数学必修五模块综合质量测试

模块综合质量测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．下列说法正确的是()A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>－b，则－a>bC.若ac>bc，则a>bD.若a>b，则a－c>b－c[解析]当c＝0时，ac2＝bc2，故A不正确；a>－b⇒－a<b，故B错，当c<0时，ac>bc⇒a<b，故C错．[答案]D2．以下通项公式中，不可能是数列3,5,9，…的通项公式的是()A.an＝2n＋1B.an＝n2－n＋3C.an＝－eq\f(2,3)n3＋5n2－eq\f(25,3)n＋7D.an＝2n＋1[解析]选项D中，an＝2n＋1，∴a3＝2×3＋1＝7≠9，故an＝2n＋1不是所给数列的通项公式．[答案]D3．在不等边三角形ABC中，a2<b2＋c2，则A的取值范围是()A.90°<A<180° B.45°<A<90°C.60°<A<90° D.0°<A<90°[解析]∵a2＝b2＋c2－2bccosA，又∵a2<b2＋c2，∴cosA>0，∴0°<A<90°，故选D.[答案]D4.设等差数列{an}中，a3＝8，a7＝20，则数列{eq\f(1,anan＋1)}的前n项和为()A.eq\f(n,3n＋2) B.eq\f(n,6n＋4)C.eq\f(3n,6n＋4) D.eq\f(n＋1,3n＋2)[解析]设等差数列的公差为d，则a7＝a3＋(7－3)d，所以20＝8＋4d，d＝3，又a3＝a1＋2d＝8，所以a1＝2.所以eq\f(1,a1a2)＋eq\f(1,a2a3)＋…＋eq\f(1,anan＋1)＝eq\f(1,3)(eq\f(1,a1)－eq\f(1,a2)＋eq\f(1,a2)－eq\f(1,a3)＋…＋eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1))＝eq\f(1,3)(eq\f(1,a1)－eq\f(1,an＋1))＝eq\f(1,3)[eq\f(1,2)－eq\f(1,3n＋1－1)]＝eq\f(n,6n＋4).先求出a1与d，再利用拆项相消法化简，使问题简化．[答案]B5.偶函数y＝f(x)和奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4,4]，f(x)在[－4,0]，g(x)在[0,4]上的图像如图，则不等式eq\f(fx,gx)<0的解集为()A.[2,4] B.(－2,0)∪(2,4)C.(－4，－2)∪(2,4) D.(－2,0)∪(0,2)[解析]由已知得：当x∈(－4，－2)∪(2,4)时，f(x)>0，当x∈(－2,2)时，f(x)<0，当x∈(－4,0)时，g(x)>0，x∈(0,4)时，g(x)<0.所以当x∈(－2,0)∪(2,4)时，eq\f(fx,gx)<0.[答案]B6.若实数x，y满足不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－5≥0，,2x＋y－7≥0，,x≥0，y≥0，))则3x＋4y的最小值是()A.13 B.15C.20 D.28[解析]由题意得x，y所满足的区域如图所示：令u＝3x＋4y，则y＝－eq\f(3,4)x＋eq\f(1,4)u，先作l0：y＝－eq\f(3,4)x，如图所示，将l0平行移动至过点B时，u取得最小值，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋2y－5＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1，))∴umin＝3×3＋4×1＝13.[答案]A7．已知△ABC中，AB＝eq\r(3)，AC＝1且B＝30°，则△ABC的面积等于()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(\r(3),4)C.eq\f(\r(3),2)或eq\r(3) D.eq\f(\r(3),4)或eq\f(\r(3),2)[解析]由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，∴1＝3＋BC2－2×eq\r(3)×BC×eq\f(\r(3),2)，∴BC2－3BC＋2＝0，∴BC＝2或BC＝1，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2)或S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),4).[答案]D8．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝()A.15 B.12C.－12 D.－15[解析]a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10＋…＋(－1)10·(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9(3×9－2)＋(－1)10·(3×10－2)]＝3×5＝15.[答案]A9．若实数x、y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0,x>0,y≤2))，则eq\f(y,x)的取值范围是()A.(0,2) B.(0,2]C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)[解析]作出可行域，如图中阴影部分所示，是以A(0,1)，B(1,2)，C(0,2)为顶点围成的三角形(不包含边AC)，设P(x，y)为可行域内任一点，则直线PO的斜率kPO＝eq\f(y,x)，由数形结合得，kPO＝2是eq\f(y,x)的最小值，故eq\f(y,x)的取值范围是[2，＋∞)，故选D.