第五章 风险衡量

第五章风险衡量第一页，共四十八页，2022年，8月28日第一节损失资料的收集与整理一、损失资料的收集为寻找那些可能在过去损失中得到的未来损失模型，风险管理人员应尽力收集损失数据，这些数据要求具有完整性、统一性、相关性和系统性，并且数据的收获必须利用合理的财力和时间。第二页，共四十八页，2022年，8月28日1、完整性。即收集到的数据尽可能充分，完整。当重要数据丢失时，风险管理人员必须依靠个人的洞察力和判断力来重新得到数据的内容。2、一致性。为反映过去的模型，损失数据必须至少在两个方面保持一致：第一，所有记录在案的损失数据必须在统一的基础上收集。第二，必须对价格水平差异进行调整，所有损失价值必须用同种货币来表示。3、相关性。过去损失额的确定必须以与风险管理相关性最大为基础。比如，财产损失，应以修复或重置财产得费用而不是财产得原始帐面价值作为损失值。第三页，共四十八页，2022年，8月28日4、系统性。收集到的各种数据，还不能直接使用，必须根据风险管理的目标与要求，按一定的方法进行调理，使之系统化，以提供有用的信息，成为预测损失的一个基础。第四页，共四十八页，2022年，8月28日二、损失资料的整理

对有缺损得数据进行分析，是为了发现数据得规律，从而推断损失数据得规律。一般是首先对数据进行排序。（一）资料分组资料分组法用于简缩资料。将损失数据的变动范围分为许多组（一般采用等组距）。组数得多少，关键是资料数量以及运用数据的目的。如果数据大于50个，可以分十组到二十组，组距不能太大，所以组数也不能太多。第五页，共四十八页，2022年，8月28日（二）频数分布当组距（用组界或组中值表示）与相应的组频数一起以表格的形式展示出来时，所得到的那个表就叫做频数分布表，简称频数分布。组中值是每个组的代表值。频数表能清楚地知道每个组所占据的比重，从而推断全体。第六页，共四十八页，2022年，8月28日（三）、累积频数分布累积频数分布是一个用以说明损失值在某特定数值以下的损失数据个数的表，因此各组对应的累积频数是该组及以前所有各组的组频数之和。也可表示为：第n组所对应的累积频数=第n-1组所对应的累积频数+第n组的组频数

第七页，共四十八页，2022年，8月28日第二节

损失资料的描述

一、损失资料的图形描述（一）条形图条形图是按宽度相同的垂直或水平条形线绘成的，它的长度与每一组数据的频率成正比。使用条形图主要用于比较不同时期的损失状况或不同类型之间的某些变动数量。

注意：条形图的每条宽度是一样的。第八页，共四十八页，2022年，8月28日（二）圆形图圆形图是用来比较整个组成部分的相对量，一个圆被分割成若干部分，每个扇形面积代表一个组成部分。注意：在圆形图中，要把百分比转化为度数，才能对圆形划分。只要乘以360可以。

第九页，共四十八页，2022年，8月28日（二）直方图直方图是表现分组资料的最普通的一种图形，直方图是一个在条形之间没有间隔的条形图。它利用一对坐标轴，水平轴衡量损失资料数据值，纵轴表示各组的频数或频率。水平轴可以从任何合适的数字开始，并且可以简单地选择任何合适的位置开始。垂直轴一般从0开始。组界分别表明在水平轴上，两个连续的组界值的差异是用那个组界的宽度来描述。长方形底底宽度和组距的宽度是相等的，而它的高度是由该组频数决定的，每个组都画成这样的直方图。第十页，共四十八页，2022年，8月28日（四）频数多边形频数多边形是在直方图的每个长方形的顶端的中点（即组中值）放一个小圆点，然后联结这些小圆点而成的。如果不绘直方图，小圆点则放在每个组中植相应的高度上，起始的小圆点常放在第一组半个组距处，最后一个小圆点距最后一个组半个组距的水平轴上，这样多边形就会封闭起来。随着组距的缩短，频数多边形逐渐接近一条平滑曲线，即为频数分布曲线。第十一页，共四十八页，2022年，8月28日二、损失资料的数字描述借助两类指标，一类是描述集中趋势的指标，称做位置量数（MeasuresofLocation），另一类是表明离散趋势的指标，称做变异量数（MeasuresofVariation）。集中趋势指标是指对全部数据具有代表性的一种数值。被称为是损失资料处的“中心”，而离散趋势指标是表示损失数据如何从“中心”扩散的。

