2020-2021学年高中数学第一章立体几何初步2柱锥台的体积课时分层作业含解析北师大版必修

课时分层作业十三柱、锥、台的体积一、选择题(每小题5分，共30分)1.正方体的表面积是96，则正方体的体积是 ()A.48QUOTE B.64 C.16 D.96【解析】选B.设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64.2.已知一个圆柱底面直径和母线长均为4，则该圆柱的体积为 ()A.2π B.4π C.8π D.16π【解析】选D.因为底面直径是4，所以圆柱的底面半径r=2，因为圆柱的母线长为4，所以高h=4，所以V=πr2h=π×4×4=16π.3.若正三棱柱的所有棱长均为4，则其体积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.8QUOTE D.16QUOTE【解析】选D.正三棱柱ABC-A1B1C1中，所有棱长均为4，所以S△ABC=QUOTE×4×4×sin60°=4QUOTE，所以正三棱柱ABC-A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1=4QUOTE×4=16QUOTE.4.如图，ABC-A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C-AA′B′B的体积是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.因为VC-A′B′C′=QUOTEV柱=QUOTE，所以VC-AA′B′B=1-QUOTE=QUOTE.5.一个圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则该圆锥的体积为()A.2QUOTEπ B.QUOTEπ C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.圆锥的侧面展开图为一个半径为2的半圆，所以圆锥的底面周长为2π，底面半径为1，圆锥的高为QUOTE；圆锥的体积为QUOTEπ·12·QUOTE=QUOTEπ.6.棱长都是1的三棱锥的体积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.4QUOTE【解析】选B.因为三棱锥的棱长都为1，底面三角形为正三角形，所以三棱锥的底面三角形的高BD=1×sinQUOTE=QUOTE，PO为三棱锥的高，OB=QUOTE×BD=QUOTE×QUOTE=QUOTE，PB=1，所以PO=QUOTE=QUOTE=QUOTE，所以三棱锥的体积V=QUOTE×QUOTE×1×QUOTE×QUOTE=QUOTE.二、填空题(每小题5分，共10分)7.三棱锥P-ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D-ABE的体积为V1，P-ABC的体积为V2，则QUOTE=_________.

【解析】如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2=QUOTESh，V1=VE-ADB=QUOTE×QUOTES×QUOTEh=QUOTESh，所以QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE8.若圆锥的表面积是15π，侧面展开图的圆心角是60°，则圆锥的体积是_________.

【解析】设圆锥的底面半径为r，母线为l，则2πr=QUOTEπl，得l=6r.又S锥=πr2+πr·6r=7πr2=15π，解得r=QUOTE，圆锥的高h=QUOTE·QUOTE，V=QUOTEπr2h=QUOTEπ×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTEπ.答案：QUOTEπ三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为QUOTE的圆柱，求圆柱的表面积和圆锥的体积.【解析】圆锥的高h=QUOTE=2QUOTE，圆柱的底面半径r=1，圆柱的表面积S=2π+2QUOTEπ，圆锥体积V=QUOTEπ×22×2QUOTE=QUOTE.10.有一堆规格相同的铁制(铁的密度是7.8g/cm3)六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个(π取3.14)？【解析】一个六角螺帽的体积为QUOTE×1≈2.956(cm3).所以螺帽的个数为5.8×1000÷(7.8×2.956)≈252(个).则这堆螺帽大约有252个.一、选择题(每小题5分，共25分)1.已知高为3的三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1-ABC的体积为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.V=QUOTESh=QUOTE×QUOTE×3=QUOTE.2.已知某三棱锥的三视图如图所示(单位：cm)，则该三棱锥的体积是()A.1cm3 B.2cm3 C.3cm3 D.6cm3【解析】选A.该三棱锥的底面是两直角边分别为1，2的直角三角形，高为3，所以V=QUOTE×QUOTE×1×2×3=1(cm3).3.已知圆锥的母线长是8，底面周长为6π，则它的体积是 ()A.9QUOTEπ B.9QUOTE C.3QUOTEπ D.3QUOTE【解析】选C.设圆锥底面圆的半径为r，则2πr=6π，所以r=3.设圆锥的高为h，则h=QUOTE=QUOTE，所以V圆锥=QUOTEπr2h=3QUOTEπ.4.两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，那么圆锥被分成的三部分的体积的比是 ()A.1∶2∶3 B.1∶7∶19C.3∶4∶5 D.1∶9∶27【解析】选B.因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为QUOTE∶QUOTE∶QUOTE=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶(8-1)∶(27-8)=1∶7∶19.5.(2018·武汉高一检测)如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞D，E，F，且知SD∶DA=SE∶EB=CF∶FS=2∶1，若仍用这个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选C.如图所示，过DE作与底面ABC平行的截面DEM，则M为FC的中点，F为SM的中点.过F作与底面ABC平行的截面FNP，则N，P分别为SD，SE的中点.设三棱锥S-ABC的体积为V，高为H，三棱锥S-DEM的体积为V1，高为h，则QUOTE=QUOTE，QUOTE=QUOTE=QUOTE.三棱锥F-DEM的体积与三棱锥S-DEM的体积的比是1∶2(高的比)，所以三棱锥F-DEM的体积为QUOTE.三棱台DEM-ABC的体积=V-V1=QUOTE，所以最多可盛水的体积=QUOTE+QUOTE=QUOTE.故最多所盛水的体积是原来的QUOTE.二、填空题(每小题5分，共20分)6.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且QUOTE=QUOTE，则QUOTE的值是_________.

