第三章-线性系统的时域分析法

第三章-线性系统的时域分析法主要内容控制系统时域性能指标一、二阶系统分析与计算高阶系统暂态分析系统稳定性分析系统稳态误差分析matlab进行时域分析2

基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。熟练计算性能指标和结构参数，特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。2了解一阶系统的脉冲响应的特点。3正确理解系统稳定性的概念，能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。3

4正确理解稳态误差的概念，明确终值定理的应用条件。5熟练掌握计算稳态误差的方法。6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

4控制系统的分析方法分析控制系统第一步建立模型第二步分析控制性能

分析方法包括时域分析法频域分析法根轨迹法53.1

典型输入函数和时域性能指标

一、时域分析法的特点它根据系统微分方程，通过拉氏变换，直接求出系统的时间响应。依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能，并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。优点：直接方法，比较准确，可以提供系统时间响应的全部信息。缺点：求解高阶微分方程困难6二、典型初始状态，典型输入函数1.典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。即在外作用加于系统之前，被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零，系统处于相对平衡状态。7系统的数学模型由本身的结构和参数决定；系统的输出由系统的数学模型、系统的初始状态和系统的输入信号形式决定；典型的输入信号有：阶跃信号；斜坡信号；等加速度信号；脉冲信号；正弦信号；典型输入信号的特点：数学表达简单，便于分析和处理，易于实验室获得。2.典型输入函数8

阶跃函数tu(t)0îíì<³==0t00t1)t(1)t(u其拉氏变换为：s1dte1)s(U)]t(u[L0st===ò¥-

其数学表达式为：9

斜坡函数0t0t0t)t(1t)t(u<³îíì=.=其拉氏变换为：20sts1dtet)s(U)]t(u[L===ò¥-tu(t)0

其数学表达式为：10抛物线函数其拉氏变换为11000)()(=¹îíì¥==ttttud其拉氏变换为：1)()]([==sFtuLò+¥¥-=1)(dttd定义：单位脉冲作用在现实中是不存在的，它是某些物理现象经数学抽象化的结果。

脉冲函数

其数学表达式为：12其拉氏变换为：220sin)()]([ωsωdteωtsUtuLst+===ò¥-000sin)(<³îíì=ttωttuu(t)

其数学表达式为：正弦函数

分析一个实际系统时采用哪种信号，要根据系统的实际输入信号而定。正弦信号主要用来求取频率响应。13三、控制系统的时域性能指标时间响应：动态过程—从初始态到接近稳态的响应。稳态过程—t趋于无穷大时的输出状态。对控制性能的要求（1）系统应是稳定的；（2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求；（3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。14超调误差带稳态误差Esstdtrtpts0th(t)10.90.50.1上升时间峰值时间调节时间阶跃响应输出单位阶跃响应性能指标：151延迟时间td：指h(t)上升到稳态的50%所需的时间。2上升时间tr：指h(t)第一次上升到稳态值的所需的时间。3峰值时间tp：h(t)第一次达到峰值所需的时间。上述三个指标表征系统初始阶段的快慢。4超调量：h(t)的最大值与稳态值之差与稳态值之比：165调节时间ts：指h(t)和h()之间的偏差达到允许范围（2%-5%）时的暂态过程时间。它反映了系统的快速性。6振荡次数N：调节时间内，输出偏离稳态的次数。7稳态误差ess：单位反馈时，实际值（稳态）与期望值（1（t））之差。它反映系统的精度。17注意事项：183.2

一阶系统的暂态分析定义：由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。1.一阶系统的数学模型19一阶系统数学模型微分方程：动态结构图：传递函数：20输入：输出：2.一阶系统的单位阶跃响应

在单位阶跃作用下，一阶系统的输出量随时间变化曲线为一条指数曲线。21单位阶跃响应曲线初始斜率：

一阶系统的单位阶跃响应如果以初始速度等速上升至稳态值1所需的时间应恰好为T。22T时刻斜率：t=∞斜率：性能指标1.平稳性：2.快速性ts：3.准确性ess：非周期、无振荡，不存在T越小，系统过渡时间就越短。23举例说明一阶系统如图所示，试求：当KH＝0.1时，求系统单位阶跃响应的调节时间ts，放大倍数K如果要求ts＝0.1秒，试问系统的反馈系数KH应调整为何值？2425稳态误差输出响应3.一阶系统的单位斜坡响应定义：系统在单位斜坡输入[r(t)=t·1(t)]作用下的响应。26

