群表示理论至节

群表示理论至节演示文稿当前1页，总共51页。（优选）群表示理论至节当前2页，总共51页。3∀x,y∊V,∀α

,

β

∊

数域P，

若有T(αx+βy)=αTx+βTy则称T为线性算符。线性空间V上，满足群定义的线性算符集合构成线性算符群。一个线性空间V上有一个线性算符群

与群G={e,g1,g2,…}同态，则集合T称为群G的一个在该线性空间上的表示。V称为表示空间，V的维数为表示的维数。当前3页，总共51页。4

V：基矢，一个算符一定与一个矩阵对应矩阵群，

选取不同基矢组，T对应不同矩阵群群表示的另一种定义：设G是群，M是一个n维方阵集合，如果M与G同态

，则称M是G的一个n维表示。与群元g对应的矩阵M(g)称为群元g的表示矩阵。如果M与G同构

，则M称为G的真实(faithful)表示。若同态，则称非真实表示。当前4页，总共51页。52.单位表示单位算符，对应于单位矩阵任一n维空间上，至少有一个单位算符，

，是G的单位表示，也称恒等表示，或平庸表示。

(一维，n维)

当前5页，总共51页。63.如何确定群的表示（非单位表示）例1.C3v

群在三维实空间中直角坐标系下的表示。基矢群元g↔算符T(g)，则T(g)

是g的一个表示当前6页，总共51页。7，也可写成取决于

可按上述思路计算，也可如下计算：？当前7页，总共51页。8同理，当前8页，总共51页。9习题：确定D3群在类似情况下的表示。例2.群在以为基矢的二维函数空间中的矩阵表示。

先考虑一个物理问题：一个物体有温度分布。g∈G，是一个旋转操作。g旋转操作后，r点温度值=在点的值，当前9页，总共51页。10新函数旧函数，新自变量即，T(g)组成了与群G同构的算符群。♣T(g)构成线性空间中的一个群当前10页，总共51页。11当前11页，总共51页。12当前12页，总共51页。13

如果所选的空间基矢（基函数）不恰当，以致经算符变换后，新基矢不能用原基矢的线性组合表示，则表明所选的线性空间对于所研究的群不是封闭的，即，所选空间不足以表示所研究的群，需要寻找一个更大或更合适的空间来表示该群。群的封闭线性空间：只有当所选取的线性空间在算符群中所有算符的作用下都不变时，算符群才能给出群的表示。当前13页，总共51页。14一个群的表示有多少种？设矩阵群D是G的表示，对应于群元g的矩阵。有一个非奇异矩阵S，有。对于所有，构成一个矩阵群，也是G的一个表示。称是的等价表示。（注意：要求对所有群元g∈G，都用一个矩阵S

得到）采用不同的S，可构造出无穷多种表示，彼此都是等价表示。当前14页，总共51页。15定理1.如果有限群G有一个非单位矩阵表示，则必能通过相似变换将其变为幺正矩阵表示。（对任一g∈G,有表示矩阵D(g),可找到一个矩阵S，使，并且。）

相似变换不影响矩阵间的运算关系，所以，一切等价的表示都认为是相同的表示。等价表示构成一个表示的类。当前15页，总共51页。16证明：群G的一个矩阵表示，，对应于各个群元的表示矩阵。定义,H是厄米阵（）。对于厄米阵H，存在一个幺正阵V使其对角化当前16页，总共51页。17定义对角矩阵当前17页，总共51页。18群的一切等价表示都有一个等价的幺正表示。研究群表示时，只需研究其幺正表示形式。可见，对于任一g∈G，一定存在非奇异矩阵S=VD1，通过相似变换使一般的群表示变成幺正表示。当前18页，总共51页。19有无穷多种表示：当前19页，总共51页。20定理2.如果D1和D2是群G的两个等价的幺正表示，则有幺正矩阵U，使得。证明：由D1和D2等价可知，存在一个非奇异矩阵S，使得任一元素g，有当前20页，总共51页。21对厄米阵H,总有幺正矩阵V使其对角化，当前21页，总共51页。22下面证明U是幺正矩阵：证毕。对有限群，只需研究幺正表示及其幺正变换。当前22页，总共51页。23若群G有两个幺正表示D1和D2，则∀g∈G，有表示矩阵D1(g)和D2(g)，它们的直和是准对角阵（块状对角矩阵）。显然，这种群表示都是准对角矩阵。当前23页，总共51页。24推论：可由D1(g)堆积成也是群G的一种表示。可见，有无穷多种此类构造的表示，都是准对角矩阵。这种由相同结构的准对角矩阵组成的表示，称为可约表示(reduciblerepresentation)。可约表示的一般定义：

