，需求函数依旧不可识别第二十页，共四十九页，2022年，8月28日例题1，根据美国1922－1941年猪肉供给和需求建立下列模型：需求函数模型：q=a1+b1p+c1y+μ1，供给函数模型：q=a2+b2p+c2Z+μ2，其中z是影响猪肉生产的事先确定的变量。估计的约简方程为：q=0.0026–0.0018y+0.6839Zp=-0.0101+1.0813y–0.8320Z第二十一页，共四十九页，2022年，8月28日b1hat=Π3hat/Π6hat=-0.6839/0.8320=0.8220b2hat=Π2hat/Π5hat=-0.0018/1.0813=-0.0017c1hat=-Π5hat(b1hat-b2hat)=-1.0813(-0.8220+0.0017)=0.8870第二十二页，共四十九页，2022年，8月28日c2hat=Π6hat(b1hat-b2hat)=-0.8320(-0.8220+0.0017)=0.6825a1hat=Π1hat-b1hatΠ4hat=0.0026-(-0.8220*-0.0101)=0.0057a2hat=Π1hat-b2hatΠ4hat=0.0026-(-0.0017*-0.0101)=0.0026所以结构方程为：q=-0.0057-0.8220p+0.8870y（需求函数）q=0.0026-0.0017p+0.6825Z（供给函数第二十三页，共四十九页，2022年，8月28日2，结构方程为：y1t=a1+b1y2t+c1x1t+μ1ty2t=a2+b2y1t+c2x2t+μ2t估计的约简方程为：y1t＝4+3x1t+8x2ty2t＝2+6x1t+10x2t求结构方程的参数第二十四页，共四十九页，2022年，8月28日识别的必要条件——阶的条件（Ordercondition)假设g是联立方程组模型中的内生变量的个数，k是所要判断的方程中所缺少的变量的个数（包括内生变量和外生变量），判断的规则如下：1，如果k=g-1，该方程是完全可识别的；2，如果k>g-1，该方程是过度识别的；3，如果k<g-1,该方程是不可识别的;第二十五页，共四十九页，2022年，8月28日使用前面使用过的例子来判断例子1，两个内生变量，所以g-1＝1，每个方程均缺少一个变量，所以k=g-1，都是完全可是别的，例子2，两个内生变量，g-1=1,需求函数，没有缺少变量，k＝0<1,所以是不可识别的。供给函数，缺少一个变量，k=g-1，所以是完全可识别的。第二十六页，共四十九页，2022年，8月28日例子3，，内生变量两个，g-1=1,需求函数没有缺少变量，0<g-1,所以需求函数不可识别，供给函数缺少两个变量，2>g-1，所以是过度识别。判断的结果和我们前面使用间接最小二乘法判断的结论相同。但是阶的条件的判断方法比间接最小二乘法简单得多。第二十七页，共四十九页，2022年，8月28日识别的充分必要条件－秩的条件(rankcondition)我们用×表示某变量在该方程中出现，0表示没有出现，例如：假设有三个内生变量y1,y2,y3,三个外生变量z1,z2,z3，我们可以表示成下表：方程y1y2y3z1z2z31×0××002×00×0×30××××0第二十八页，共四十九页，2022年，8月28日识别的规则如下：1，考察哪一行（即判断哪一个方程)，就删掉哪一行；2然后把这一行中元素为零所对应的列选择出来，组成一个新的行列式；3，如果在新的行列式中，有g-1行和列不全为零；即g-1×g-1的非零行列式那么该方程就是可以识别的。第二十九页，共四十九页，2022年，8月28日例如，先看方程1，0所对应的列组成的行列式为：00××已知g-1＝2，应至少有2×2的非零行列式，上式不满足条件，所以该方程是不可识别的。第三十页，共四十九页，2022年，8月28日方程2，新的行列式为0×0××0该方程是可以识别的方程3，新的行列式为：××××该方程也是可以识别的第三十一页，共四十九页，2022年，8月28日阶的条件不仅判断方程是可识别的，还阐明方程是完全可识别的还是过度识别，而秩的条件只能说明方程是否是可识别的。第三十二页，共四十九页，2022年，8月28日例题一，考察下列宏观经济模型：内生变量外生变量C＝实际消费G＝实际政府购买力I＝投资T＝实际税收收入N＝就业M=名义货币存量P=价格水平R=利息率Y＝收入W＝货币工资率第三十三页，共四十九页，2022年，8月28日模型分别是：1，C=a1+b1Y-c1T+d1R+μ1