稳态误差趋于T，T越小，动态性能越快，稳态误差越小，但不能消除。初始速度：27

单位斜坡响应28一阶系统单位斜坡响应的稳态分量，是一个与输入斜坡函数斜率相同但在时间上升后是时间常数T的斜坡函数。该曲线的特点是：在t=0处曲线的斜率等于零；稳态输出与单位斜坡输入之间在位置上存在偏差T。29输入：输出：4.一阶系统的单位脉冲响应30输入：输出：5.一阶系统的单位加速度响应系统的跟踪误差：跟踪误差随着时间的推移而增大，因此，一阶系统不能实现对单位加速度输入函数的跟踪。31由上面分析可知，一阶系统仅有一个特征参量T——时间常数，调整时间为（3-4T）当t=0时单位阶跃响应的变化率和单位脉冲响应的初始值均为1/T，单位斜坡响应的稳态误差为T。T越小，系统的动、静态性能越好。一、二阶系统的数学模型及单位阶跃响应定义：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。

二阶系统不仅在工程中比较常见，而且许多高阶系统也可以转化为二阶系统来研究，因此研究二阶系统具有很重要的意义。3.3

二阶系统的时域分析32单位负反馈系统是典型的二阶系统，开环传函为闭环传函为——无阻尼自然振荡角频率——二阶系统阻尼比二阶系统数学模型33二阶系统数学模型二阶系统的传递函数一般式为：34二阶系统的特征方程为s1,s2完全取决于，n两个参数。解方程求得特征根：二阶系统阶跃响应351.无(零)阻尼情况此时s1,s2为一对纯虚根，位于虚轴上。S1,2=jn单位阶跃响应曲线等幅振荡，超调量为100%，系统为不稳定系统。36不同时二阶系统阶跃响应372.临界阻尼情况此时s1,s2为一对相等的负实根。

s1=s2=-n38不同时二阶系统阶跃响应393.过阻尼情形（)

40不同时二阶系统阶跃响应41过阻尼系统分析衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；衰减项前的系数一个大，一个小；二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。42二阶过阻尼系统阶跃响应指标分析对于过阻尼二阶系统的响应指标，只着重讨论，它反映了系统响应过渡过程的长短，是系统响应快速性的一个方面434.负阻尼此时s1,s2为一对实部为正的共轭复根，位于复平面的右半部。445.负阻尼此时s1,s2为两个正实根，且位于复平面的正实轴上。45此时s1,s2为一对共轭复根，且位于复平面的左半部。6.欠阻尼情况阻尼振荡角频率46不同时二阶系统阶跃响应47二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应由稳态分量和暂态分量组成。稳态分量值等于1，暂态分量为衰减过程，振荡频率为ωd。48二阶系统响应特点1、=0时，等幅振荡；3、=1时，处于衰减振荡与单调变化的临界状态；5、-1<<0时，振荡发散，系统不稳定；6、<-1时，单调发散，系统不稳定。4>1时，越大，曲线单调上升过程越缓慢；2、0<<1时，越小，振荡越严重，超调越大（最大超调量100%），衰减越慢；49由曲线进一步知道：1、阻尼比越大，超调量越小，响应越平稳。反之，越小，超调量越大，振荡越强。2、当取=0.707左右时，Ts和%都相对较小，故一般称=0.707为最佳阻尼比。3、二阶系统的单位阶跃响应不存在稳态误差。

在一定下,欠阻尼系统比临界阻尼系统更快达到稳态值；过阻尼系统反应迟钝，动作缓慢，故一般二阶系统都设计成欠阻尼系统。50阻尼比与极点分布和系统性能的关系(脉冲响应曲线变化情况)51（1）上升时间

（2）峰值时间

二、二阶系统欠阻尼状态下的时域指标52（3）超调量σ％

ζ在0.4～0.8之间取值时，超调量在25％～2.5％之间，将称为二阶工程最佳参数，此时的超调量为

（4）调节时间

53平稳性结论：越大，ωd越小，幅值也越小，响应的振荡倾向越弱，超调越小，平稳性越好。反之，越小，ωd越大，振荡越严重，平稳性越差。54在一定的情况下，越大，振荡频率也越高，响应平稳性也越差。结论：对于二阶欠阻尼系统而言，大，