第十二页，共四十八页，2022年，8月28日（一）位置量数1．全距中植。全距中植是样本中最小观察值与最大观察值的中心数值，即

最小观察值+最大观察值全距中值=———————————2第十三页，共四十八页，2022年，8月28日2．众数。一个样本中的众数是指样本中出现次数最多的观察值。假如每一观察值出现的次数都相同，那么就没有众数。更多的观察值出现相同的次数（它们比任何其余的观察值叫多出现），那么众数就不止一个，这个样本称为多峰的。

第十四页，共四十八页，2022年，8月28日3．中位数。假设数据资料已按递增顺序排列，而观察值的个数是奇数时，则中位数是位于正中间的观察值。如果观察值的项数是偶数，则中位数应当是两个中间观察值之间的中点数值。

4．算术平均数。最常用的位置量数就是算术平均数，简称为平均数，其定义为：观察值的总和算术平均数=———————————

观察值的项数（个数）第十五页，共四十八页，2022年，8月28日（二）变异量数还需要其他指标来表示资料的离散程度。1．全距。全距是最简单的变异数量。对于一个样本，全距等于最大观察值与最小观察值之差。2．平均绝对差。平均考虑到全部观察值的情况。任意一组数据，每个数值与算术平均值的离差总和必定等于零，这是因为正的离差与负的离差正好抵消。可以将所有的离差都做正值处理，然后再对N个离差作算术平均，因平均绝对差是指绝对差的简单的算术平均数，用记作平均绝对差。第十六页，共四十八页，2022年，8月28日3．方差和标准差。由于绝对值处理上比较麻烦，一般用平方和来处理离差，每个离差的平方和再被N－1除就是方差，一般用s平方表示方差，S表示标准差。4．变异系数。风险管理人员对获得的损失数据进行整理分析，此时变异系数V可用来测量两者的风险大小。一般地，在估计将来的平均损失的同时，还应考虑实际损失会与预期损失产生多大的偏差，应该分析损失资料数据的离散趋势。第十七页，共四十八页，2022年，8月28日常见的是方差和标准差的比较，但是在平均数不相等的情况下，仅仅靠方差的大小无法比较风险大小，需要把两者结合起来。变异系数V＝位置数与变异量的综合量数，其值变化范围从零到无穷，而不是0到1，用变异系数度量风险，比单独用位置量数，变异量数要优越很多。第十八页，共四十八页，2022年，8月28日第三节

风险衡量指标在风险衡量中通过以下两个指标反映：1．损失期望值，即未来某一时期内预期的损失平均值。2．损失幅度，指一旦损失发生，可能形成的最大损失。因此衡量一种风险的大小，关键在于估计损失概率、损失期望值和损失幅度。

第十九页，共四十八页，2022年，8月28日一、损失概率（一）损失概率的含义损失概率是指损失发生的可能性。确定损失概率是风险衡量的一个重要方面。损失频率是损失概率的估计值。损失频率是指一定时期内某风险事故发生的次数，一般可以用二项分布、泊松分布来估计损失的频率。不能仅仅凭借偶然事情来判断，要靠大数定律，小概率事件当作没发生。第二十页，共四十八页，2022年，8月28日（二）损失概率在风险衡量中的两种说法。1．时间性说法此说法侧重于时间的概念，多长时间内发生一次损失，以什么为计算单位。两点注意：其一是时间单位的采用不同，在直觉上损失概率的大小亦不同。其二采用此种说法通常是在经济单位并不拥有许多同类风险单位的情况。因为经济单位如不拥有许多同类风险单位，则难以在短期内预测有多少单位受损，因此，采用时间型说法对风险管理人员是有用的。第二十一页，共四十八页，2022年，8月28日2．空间性说法此种说法侧重于特定期内遭遇损失的风险单位数，是众多风险单位在空间上的平均结果。风险管理人员不能仅考虑本经济单位自己的风险单位的过去损失情况，尤其要考虑不同经济单位，甚至不同国家的风险单位损失经验。主要适用于本单位损失情况少，没有代表性，需要在大环境中考虑概率。第二十二页，共四十八页，2022年，8月28日采用空间性说法，应注意：观察的风险单位应该是相互独立的和同质的。所谓“相互独立”，是指风险单位之间绝对存在差异，此种差异可能来自各种原因（如所在地区，防护等级等），就某种风险而言，一个风险单位遭受损失并不影响其他风险单位遭受损失。所谓“同质的”不仅指风险单位面临相同的风险而且指风险单位所遭受的来自特定风险事故的损失概率和损失程度相同。