[答案]D10．设f(x)＝3ax－2a＋1，若存在x0∈(－1,1)，使f(x0)＝0，则实数aA.－1<a<eq\f(1,5) B.a<－1C.a<－1或a>eq\f(1,5) D.a>eq\f(1,5)[解析]由于f(x)＝3ax－2a＋1，故f(x)一定是一条直线，又由题意，存在x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，故直线y＝3ax－2a＋1在x＝－1和即f(－1)f(1)<0，得(1－5a)(a＋1)<0，解得a<－1或a>eq\f(1,5)，故选C.[答案]C11.若x，y为正数，且x2＋eq\f(y2,2)＝1，则xeq\r(1＋y2)的最大值是()A.eq\f(\r(3),2) B.eq\f(3\r(2),4)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(3\r(3),4)[解析]因为x，y为正数，所以xeq\r(1＋y2)＝eq\r(2x2)·eq\r(\f(1＋y2,2))≤eq\r(2)·eq\f(x2＋\f(1＋y2,2),2)＝eq\f(3\r(2),4).当且仅当2x2＝1＋y2，即x2＝eq\f(3,4)，y2＝eq\f(1,2)时，等号成立．把xeq\r(1＋y2)灵活变形后利用基本不等式求最大值．[答案]B12.[2013·豫南四校调研考试]若AB＝2，AC＝eq\r(2)BC，则S△ABC的最大值为()A.2eq\r(2) B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(2),3) D.3eq\r(2)[解析]设BC＝x，则AC＝eq\r(2)x，根据面积公式得S△ABC＝eq\f(1,2)×AB×BCsinB＝xeq\r(1－cos2B)①，根据余弦定理得cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(4＋x2－2x2,4x)＝eq\f(4－x2,4x)②，将②代入①得，S△ABC＝xeq\r(1－\f(4－x2,4x)2)＝eq\r(\f(128－x2－122,16))，由三角形的三边关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋x>2,x＋2>\r(2)x))，解得2eq\r(2)－2<x<2eq\r(2)＋2，故当x＝2eq\r(3)时，S△ABC取得最大值2eq\r(2)，故选A.[答案]A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上．)13．数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________.[解析]当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝1,2n－1，n≥2)).[答案]eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2n＝1,2n－1n≥2))14．对一切实数x，eq\f(3x2＋2x＋2,x2＋x＋1)>k恒成立，则正整数k的值为________．[解析]∵x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴原不等式可化为：(3－k)x2＋(2－k)x＋2－k>0恒成立，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－k>0，,Δ＝2－k2－43－k2－k<0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k<3，,k>\f(10,3)或k<2，))∴k<2，∴正整数k的值为1.[答案]115．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为________．[解析]在Rt△ABD中，∠D＝30°，∴BD＝eq\r(3)AB.在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴BC＝AB.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝40m.由余弦定理知BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos∠BCD，即(eq\r(3)AB)2＝402＋AB2－2×40×ABcos120°，整理得AB2－20AB－800＝0，解得AB＝40或AB＝－20(舍去)．[答案]40m16．[2013·安徽江南十校联考]已知x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－2≤0，,x＋3≥0，,x－y－1≤0，))则eq\f(x＋2y－6,x－4)的取值范围是________．[解析]eq\f(x＋2y－6,x－4)＝1＋2·eq\f(y－1,x－4)，设k＝eq\f(y－1,x－4)，k表示定点P(4,1)与动点N(x，y)连线的斜率，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，点N在如图所示的三角形ABC的边界上或内部，A(－3，－4)，C(3,2)，kCP＝－1≤k≤kAP＝eq\f(5,7)，所以eq\f(x＋2y－6,x－4)∈[1－2,1＋eq\f(10,7)]＝[－1，eq\f(17,7)]．