小，系统响应的平稳性好。快速性从图中看出，对于5％误差带，当时，调节时间最短，即快速性最好。同时，其超调量<5％，平稳性也较好，故称为最佳阻尼比。总结：越大，调节时间越短；当一定时，越大，快速性越好。55稳态精度从上式可看出，瞬态分量随时间t的增长衰减到零，而稳态分量等于1，因此，上述欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应稳态误差为零。56二阶系统举例设位置随动系统，其结构图如图所示，当给定输入为单位阶跃时，试计算放大器增益KA＝200，1500，13.5时，输出位置响应特性的性能指标：峰值时间tp，调节时间ts和超调量，并分析比较之。57例题解析(1)输入：单位阶跃系统的闭环传递函数：58例题解析(2)当KA

＝200时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：59例题解析(3)当KA

＝1500时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：60例题解析(4)当KA

＝13.5时系统的闭环传递函数：与标准的二阶系统传递函数对照得：无61系统在单位阶跃作用下的响应曲线62例3-1

已知二阶系统的动态结构图如图所示。当输入量为单位阶跃函数时，试计算系统响应的上升时间、峰值时间、超调量和误差5％误差带下的调节时间。解系统的闭环传递函数为解得

63例3-2

图示系统单位阶跃函数输入时，①、若要求试确定系统参数K和τ，并计算上升时间和调节时间；②、由①条件所确定的K值不变，τ取0时，系统的超调量又是多少？自然振荡角频率是否改变？解64②、K值不变τ为0时，可见，K值不变τ为0时，

不变，但ζ小了，超调量增大了7.6％。

引入微分负反馈可以增大阻尼比，降低超调量，不改变自然振荡角频率。闭环传函变为65例3-3

图3.15是具有反馈系数为α的负反馈二阶控制系统。

单位阶跃响应特性如图3.16所示，试确定系统参数K,T和α。

图3.15反馈系数为α的二阶系统图3.16单位阶跃响应曲线解解得

解得解得

解得

终值定理66当输入信号为单位斜坡信号时三、二阶系统单位斜坡响应67稳态分量：瞬态分量：欠阻尼二阶系统的单位斜坡响应68误差响应：对误差响应求导，并令其为0，得到误差峰值时间：误差峰值：稳态误差：69误差最大偏离量可以表示为：误差的调节时间——误差进入稳态值5%误差带所需时间：70

如果闭环传递函数的分子是S的一次多项式，则系统称为含有一个闭环零点的二阶系统。闭环传递函数为：令(2)..................................(1)......1.含有闭环零点的二阶系统暂态分析四、改善二阶系统性能的措施71输入信号为单位阶跃函数时，输出的时域函数全响应其中f(3).............................72图1不同零点值的响应曲线图2具有零点的二阶响应特性分解结论二阶零点的存在使无零点的特性向左偏移，上升时间提前，超调增大。零点离虚轴越近影响越大。实质是相当于输出量经过了一个微分环节73开环零点和闭环零点开环零点是开环传函中的零点，由开环通道中具有微分性质的传递函数形成。包括前向通道和反馈通道，在这两个通道中任何部位的微分环节都形成开环零点。闭环零点是闭环传函中的零点。令则74含有一个闭环极点的二阶系统闭环传函为其中单位阶跃的输出为（4）……………….拉氏反变换……………（5）…….（6）式中2.含有闭环极点的二阶系统暂态分析75图3附加极点位置不同时的响应曲线结论附加的闭环极点使特性曲线右移，上升时间滞后，超调量减小。附加极点离虚轴越近，影响越大。实质是相当于输出量经过了一个惯性环节通过以上分析看出，闭环零点和闭环极点的作用是相反的，影响是互补的。当既有零点又有极点时，看谁离虚轴更近，近者影响大。763.4

高阶系统的暂态分析定义：用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。由于求高阶系统的时间响应很是困难，所以通常总是将多数高阶系统化为一、二阶系统加以分析。通常对于高阶系统来说，离虚轴最近的一个或两个闭环极点在时间响应中起主导作用，而其他离虚轴较远的极点，他们在时间响应中相应的分量衰减较快，只起次要作用，可以忽略。771、高阶系统的一般形式闭环传函782、高阶系统的单位阶跃响应