第二十三页，共四十八页，2022年，8月28日二、损失期望值损失期望值表征某一时期的平均损失，它可以通过损失数据的算术平均数来估计，如果已得到损失的概率分布，则可精确计算出来。主要是基于对过去历史记录材料的分析，来估计未来的期望值。第二十四页，共四十八页，2022年，8月28日三、损失幅度损失幅度是指一旦发生至损事故，其可能造成的最大损失值。风险管理人员根据经济单位自身特点，可用不同的方法来衡量损失幅度，最基本的是估测单一风险单位在每一件事发生下的最大可能损失（MaximumPossibleLoss）和最大预期损失（MaximumProbableLoss）。“最大可能损失”强调的是单一风险单位在企业生命存在期间，单一事件发生下可能最坏的损失，其特征是以企业生命存在期间为观察期间。第二十五页，共四十八页，2022年，8月28日“最大预期损失”强调的是单一风险单位，在单一事件发生下可能的最坏损失，其特征是不以企业生命存在期间为观察期间。最大可能损失是一种客观存在，与人的主观认识无关，而最大预期损失概率则是一种与概率估算相关，即与人们的主观认识无关。而最大预期损失则是一种与概率水平的不同而有所不同。因此最大可能损失不会低于最大预期损失。第二十六页，共四十八页，2022年，8月28日第四节损失概率与损失程度的估测

一、

每年损失事故发生的次数估测每年损失事故发生的次数是确定损失概率的一个重要方法，也是风险管理人员必须掌握的内容。（一）用二项分布估测损失次数（二）用泊松分布估测损失次数

第二十七页，共四十八页，2022年，8月28日运用二项分布是有条件的，不仅要求每个风险单位每年至多发生一次风险事故，而且当风险单位很大时，计算变得很复杂。当二项分布中的n很大，q很小时就可用泊松分布来拟合，而在风险管理中，风险单位数很大是常事，因此用泊松分布估测损失次数，就更为有用。