（消费函数）2，I=a2+b2Y+c2R+μ2（投资函数）3，Y=C+I+G4，M=a3+b3Y+c3R+d3P+μ3

（流动偏好函数）5，Y=a4+b4N+μ4

（生产函数)6，Nd=a5+b5W+C5P+μ5(劳动需求函数）7，Ns=a6+b6W+C6P+μ6,(劳动供给函数）第三十四页，共四十九页，2022年，8月28日有7个内生变量，g-1=6，第三个方程不需要判断，其参数值全部为1。首先根据阶的条件判断：1和4是完全可识别的，2、5、6、7是过度识别。秩的条件判断：1、2、4、5是是可以识别的，而6、7是不可识别的，只有5个行（或列）不全为零，所以是不可识别的。所以阶的条件判断结果和秩的条件不是完全吻合的，一个是必要条件，一个是充分必要条件。阶的条件判断是可是别的，秩的条件判断不一定是可识别的。第三十五页，共四十九页，2022年，8月28日阶的条件大多数情况下可以保证可识别性，一般不必使用秩的条件。第三十六页，共四十九页，2022年，8月28日例题二方程y1y2y3y4y5z1z2z3z11××0×0×00×20×××00××03×0×××00××40×0×0×0×05×00××0××0利用阶和秩的条件分别进行判断第三十七页，共四十九页，2022年，8月28日已知g-1=4阶的条件表明：方程1，2，5是完全可识别的，3不可识别，4过度识别。秩的条件判断的结果：1、2、4、5是可以识别的，3是不可识别的。第三十八页，共四十九页，2022年，8月28日第三节联立方程组的估计问题一，间接最小二乘法（略）

联立方程组的估计方法分为：1，对单个方程的估计方法，又称有限信息法；2，系统方程估计法，又称完全信息法，我们只讨论第一种方法，我们的估计将一个方程一个方程的进行。首先介绍工具变量法第三十九页，共四十九页，2022年，8月28日二，工具变量法（theinstrumentalvariablesmethod,IV法）所谓工具变量是指与误差项无关但是与解释变量有关的变量，例如模型y=βx+μ因为解释变量和干扰项是相关的，所以不能直接使用最小二乘法，但是如果我们能找到一个变量例如z，z与μ无关，但是与x相关，即Cov(x,z)≠0,cov(z,μ）=0,我们就可以得到参数的一致估计量第四十页，共四十九页，2022年，8月28日cov(z,μ）=0，所以根据样本所对应的为：1/nΣzû=01/nΣz(y-βhatx)=0βhat=Σzy/Σzx=Σz(βx+μ)/Σzx=β+Σzμ/Σzx1/nΣzμ

1/nΣzx第四十一页，共四十九页，2022年，8月28日上式在n趋于无穷时，等于0。所以通过工具变量，我们得到了参数的一致估计量。下面我们来介绍如何选择工具变量。第四十二页，共四十九页，2022年，8月28日工具变量的选择有两种方法：1，用所要估计的方程之外的外生变量作为该方程的工具变量；2，使用yi的拟合值作工具变量。下面我们分别介绍工具变量估计参数的方法。第四十三页，共四十九页，2022年，8月28日三，两阶段最小二乘法（theTwo-StageLeastSquaresMethod,2SLS)步骤如下：1，估计约简方程，得到内生变量yi的拟合值。2，用相应的内生变量的拟合值代替等式右侧的内生变量，然后再使用最小二乘法。工具变量法和两阶段最小二乘法的不同在于，前者使用内生变量的拟合值作为工具变量，二后者把内生变量的拟合值作为解释变量。