为实数极点的个数，为共轭复数极点的对数，。设上述极点互异并都位于平面的左半平面，则经过整理后79单位阶跃响应的拉氏反变换（1）由稳态响应分量和暂态响应分量组成，暂态响应由一阶惯性环节和二阶振荡环节组成（2）各暂态分量由其系数和指数衰减常数决定，若所有闭环极点都在s平面左侧，即均具有负实部，则随时间增加，式中指数项趋于0，该高阶系统是稳定的。（3）高阶系统暂态响应各分量衰减快慢由其衰减系数决定。80（4）高阶系统暂态响应各分量的系数不仅和极点位置有关，而且与零点位置有关。若极点-pi的位置离原点很远，则相应系数Ai将很小，其对应的暂态分量幅值小，衰减快，对暂态性能影响小。若极点-pi靠近一个闭环零点，远离原点及其他极点，则Ai将很小，该暂态分量对暂态性能影响小，若极点和零点靠的很近，则该极点对暂态性能几乎没有影响。若极点-pi远离闭环零点，但与原点相距较近，则相应系数Ai将较大，则其暂态分量幅值大，衰减慢，对暂态性能影响较大。（5）若高阶系统中距虚轴最近的极点，其实部小于其他极点实部的1/5，且附近不存在零点，认为系统的暂态响应主要由该极点决定，成为主导极点。常以共轭复数出现。81高阶系统的时域分析就转化为相应的一、二阶系统。这就是所谓的主导极点的概念，将在第四章中详细介绍。一、二阶系统的极点分布如下：823、高阶系统举例例：设三阶系统的闭环传递函数为试确定其单位阶跃响应。解：输出信号的拉氏变换经拉氏反变换83例3—4

某控制系统的闭环传递函数为试求该系统的单位阶跃响应特性，讨论忽略特征根与原系统特性的差异，并由近似的二阶特性估算系统的性能指标。的模式项后，响应特性解单位阶跃响应象函数为

由待定系数法求得

84忽略自然模式项后系统输出变为忽略衰减项前后的响应曲线85例3—5

图3-22所示系统是直流电动机拖动的位置随动控制系统的动态结构图。系统的输出量是角位移，放大系数所在的环节是他励直流电动机环节，其中，是电动机的电磁时间常数，是电枢回路的等效电感，是电枢回路的等效电阻，是电动机的机电时间常数，该环节的输出量是角速度。的积分环节将角速度变换为角位移。是比例控制器环节。设试分析分别取1，8，21时忽略电枢电感对系统响应的影响。解系统的开环传递函数为闭环传递函数为忽略时，开环传递函数为闭环传递函数为86（1）时，系统的单位阶跃响应像函数为忽略后，单位阶跃响应像函数为K=1两种情形响应曲线87（2）时，单位阶跃响应像函数为忽略K=8两种情形响应曲线88（3）系统不稳定.

忽略894、高阶系统的近似分析高阶系统可以近似成低阶系统来分析；学习了系统的根轨迹后将详细说明为什么高阶系统可以近似来分析。903.5

代数稳定判据本节主要内容：线性定常系统稳定的概念系统稳定的条件和稳定性的判定方法。91一、稳定性的基本概念(a)(b)ABA图(a)表示小球在一个凹面上，原来的平衡位置为A，当小球受到外力作用后偏离A,例如到B,当外力去除后，小球经过几次振荡后，最后可以回到平衡位置，所以，这种小球位置是稳定的；反之，如图(b)就是不稳定的。92是指系统当扰动作用消失后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。若系统能恢复平衡状态，就称该系统是稳定的，若系统在扰动作用消失后不能恢复平衡状态，且偏差越来越大，则称系统是不稳定的。稳定性是系统的固有特性，对线性系统来说，它只取决于系统的结构、参数，而与初始条件及外作用无关。93二、稳定性的数学条件设系统的线性化增量方程为：94对上式进行拉氏变换得：其中：D(s)为系统闭环特征式，也称输出端算子式；M(s)称为输入端算子式。R(s)为输入，C(s)为输出，M0(s)为总的初始条件，与系统的初始状态有关的多项式。或简写为：95则有：假定：将C(s)等式右的两项分别展开成部分分式，可得96再进行拉氏反变换，得该部分为稳态分量，即微分方程的特解，取决于输入作用。97该为瞬态分量，即微分方程的通解，运动规律取决于，由系统的结构参数确定。98系统去掉扰动后的恢复能力，应由瞬态分量决定。此时，系统的输入为零。故：稳定性定义可转化为：式中：Ai，Ci均为常值，因此，系统的稳定性仅取决于特征根si的性质。99特征根的性质对系统稳定性的影响当si为互异实根时，即si＝i，100101特征根与系统稳定性的关系(2)当si为共轭复根时，即si，i+1＝i±