两种分布情况下，p代表的含义是不同的。第二十八页，共四十八页，2022年，8月28日例1.某企业有5栋建筑物，根据过去的损失资料可知，其中任何一栋在一年内发生火灾的概率都是0.1，而且相互独立。一栋建筑物在一年内发生两次火灾的可能性极小，可以忽略不计。试计算下一年该企业（1）不发生火灾的概率；（2）两栋以上建筑物发生火灾的概率；（3）火灾次数的平均值和标准差。第二十九页，共四十八页，2022年，8月28日解：（1）风险单位总数n=5，且每栋建筑物发生火灾的概率为p=0.1；（2）这5栋建筑物相互独立，发生火灾时不会互相影响；（3）一栋建筑物在一年内发生两次火灾的可能性极小，可认为其概率为0。据此，建筑物发生火灾的栋数可以用二项分布来描述，其概率分布为P=﹛X=x﹜=(X=0,1,2,…,5)第三十页，共四十八页，2022年，8月28日发生火灾的栋数X012345P=﹛X=0﹜＝=0.5905概率P=﹛X=1﹜＝=0.3281P=﹛X=2﹜＝=0.0729P=﹛X=3﹜＝=0.0081P=﹛X=4﹜＝=0.0004P=﹛X=5﹜＝=0.0000第三十一页，共四十八页，2022年，8月28日因此，（1）下一年不发生火灾的概率q=0.5905（2）两栋以上建筑物发生火灾的概率Q=P=﹛X=3﹜+P=﹛X=4﹜+P=﹛X=5﹜=0.0085（3）下一年发生火灾次数的平均值和标准差分别为μ＝n×p=5×0.1=0.5Σ=第三十二页，共四十八页，2022年，8月28日当每个风险单位在一定时期内最多发生一次风险事故时，可以运用二项分布来估算损失概率，但如果每个风险单位在一定时期内可能发生多次风险事故，二项分布就不适用。另外，即使是前一种情况，当独立的风险单位数很大时，二项分布的计算就会很复杂，因此，当风险单位数n很大而事故发生概率p又较小时，可以采用泊松分布。第三十三页，共四十八页，2022年，8月28日设有众多风险单位，每年估计平均有λ个风险单位发生事故，每—风险单位发生事故的概率相同，则—年中发生致损事故数x为一服从参数为λ的泊松分布，分布律为P=﹛X=x﹜＝该分布的期望与标准差分别为和因此关键问题是通过损失资料获得的估值，例如一个车队在过去的三年内共发生二次碰撞事故，即每年平均约2／3次，则估值为2／3。第三十四页，共四十八页，2022年，8月28日例2：假定有一个5辆车组成的车队，该车队约每两年有一次撞车事故，试估算该车队下一年中发生撞车事故次数的分布状况。解记x为一年中发生撞车事故的次数，由于年平均撞车次数为0.5，故x服从参数＝0.5的泊松分布，下一年撞车次数的概率分布计算如下表所示。第三十五页，共四十八页，2022年，8月28日期望值E(x)＝＝0.5，标准差为＝＝0.707，无撞车事故的概率p(x＝o)＝0.6065，多于三次撞车事故的概率为p(x＞3)＝1一p（x＝0）一p（x＝1）一p（x＝2）一p（x＝3）＝0.0018，多于一次撞车事故的概中为p(x>1)＝1一p(X=0)－p(x=1)=0.0902第三十六页，共四十八页，2022年，8月28日撞车次数x=k概率p(x=k)=00.606510.303320.075830.012640.001650.000260.0000第三十七页，共四十八页，2022年，8月28日二、每次事故的损失金额风险事故发生的次数是离散型随机变量，全部可能发生的次数与其相应的概率都可以一一列举出来。但每次风险事故所致的损失金额一般不能全部列举出来，它可以在某一区间内取值，因此，它是连续型随机变量。对于损失金额来说，一般只能确定其在某个区间的概率，因为连续型随机变量取某一个特定值的概率为零。第三十八页，共四十八页，2022年，8月28日对于一些损失频率分布类似一个正态分布的密度函数图形，即只有一个峰，且图形关于峰是近似对称的，这样的损失频率分布可用正态分布来拟合，并通过正态分布来估测损失额落在某区间上的概率，以及损失额超过某一数值时的概率。第三十九页，共四十八页，2022年，8月28日例3.某一村庄每次遭受洪水灾害而导致的损失金额如下表所示。损失金额（百元）次数5－1515－2525－3535－4545－5555－6565－752928302151求：（1）每次灾害所导致损失金额小于500元的概率大小；（2）每次灾害所致损失金额在4500到6000元之间的概率大小；（3）每次灾害所致损金额大于7500元的概率大小。第四十页，共四十八页，2022年，8月28日损失金额5－1515－2525－3535－4545－5555－6565－75中值102030405060701004009001600250036004900频数29283021512018084012001050300702003600252004800052500180004900第四十一页，共四十八页，2022年，8月28日损失金额的期望值：损失金额的标准差：第四十二页，共四十八页，2022年，8月28日（1）每次灾害所致损失金额小于500元的概率：P(x<5)=F(5)=(2)每次灾害致损金额在4500元和6000元之间的概率：P(45<x<60)=F(60)-F(45)=第四十三页，共四十八页，2022年，8月28日（3）每次灾害所致损金额大于7500元的概率：P(x>75)=1－F(75)=1-0.993=0.0007第四十四页，共四十八页，2022年，8月28日三、每年的总损失金额年总损失是指在已知该时期内损失次数概率分布和每次损失金额概率分布的基础上所求的损失总额。例.已知某一风险每年损失次数的概率分布和每次损失金额的概率分布，如下表。损失次数概率分布每次损失金额的概率分布损失次数概率损失金额概率00.510.320.210000.850000.2第四十五页，共四十八页，2022年，8月28日求年总损失金额的分布。解：由资料可知，损失次数有三种可能：0，1和2差。得