【解析】设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和h1，h2，由QUOTE=QUOTE，得QUOTE=QUOTE，则QUOTE=QUOTE.由圆柱的侧面积相等，得2πr1h1=2πr2h2，即r1h1=r2h2，所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE7.棱台上、下底面面积之比为1∶9，则棱台的中截面分棱台成两部分的体积之比是_________.

【解析】设棱台高为2h，上底面面积为S，则下底面面积为9S，中截面面积为4S，QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE8.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，则这两部分的体积之比为_________.

【解析】设棱柱的底面积为S，高为h，其体积V=Sh，则三角形AEF的面积为QUOTES，由于QUOTE=QUOTE·h·QUOTE=QUOTESh，则剩余不规则几何体的体积V′=V-QUOTE=Sh-QUOTESh=QUOTESh，所以两部分的体积之比为QUOTE∶V′=7∶5.答案：7∶5(或5∶7)9.如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为棱AA1的中点.若截面△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为_________.

【解析】设AC=a，CC1=b，则BD2=DQUOTE=a2+QUOTEb2，所以QUOTE×2=a2+b2，得b2=2a2，又QUOTE×QUOTE=6，所以a2=8，b2=16，所以V=QUOTE×8×4=8QUOTE.答案：8QUOTE三、解答题(每小题10分，共30分)10.如图，圆台高为3，轴截面中母线AA1与底面直径AB的夹角为60°，轴截面中一条对角线垂直于腰，求圆台的体积.【解析】设上、下底面半径分别为r，R.因为A1D=3，∠A1AB=60°，所以AD=QUOTE=QUOTE，所以R-r=QUOTE，BD=A1D·tan60°=3QUOTE，所以R+r=3QUOTE，所以R=2QUOTE，r=QUOTE，h=3，所以V圆台=QUOTEπ(R2+Rr+r2)h=QUOTEπ×[(2QUOTE)2+2QUOTE×QUOTE+(QUOTE)2]×3=21π.【补偿训练】如图，某几何体的下部分是长为8，宽为6，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：(1)该几何体的体积.(2)该几何体的表面积.【解析】(1)V长方体=8×6×3=144，V四棱锥=QUOTE×8×6×3=48.所以该几何体的体积为144+48=192.(2)设PO为四棱锥P-A1B1C1D1的高，E为B1C1的中点，F为A1B1的中点，PO=3，OF=3，OE=4，所以PE=5，PF=3QUOTE，所以该几何体的表面积为8×6+2×3×(8+6)+2×QUOTE×6×5+2×QUOTE×8×3QUOTE=162+24QUOTE.11.如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6cm，高为3cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4cm，高为2cm，现从中间挖去一个直径为2cm的圆柱，求此几何体的体积.【解析】V六棱柱=QUOTE×42×6×2=48QUOTE(cm3)，V圆柱=π·32×3=27π(cm3)，V挖去圆柱=π·12×(3+2)=5π(cm3)，所以此几何体的体积：V=V六棱柱+V圆柱-V挖去圆柱=(48QUOTE+22π)(cm3).12.将一个底面圆的直径为2、高为1的圆柱截成一个长方体