jωi102共轭复根情况下系统的稳定性103结论：系统稳定的充分必要条件是：系统的特征方程的所有根都具有负实部，或者说都位于S平面的虚轴之左。注：拉氏变换性质中的终值定理的适用条件：SE(S)在S平面的右半平面解析，就是上面稳定条件的另一种表示，即特征方程的所有根Si位于S平面的虚轴之左。104三、劳斯判据由上面分析可以看出，上面的方法必须求出闭环传函的所有极点。这对二阶以下的系统是有用的，但是对于三阶以上系统，求解极点一般来说是比较困难的。因此人们希望不求解高阶方程而进行稳定性的间接判断。1877年，英国学者劳斯（ROUTH）提出了利用特征方程的系数进行代数运算，得到全部极点具有负实部的条件，以此判断系统是否稳定。105判据之一：劳斯(Routh)判据系统稳定的充分必要条件是：劳斯表中第一列所有元素的计算值均大于零。代数稳定判据：利用特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部根为负实部的条件，以此来判断系统是否稳定。106劳斯判据1、列出系统特征方程：上式中所有系数均为实数，并设2、按系统特征方程列写劳斯行列表：1071081093、考察行列表若第一列各数均为正数，则系统的所有特征根均在根平面的左半平面，此系统稳定。若第一列中有负数则说明系统不稳定，第一列中符号变化的次数表示右半平面根的个数。在进行行列表计算时，为了运算方便，可将一行中各数都乘以一个正数，不影响稳定性判断110劳斯判据(特征方程的系数全为正)

例3-6

由劳斯稳定判据确定特征方程为

稳定时各系数应满足的条件。解劳斯表为由劳斯稳定判据知，参数满足

时系统稳定。

（1）若劳斯表中第一列元素都大于零，则系统稳定的控制系统思考：

111（2）若劳斯表中第一列元素符号有变化，则系统不稳定，不稳定的闭环极点个数等于首列元素符号改变的次数。例3-7判定特征方程为的系统的稳定性。

解劳斯表为

首列元素的符号由正变负，又由负变正改变了2次，有两个正实部（或正实数）的特征根，系统不稳定。112设系统特征方程如下：试用劳斯判据判断该系统的稳定性，并确定正实部根的数目。例1.113解：将特征方程系数列成劳斯表结论：系统不稳定；系统特征方程有两个正实部的根。114劳斯表判据的特殊情况1、劳斯行列表中某一行的左边第一个元素为0，其余不为0或没有。这时可以用一个很小的正数来代替这个0，使运算继续下去。2、劳斯行列表中第K行全部为0。说明有对称于原点的根。这时可以建立一个辅助方程继续进行分析，方法是：（a）用K-1行构成辅助多项式，它的次数为偶数。（b）对辅助多项式求导，系数代替K行。继续计算。（c）对于对称于原点的根，可由辅助多项式等于0求得。115特殊情况（1）例3-8已知系统的特征方程为

试判定系统的稳定性。解在行出现了首列元素为0的非全0行，用小正数得到下一行的首列元素为

替代首列0元素后系统不稳定并且有两个不稳定的特征根。

事实上，四个特征根的数值解分别为

116特殊情况（2）例3-9设系统的特征方程为：试用劳斯判据确定该系统的稳定性。117解：将特征方程系数列成劳斯表劳斯表中出现全零行，表明特征方程中存在一些大小相等，但位置相反的根。这时，可用全零行上一行的系数构造一个辅助方程，对其求导，用所得方程的系数代替全零行，继续下去直到得到全部劳斯表。118用行的系数构造系列辅助方程

求导得：用上述方程的系数代替原表中全零行，然后按正常规则计算下去，得到119120表中的第一列各系数中，没有符号的变化，没有闭环极点分布在右半s平面。由全零行可知，有闭环极点分布在虚轴上，求解辅助方程，可知产生全零行的极点。另一闭环极点为：121例3-10某控制系统的开环传递函数为试用劳斯稳定判据确定闭环系统稳定时参数τ的取值范围。解劳斯稳定判据的一些应用特征方程为系统稳定，第一列系数均大于零，解得（1）确定稳定条件下某参数的取值范围122例1.某单位反馈系统的开环传递函数为试确定使闭环系统稳定K和T的取值范围。解：系统的闭环传递函数系统的特征方程为：123为使系统稳定，各项系数必须为正，即T>0,K>0该系统为三阶系统，为使其稳定，各项系数要满足：求解得：124稳定判据只回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。不能保证系统具备满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。相对稳定性或稳定裕量：最靠近虚轴的闭环极点与虚轴的距离求相当于坐标轴左移个单位代入特征方程，然后用劳斯判据去判别该系统是否稳定若稳定，则有的稳定裕量。令（2）确定系统的相对稳定性125例2：系统特征方程为判断系统是否有根在右半平面，并验有几个根在s=-1的右边。故S右半平面无根。将s=r-1代入原方程得：故有一个根在s=-1的右边。解：劳斯表126例3.用劳斯判据检验下列特征方程是否有根在s的右半平面上，并检验有几个根在垂线S=-1的右方。解：劳斯表第一列全为正，所有的根均位于s左半平面，系统稳定。检验系统是否有稳定裕量1，令s=r-1带入特征方程。127得新的特征方程为列新劳斯表：零上面和下面系数的符号相同，表明没有右半平面的根，但由于S1行的系数为零，故有一对纯虚根。这说明，原系统刚好有1的稳定裕量。128例3－11

