第六章 水文统计

第六章水文统计第一页，共三十六页，2022年，8月28日6.1概述

水文现象既有确定性，也有随机性。由此分别发展出成因分析和数理统计两种研究途径。

水文计算的主要任务就是预估未来长时期内可能出现的水文情势，为工程规划、设计、施工以及运行管理提供水文依据。但未来长期的水文情势，影响因素众多，难以通过成因分析途径进行定量预报，只能基于统计规律，运用数理统计法作出概率预估。

第二页，共三十六页，2022年，8月28日6.2概率的基本概念一、事件

在概率论中，对随机现象的观测叫做随机试验，随机试验的结果称为事件。例如，掷硬币正面朝上；某河流断面年最大洪峰流量Q>1000m3/s；年降水量X>800mm，等等。事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件三种。第三页，共三十六页，2022年，8月28日1、必然事件：P(A)=1

随机试验中必然发生的事件称为必然事件。2、不可能事件：P(A)=0

随机试验中不可能发生的事件称为不可能事件。3、随机事件：0≤P(A)≤1

随机试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。第四页，共三十六页，2022年，8月28日二、概率古典概率事件满足：（1）试验的所有可能结果都是等可能的；（2）试验的所有可能结果的总数是有限的。古典概率定义：其中：

P(A)——在一定的条件组合下随机事件A出现的概率；

n——在随机试验中所有可能出现的结果的总数；

k——出现随机事件A的结果数。因为0≤m≤n，所以0≤P(A)≤1。第五页，共三十六页，2022年，8月28日三、频率水文事件所有可能出现的结果数是无限的。不符合古典概率公式，其发生概率只能通过多次观测试验来推求，设A事件在n次试验中出现了m次，则A在n次试验中的频率为：

实践证明，当试验次数n较小时，事件的频率很不稳定，但当试验次数足够大，频率与概率就十分接近了。

第六页，共三十六页，2022年，8月28日6.3随机变量及其概率分布一、随机变量若用X来表示随机事件的试验结果，则每次试验X将取得不同的数值，它是带有随机性的，将这种随机试验结果X称为随机变量。随机变量可分为两类：即离散型随机变量和连续型随机变量。第七页，共三十六页，2022年，8月28日

1、离散型随机变量若随机变量仅能取得一个有限区间内的某些间断的离散数值，则称为离散型随机变量。2、连续性随机变量若随机变量可以取得一个有限区间的任何数值，则称此随机变量为连续型随机变量。二、随机变量的概率分布随机变量可以是所有可能值中的任何一个值。但是取某一可能值的机会是不同的。即随机变量的取值与其概率有一定的对应关系，一般将这种对应关系称为随机变量的概率分布。第八页，共三十六页，2022年，8月28日

对于连续型随机变量，其所有可能取值有无限多个。因此，无法研究个别值的概率，只能研究某个区间的概率，或研究事件X≥x或X≤x的概率。水文上习惯研究事件X≥x的概率及其分布。

设事件X≥x的概率用P(X≥x)来表示，它是随着随机变量取值x而变化的，所以P(X≥x)是x的函数，称为随机变量x的分布函数，记为F(x)，即：

F(x)=P(X≥x)F(x)代表随机变量X大于等于某一取值x的概率。第九页，共三十六页，2022年，8月28日

如某站有64年的年雨量观测系列，分组统计结果如下：年降水量范围各组出现次数各组出现的频率(%)累积出现次数累积频率(%)900-99911.611.6800-89934.746.3700-79957.8914.1600-6991218.82132.8500-5992335.94468.8400-4991218.85687.5300-39957.86195.3200-29934.764100.0第十页，共三十六页，2022年，8月28日年降水量范围累积频率(%)>=9001.6>=8006.3>=70014.1>=60032.8>=50068.8>=40087.5>=30095.3>=200100.0累积频率分布曲线简称“频率曲线”第十一页，共三十六页，2022年，8月28日年降水量范围各组出现的频率(%)200-2994.7300-3997.8400-49918.8500-59935.9600-69918.8700-7997.8800-8994.7900-9991.6频率密度曲线第十二页，共三十六页，2022年，8月28日三、随机变量的统计参数

能说明随机变量统计规律的数字特征，称为随机变量的统计参数。水文变量的总体是无限的，只能用样本的统计参数来估计总体的统计参数，样本所包含的项数称为样本容量。

均值反映了样本系列的平均水平。

第十三页，共三十六页，2022年，8月28日

均方差反映了系列中各值相对于均值的离散程度。

当两个系列的均值相等时，均方差能反映系列的离散程度。但当均值相差较大时，CV能衡量系列的相对离散程度。第十四页，共三十六页，2022年，8月28日

偏态系数反映了系列中各值在均值两侧分布的对称程度。Cs=0，称为正态分布；Cs>0，称为正偏态分布，表示随机变量大于均值的机会小于50%；Cs<0，称为负偏态分布，表示随机变量大于均值的机会大于50%。第十五页，共三十六页，2022年，8月28日6.4水文频率计算一、分布线型分布线型水文频率计算参数估计分布线型：正态分布、皮尔逊III分布、对数分布等。参数估计：矩法、概率权重矩法、线性矩法、权函数法、适线法等。第十六页，共三十六页，2022年，8月28日f(x)x