[答案][－1，eq\f(17,7)]三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设{an}是公比为正数的等比数列，a1＝2，a3＝a2＋4.(1)求{an}的通项公式；(2)设{bn}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{an＋bn}的前n项和Sn.[解](1)设q为等比数列{an}的公比，则由a1＝2，a3＝a2＋4得2q2＝2q＋4，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因此q＝2，所以{an}的通项公式为an＝2×2n－1＝2n(n∈N*)．(2)Sn＝eq\f(21－2n,1－2)＋n×1＋eq\f(nn－1,2)×2＝2n＋1＋n2－2.18．(本小题满分12分)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，(1)若△ABC的面积为eq\f(\r(3),2)，c＝2，A＝60°，求a，b的值；(2)若acosA＝bcosB，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．[解](1)由已知得eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)bcsinA＝bsin60，∴b＝1.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝eq\r(3).(2)由正弦定理得2RsinA＝a,2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B又A，B为三角形内角，∴A＋B＝90°或A＝B.故△ABC为直角三角形或等腰三角形．19．(本小题满分12分)已知不等式log2(ax2－3x＋6)>2的解集为{x|x<1或x>b}．(1)求a，b的值；(2)解不等式：(ax＋b)(c－x)>0.(c为常数)[解](1)由题意知ax2－3x＋6>4，即ax2－3x＋2>0的解为x<1或x>b，则1，b是方程ax2－3x＋2＝0的两根，且a>0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,\f(3,a)＝1＋b，,\f(2,a)＝1×b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2.))当a＝1时，x2－3x＋6>0恒成立，∴a＝1，b＝2.(2)将a＝1，b＝2代入不等式整理得(x＋2)(x－c)<0.当c>－2时，不等式解集为{x|－2<x<c}；当c＝－2时，不等式解集为∅；当c<－2时，不等式解集为{x|c<x<－2}．20．(本小题满分12分)某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1t需耗一级籽棉2t、二级籽棉1t；生产乙种棉纱需1t耗一级籽棉1t、二级籽棉2t，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级籽棉不超过300t、二级籽棉不超过250t，甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到t)，能使利润总额最大？[解]将已知数据列成下表：设生产甲、乙两种棉纱分别为xt、yt，利润总额为z元，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≤300,x＋2y≤250,x≥0,y≥0))，z＝600x＋900y.作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．作直线l：600x＋900y＝0，即直线l：2x＋3y＝0，把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z＝600x＋900y取最大值，解方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝300,x＋2y＝250))，解得x＝eq\f(350,3)≈117，y＝eq\f(200,3)≈67.即M的坐标为(117,67)．答：应生产甲种棉纱117t，乙种棉纱67t，能使利润总额达到最大．21．(本小题满分12分)某水产养殖场拟造一个平面图为矩形且面积为160m2(1)把建筑网箱的总造价y(元)表示为网箱的长x(如图所示，单位：m)的函数，并求出最低造价；(2)若要求网箱的长与宽都不能超过15m，则当网箱的长与宽各为多少米时，可使总造价最低(精确到0.01m)．[解](1)y＝112(2x＋eq\f(160,x)×2)＋96(x＋eq\f(160,x)×3)＋100×160＝320×(x＋eq\f(256,x))＋16000≥26240.当x＝eq\f(256,x)，即x＝16时，取得最小值．即最低造价为26240元．(2)∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤15，,x>0，,\f(160,x)≤15，))∴10eq\f(2,3)≤x≤15.设g(x)＝x＋eq\f(256,x)(x∈[10eq\f(2,3)，15])，任取x1，x2∈[10eq\f(2,3)，15]，且x1<x2，则g(x1)－g(x2)＝(x1－x2)(1－eq\f(256,x1x2))，∵10eq\f(2,3)≤x1<x2≤15，∴x1－x2<0,1－e