带控制器的二阶系统如图所示。

计算系统稳定时τ的取值范围；在保证有

的稳定裕量时，τ的取值范围又是多少？

解

解得解得129令

例3.设单位负反馈系统的开环传递函数为1）确定K使闭环系统稳定的取值范围；2）要使系统闭环极点的实部不大于-1，试确定K的取值范围。解：系统的闭环传递函数为系统的特征方程为：130列劳斯表：为使系统稳定，劳斯表中第一列元素全为正数，即：解得2）为使系统闭环极点的实部不大于-1，将s=r-1代入系统的闭环特征方程，得新的特征方程：解得131判据之二：赫尔维茨（Hurwitz)稳定判据系统稳定的充分必要条件是：特征方程的赫尔维茨行列式Dk（k＝1,2,3,…，n）全部为正。132赫尔维茨判据系统特征方程的一般形式为：各阶赫尔维茨行列式为：（一般规定）133例3－12

应用胡尔维茨判据判定具有如下特征方程式的控制系统的稳定性。

解134例3－13控制系统的特征方程式为试应用胡尔维茨判据确定该系统稳定时τ的取值范围。解由特征方程式的系数构造如下的胡尔维茨行列式并计算之，得稳定条件满足1353.6

稳态误差分析控制系统的性能：动态性能和稳态性能稳态性能用稳态误差来描述讨论稳态误差的前提是系统是稳定的136一、稳态误差的定义稳态误差：系统稳定运行时输出响应期望的理论值与实际值之差。扰动误差如电网电压波动，负载变化结构性误差由系统本身的结构和参数决定的测量误差

提高测量精度减小测量误差后两种称为原理性误差，原理性误差改进系统设计减小原理性误差137控制系统的典型结构图如下：1381、从输入端定义的稳态误差。输入量象函数与反馈量象函数之差称为误差象函数。对应的时间函数稳态误差定义为误差象函数为在实际系统中，输入误差可以直接测量得到，因此由输入端定义的误差在实际中应用较多。1392、从输出端定义的稳态误差。系统在输入量r(t)

的作用下无稳态误差时的输出量（期望理论值）为系统的实际稳态输出为则稳态误差为输入端定义的稳态误差与输出端定义的稳态误差关系α为反馈通道的传输系数140

这个定义容易理解，但是在实际应用中存在不容易测量的问题。虽然实际输出值是可以测量的，但期望值却不能直接测到，期望值不但与输入量有关，而且，有系统的结构和特性所决定，使计算复杂。因此该定义一般只有数学意义。141二、稳态误差的计算1.系统的型别不考虑扰动量，对于给定参考输入，输出量和反馈量的象函数分别为142得误差传递函数将误差象函数与输入量象函数的比值定义为误差传递函数根据拉氏变换终值定理，稳态误差为从上式可以看出，给定稳态误差不仅取决于参考输入，还取决于系统的结构类型和参数。143如果不考虑参考输入，对于扰动输入下的输出象函数为：得误差传递函数输入端误差象函数144根据拉氏变换终值定理，稳态误差为其中，N(s)用典型函数来描述。从上式可以看出，扰动稳态误差不仅取决于扰动量的性质，还取决于系统的结构类型和参数。总结以上可知：对于一个给定的稳定系统，当输入信号一定时，系统是否存在稳态误差就取决于开环传递函数所描述的系统结构。因此，按照控制系统跟踪不同输入信号的能力来进行系统分类是必要的。145