若通过一个矩阵S进行相似变换，可把所有群元的表示矩阵变成相同块状对角结构的准对角矩阵，则该矩阵表示就是可约表示。这种相似变换过程称为可约表示的约化。（可约表示矩阵→块状对角矩阵）当前24页，总共51页。25不可约表示（irreduciblerepresentation）上述情况不成立时的群表示，称为不可约表示。或者说，不可约表示是不能用更低维数的矩阵来描述的表示。推知：可约表示=一系列不可约表示的直和当前25页，总共51页。26第二节舒尔引理（Schur′slemma）若有一个非零矩阵A和群G的某一种表示中的所有矩阵对易，（1）若该表示是不可约的，则A必为单位矩阵的常数倍。（2）若A不是单位矩阵的常数倍，则该表示必为可约表示。当A是厄米矩阵时，约化矩阵就是使A对角化的矩阵。

*（2）是（1）的逆否命题当前26页，总共51页。27所以，证明舒尔引理，只需针对A是厄米矩阵这种特殊情况来证明即可。当前27页，总共51页。28当前28页，总共51页。若不是的常数倍，则至少有一个。n维：最多n－1个对角元相同。29设

矩阵对角元有两种：则设所在空间的基函数为对应一个算符

，

构成不变子空间。※

V1是V的子空间，{T}是V上的线性算符群，若{T}只能将V1中的向量变换为V1中的向量，则V1关于{T}中每个算符都是不变的，称V1是{T}的不变子空间，V1关于{T}不变。当前29页，总共51页。利用反证法，（1）点易证。30把基矢重新排序为

[P]是由0和1构成的一个幺正矩阵，可使变成块状矩阵，可见是可约表示。所以，如果A不是单位矩阵的常数倍，必是可约表示。约化过程：。第（2）点得证。当前30页，总共51页。31证明：可约表示必可约化为准对角阵

，构建显然∀g∈G，AD(g)=D(g)A成立，后半部分得证。前半部分可用反证法证明。舒尔引理的逆定理：如果AD(g)=D(g)A，且A只能是

I0的常数倍，则该表示必是不可约表示。反之，如果该表示是可约的，则必有一个非零且不是I0常数倍的矩阵A与该表示对易。当前31页，总共51页。Schur引理的理解：群G有表示D={D(g)，∀g∈G}，有一矩阵A和D对易。若所有的A都是cI0，则D是不可约表示。若D是不可约表示，A只能cI0。若存在A不是cI0，则D必是可约的；若D是可约表示，则必能找到A≠cI0与D对易。32找到某个矩阵A时，当A≠cI0

，D可约；当A=cI0

，D不一定是不可约的（A也与可约表示对易）。当前32页，总共51页。判断表示矩阵是否可约的一种方法：设C是G

的一个共轭类A与G的表示集合D对易，即此法用来构造对易矩阵A，判断群表示的可约性。33当前33页，总共51页。群表示理论要解决的问题：1.判断群表示可约与否？2.不可约表示有多少个？3.如何找到所有不可约表示？4.可约表示约化后，由哪些不可约表示构成？5.通过不可约表示研究对称性群中蕴含的物理意义是什么？

Ĥ的本征值n重简并，则哈密顿算符群有n个不可约表示。

34当前34页，总共51页。第三节不可约表示的正交性定理（表示矩阵元的正交性定理）如果有限群G有两个不可约幺正表示，则有35当前35页，总共51页。证明：构建矩阵36当前36页，总共51页。当前37页，总共51页。38当前38页，总共51页。39当前39页，总共51页。40当前40页，总共51页。41当前41页，总共51页。42当前42页，总共51页。特征标定义对于群G的任一表示D，任一元素g的表示矩阵D(g)，该矩阵的迹称为群元g在表示D中的特征标。群G中所有g个群元在D中的特征标，称为表示D的特征标系（也可简称特征标）。第j个不可约表示Dj(g)的特征标43第四节特征标(Character)当前43页，总共51页。(1)

等价表示的特征标系相同44当前44页，总共51页。（2）同一表示中，同类元素的特征标相同45当前45页，总共51页。（3）可约表示的特征标可以约化为不可约表示的特征标46当前46页，总共51页。不可约表示特征标的正交性定理对于两个不可约幺正表示的特征标，有47当前47页，总共51页。

※如果已知所有不可约表