正态分布的密度曲线有下面几个特点：

1、单峰；

2、对于均值对称，即Cs=0；

3、曲线两端趋于无限，并以x轴为渐近线。右图中阴影部分()的面积为68.3%。即P()=68.3%。正态分布呈对称分布，不符合水文现象。——均值；σ——标准差；

式中：

1.正态分布第十七页，共三十六页，2022年，8月28日

2.皮尔逊Ⅲ型概率分布曲线

P-Ⅲ型曲线在国内水文计算中的应用较广。其概率密度函数为：

式中:Γ(α)——α的伽马函数；

α,β,a0——皮尔逊Ⅲ型分布的参数，α>0，β>0。第十八页，共三十六页，2022年，8月28日在工程水文计算中需要求指定频率P的设计值xP：

在α,β,a0已知的情况下，xP只取决于P。而只要已知x、Cv、

Cs，α、β、a0就已知了。即只要x、Cv、Cs确定，xP可由P唯一确定。设计值

设计频率P(标准)x

f(x)

第十九页，共三十六页，2022年，8月28日？？已知x、CV

、CS，如何求指定频率P的xP？

引入标准化变量Φ，在Cs确定的情况下，p与Φp的对应关系有表可查。而已知了Φp，由第二十页，共三十六页，2022年，8月28日或者？？已知x、CV

、CS，如何求指定频率P的xP？

即已知x、Cv、Cs，就可以求出与各种P值相应的xP值，也就可以绘出频率曲线了。第二十一页，共三十六页，2022年，8月28日二、参数估计1.矩法前面介绍的计算x、CV、CS的方法属于矩法估计总体参数（公式见P144-P146）。此法估计的CV、CS误差较大，因此我国多采用适线法估计参数。而将矩法估计的参数作为适线的初值。第二十二页，共三十六页，2022年，8月28日

2.适线法

（1）经验频率曲线由样本估算各项样本值的频率，公式很多。目前广泛应用的是Weibull期望公式。首先将样本由大到小排列：样本各项经验频率：

其中，m——样本由大到小排列的序号；

n——样本的容量；由xm～Pm可点绘经验频率曲线的点据。第二十三页，共三十六页，2022年，8月28日

（2）经验频率

由于频率这个名词比较抽象，水文上经常采用重现期来描述。重现期：某事件在长时期内重复出现的时间间隔的平均数。频率与重现期的关系有两种表示法：

当研究暴雨洪水问题时，一般P<50%，采用：

当暴雨或洪水的频率采用P=1%时，T=100年。但应注意百年一遇的暴雨或洪水，是指大于或等于该量级的暴雨或洪水在长时期内平均100年发生一次，而不能认为每隔100年必然发生一次。

当研究枯水问题时，一般P>50%，采用：P=90%的枯水流量，称为10年一遇的枯水流量。第二十四页，共三十六页，2022年，8月28日3.目估适线法（1）计算步骤①样本由大到小排列，由期望公式确定的各项经验频率

(第7章时会介绍了，该法适用于没有特大值的连序系列的经验频率计算)。②在频率格纸上点绘经验点据。

m——从大到小排队的序号；

n——样本容量。第二十五页，共三十六页，2022年，8月28日第二十六页，共三十六页，2022年，8月28日

④以矩法计算的参数为适线初值，根据初定的参数值列表计算频率曲线，看此频率曲线与点据的配合是否理想，不理想则调整参数重新配线直到满意为止。均值就取矩法计算的值，主要调整CV和CS。P(％)0.010.112510205075…φPxP

③由矩法初估参数x、CV，CS通常由地区上CS/CV的比值确定。讨论CV、CS对频率曲线的影响第二十七页，共三十六页，2022年，8月28日

⑤根据频率曲线与经验点据的配合情况选定最终的频率曲线。

具体算法可参见P150例题。第二十八页，共三十六页，2022年，8月28日6.5相关分析一、相关关系的概念

1.完全相关（函数关系）两个变量x与y之间，如果每给定一个x值，就有一个完全确定的y值与之对应，则这两个变量之间的关系就是完全相关（或称函数关系）。

2.零相关（没有关系）两变量之间毫无联系或相互独立称为零相关。

3.统计相关（相关关系）介于上述两者之间的关系称为统计相关。可以通过回归分析建立回归方程，确定自变量与因变量之间的关系。第二十九页，共三十六页，2022年，8月28日二、相关的种类简相关和复相关。每种相关又可分为直线相关和曲线相关。这里只介绍水文计算中应用较多的一元线性回归。三、一元线性回归方程及其系数的最小二乘估计一元线性回归方程形式如下：

y=a+bx式中：x——自变量；y——因变量；a，b——待定系数。

a、b需要根据y与x的同期观测资料来确定。第三十页，共三十六页，2022年，8月28日

由右图可看出观测点(xi,yi)与配合直线的离差为：

采用最小二乘法估计参数a、b，使离差△yi的平方和达到最小。即求：

将a，b代入y=a+bx称为y倚x的线性回归方程。相关系数：yxyia+bxiy=a+bx△yixi第三十一页，共三十六页，2022年，8月28日四、一元线性回归方程的应用

在水文计算中，常用相关法来展延资料系列。

若设计站的年降水量观测年限较短(1970-1982年)，而参证站的年降水量观测年限较长(1970-1993年)，则可以用两个站同期(1970-1982年)观测的年降水量，建立两者之间的相关关系。并利用参证站(1983-1993年)的年降水量延长得到设计站1983-1993的年降水量。

X参X设第三十二页，共三十六页，2022年，8月28日五、相关展延的注意事项

1、平行观测的资料不可太少n≥152、辗转相关问题

①不同站之间的问题

DCBA

如图，A、B、C、D站之中，仅A站较长，B、C、D站资料短。现欲由A站将D站插补展延。但直接建立A与D的相关关系时，发现相关性太差，因此建立A→B→