控制系统的结构类型按随动系统跟踪阶跃信号、斜坡信号和抛物线信号等输入信号的能力划分为0型，I型，II型….设系统的开环传递函数为式中，K为系统的开环增益；Tj和τi是时间常数；υ为开环传递函数中积分环节的个数。系统按υ不同取值可以分为不同类型。υ=0，1，2时，系统分别称为0型，Ⅰ型和Ⅱ型系统…。当υ>2时，除符合控制系统外，使系统稳定是相当困难的。因此除航天控制系统外，Ⅲ型及其Ⅲ型以上的系统几乎不用。1462.给定输入作用下系统的稳态误差系统稳态误差的计算通式可以表示为：系统型别开环增益有关输入信号当系统的结构及型别确定后，稳态误差只与输入信号有关。下面对于不同的典型输入函数，讨论和分析系统的稳态误差。1471）阶跃函数输入时的稳态误差及静态位置误差系数对0型系统，有对I型系统，有称为位置误差系数其中对II型系统，有要消除阶跃信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有一个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。1482）斜坡函数输入时的稳态误差及静态速度误差系数称为速度误差系数149Ⅱ型系统的速度误差系数为Ⅰ型系统的速度误差系数为稳态误差为稳态误差为要消除斜坡信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有两个积分环节。150对0型系统，有稳态误差为3）抛物线函数输入时的稳态误差及静态加速度误差系数稳态误差为称为加速度误差系数151Ⅱ型系统Ⅰ型系统要消除抛物线信号作用下的稳态误差，开环传递函数中至少要有三个积分环节。但是，积分环节多会导致系统不稳定。1520型系统型别静态误差系数阶跃输入r(t)=U*1(t)斜坡输入r(t)=Ut抛物线输入r(t)=Ut2/2vkpkvkaess=U/(1+kp)ess=U/kvess=U/ka0K00U/(1+K)∞∞I∞K00U/K∞II∞∞K00U/K表3-1输入信号作用下系统的稳态误差减小或消除误差的措施：提高开环积分环节的阶次ν、增加开环增益K。153结论：为使系统具有较小的稳态误差，必须根据不同的输入选择不同类型的系统，且选取较大的K值。但考虑稳定性问题，一般选择II型系统，且K值也要满足稳定性要求。例：系统结构如下图：若输入信号为试求系统的稳态误差。解：①判别稳定性。系统的闭环特征方程为155②根据系统结构与稳态误差之间的关系，可以直接求从结构图看出，该系统为单位反馈且属Ⅱ型系统。因此156例3－16

某控制系统的开环传递函数为试计算

时系统的稳态误差。

解该系统系Ⅱ型系统。将看成是三个典型函数的合成。

输入时的稳态误差为0

；输入的稳态误差为给定输入的稳态误差，计算为157注意事项系统必须是稳定的，否则计算稳态误差没有意义；以上结论仅适用于输入信号作用下系统的稳态误差，不适用于干扰作用下系统的稳态误差；公式中Ｋ必须是系统的开环增益，也即开环传递函数中，各典型环节的常数项均为１时的系数。以上规律是根据误差定义E(s)=R(s)-B(s)推得的。158例3－14

图示系统，输入量为给定10V直流电压，输出量为电动机的转速，试问：①、时，输出量的期望值及由输入端和输出端定义的稳态误差各是多少？

②、将α调大50％，上述各量又是多少？

解①②159例3－15

为了消除上例控制系统的稳态误差，在前向通道靠近输入端接入一个积分环节试分析系统稳定时各物理量的状态。解由于稳态误差为0160例：一单位反馈系统，要求

1）跟踪单位斜坡输入时系统的稳态误差为2；

2）设该系统为三阶，其中一对复数极点为(-1±j);求满足上述要求的开环传递函数。1613．动态误差系数动态误差系数可以研究输入为任意时间函数时系统的稳态误差，并且计算结果能充分显示稳态误差随时间变化的规律。输入信号r(t)引起的稳态误差由下式给出：其中，C0、C1、C2…称为动态误差系数。162C0：动态位置误差系数C1：动态速度误差系数C2：动态加速度误差系数0型系统：I型系统：II型系统：163输入端定义的稳态误差在s=0的邻域内将误差传函展开成泰勒级数对式（3）取拉氏反变换，得到由输入稳态时间函数及其各阶导数表示的稳态误差（1）（2）将（2）代入（1）得到（3）（3）1）求导法164其中将其代入式（2）得C0为零阶误差系数，C1为一阶误差系数，C2为二阶误差系数……（4）1652）长除法将系统误差传递函数表达式的分子和分母分别排列成s的升幂多项式，然后用分子多项式除以分母多项式，得到一个s的升幂级数于是有：上式是收敛于s=0邻域的无穷级数，所以上式中的系数就是待求C0、C1、C2…的动态误差系数。166例3－17某控制系统的开环传递函数为试计算输入函数为时，系统的稳态误差。解

167例：已知0型系统的开环传递函数为若给定输入为求给定稳态误差。解：系统给定误差传递函数利用求导法的系统的动态误差系数168系统的动态误差系数用前三个误差系数得误差函数：169若用终值定理计算所给系统的稳态误差的终值，即此时输入象函数为：则系统误差传递函数此结果与由误差级数计算得到的结果完全不符。显然稳态误差终值为零的结论是不正确的，原因在于给定输入为正弦函数的形式，其象函数在s平面虚轴上不是解析函数。1704、扰动量作用下的稳态误差1、输入端定义的扰动输入稳态误差171当开环传递函数则系统在扰动作用下的误差172由此可见，扰动信号作用下稳态误差的大小与扰动信号N(s)的形式有关外，当GK(s)>>1时，主要取决于扰动作用点到E(s)之间传递函数G1(s)中积分环节的个数N和放大倍数K1，即取决于扰动作用点的位置。这与输入信号作用下的稳态误差主要取决于系统开环传递函数中积分环节个数v和开环放大倍数K一样。173结论：为了改善系统的稳态性能，提高控制精度，应该尽可能增加前向通道中积分环节的个数，增大开环放大倍数。在前向通道中积分环节个数和开环放大倍数确定的前提下，为了消除扰动稳态误差，应该尽可能增加G1(s)中积分环节的个数；为了减小扰动稳态误差，应该增大放大倍数K1。174注意：增加前向通道中积分环节的个数，增大开环放大倍数都将影响系统的稳定性和动态性能。因此必要时进行系统校正，才能改善系统各方面性能。当系统在输入信号和扰动信号同时作用时，可用叠加原理计算系统总的稳态误差。1751)、单位阶跃函数输入系统稳态误差1）N=0，稳态误差为1/K1,说明干扰作用点前的环节不含有积分环节时，系统存在稳态误差，干扰作用点前环节的放大系数越大，稳态误差越小。2）N>=1，则稳态误差为0，说明干扰作用点前的环节若含有积分环节时，系统不存在稳态误差。1762)、单位斜坡函数输入系统稳态误差为：1）N=0，稳态误差为2）N=1，稳态误差为1/K1，干扰作用点前的环节的放大系数越大，则稳态误差越小。3）N>=2时，稳态误差为01773)、单位抛物线函数输入系统稳态误差为：1）N<=1，稳态误差为2）N=2，稳态误差为1/K1，干扰作用点前的环节的放大系数越大，则稳态误差越小。3）N>=3时，稳态误差为0178输出端定义的扰动输入稳态误差认为是无扰动作用时的稳态输出，为0179例3－18

试计算图示系统恒值负载扰动下的稳态误差。通过改变控制器的参数和结构形式能否抑制或消除它？解180例3－19试计算：①、时系统的稳态误差；②、时系统的稳态误差。解（1）（2）181例.系统结构图如图所示，试求：1.r(t)=1(t)和n(t)=-1(t)时系统的稳态误差ess；2.若要减小ess，应如何调整K1和K2；3.在扰动n(t)作用点前、后加入积分环节对稳态误差ess有何影响？其中182解：1.求essr法一：法二：183求essn：2.增大K1，适当减小K2，保证K1，K2足够大，以减小稳态误差。1843.1）扰动作用点之前加入积分环节求essr求essn185结论1：1）在扰动点之前加入积分环节，使开环系统由0型提高为I型，I型系统对阶跃输入信号下的问题误差为0，即称为该系统具有1阶无差度。2）在扰动点之前加入积分环节，对阶跃扰动信号下的稳态误差为0.1862）扰动作用点之后加入积分环节求essr求essn187结论2：1）在扰动点之后加入积分环节，使开环系统由0型提高为I型，I型系统对阶跃输入信号下的问题误差为0，即称为该系统具有1阶无差度。2）在扰动点之后加入积分环节，对阶跃扰动信号下的稳态误差为1/K1，K1越大，误差越小.188五、采取复合控制策略减小稳态误差图示系统的闭环传递函数为如果选取即则单位负反馈系统的输出信号完全再现输入信号。称为按给定作用的完全不变性（全补偿）条件。1、按给定输入补偿的复合控制复合控制将输入信号经一定传递函数的传输后，作用于前