固体物理晶格振动

§3.2一维双原子链的振动一、运动方程及其解运动方程：{试解：{(设M>m)考虑由P、Q两种原子等距相间排列的一维双原子链只考虑近邻原子间的弹性相互作用aMm{nnn-1n+1编辑课件{代入方程:久期方程：编辑课件简约区：对于不在简约区中的波数q’，一定可在简约区中找到唯一一个q，使之满足：为倒格矢两个色散关系即有两支格波：（＋：光学波；－：声学波）编辑课件二、声学波和光学波的物理图象第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比R:大于零的实数，反映原胞中P、Q两种原子的振幅比:两原子的振动位相差编辑课件1.声学波（acousticbranch）即：－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同位相型编辑课件物理图象：原胞中的两种原子的振动位相基本相同，原胞

基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原

子基本上无相对振动。编辑课件q0时当q0时，原胞内两种原子的振动位相完全相同。编辑课件这与连续介质的弹性波＝vq一致。当q0时

在长波极限下，原胞内两种原子的运动完全一致，振幅和位相均相同，非常类似于声波，故将这种晶格振动称为声学波或声学支。编辑课件2.光学波（opticalbranch）编辑课件＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反位相型。物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反，

即原胞中的两种原子基本上作相对振动，而

原胞的质心基本保持不动。编辑课件当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。

离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这种晶格振动，因此，我们称这种振动为光学波或光学支。编辑课件对于单声子过程（一级近似），电磁波只与波数相同的格波相互作用。如果它们具有相同的频率，就会发生共振。光波：＝c0q，c0为光速=c0q0q(q)+(0)+对于实际晶体，＋(0)在1013~1014Hz，对应于远红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外光在＋(0)附近的强烈吸收。编辑课件光学波原子振动模型声学波原子振动模型编辑课件带隙编辑课件三、周期性边界条件周期性边界条件：h=整数，N：晶体链的原胞数q的分布密度：{简约区中q的取值总数＝晶体的原胞数晶格振动的格波总数＝2N＝晶体的自由度数推广：若每个原胞中有s个原子，一维晶格振动有s个色散关系

式（s支格波），其中：1支声学波,（s-1）支光学波。

晶格振动格波的总数＝sN＝晶体的自由度数。编辑课件§3.5三维晶格振动一、三维简单晶格的振动0lRlRl’Rl–Rl’Rl-l’l-l’l’第ℓ个原子的位矢:编辑课件回顾-简谐近似忽略高阶项，保留至二阶项上式称为简谐近似。编辑课件在简谐近似下，系统的势能为（取平衡时U0＝0）：(l)和(l’)是第l和第l’个原子分别沿和方向的位移。力常数编辑课件第l个原子的运动方程：这里考虑了晶体中所有原子的相互作用。由晶格的周期性，得编辑课件设格波解：代入运动方程得：，＝1，2，3其中编辑课件久期方程可以解得与q的三个关系式，对应于三维情况沿三个方向的振动，即三支声学波：一支纵波，两支横波。推广：对于复式晶格，若每个原胞中有s个原子，由

运动方程可以解得3s个与q的关系式（即色散

关系式），对应于3s支格波，其中3支为声学波

（一支纵波，两支横波），3(s－1)支为光学波。编辑课件二、布里渊区上式对于任意时刻t和任意的格矢

都成立，有：对于第j支格波，设有两个波矢

和

所描述的晶格振动状态完全相同，有编辑课件由于

为倒格矢，h为整数有

，（由于

为任意格矢）即：在

空间中，

是以倒格矢

为周期的周期函数，仍可将波矢

限制在简约区或第一布里渊区中编辑课件将原点取在简约区的中心，那么，在布里渊区边界面上周期对应的两点间应满足关系：——布里渊区边界面方程0编辑课件布里渊区的几何作图法：根据晶体结构，作出该晶体的倒易空间点阵，任取一

个倒格点为原点；布里渊区的边界面是倒格矢的垂直平分面。由近到远作各倒格矢的垂直平分面；在原点周围围成一个包含原点在内的最小封闭体积，

即为简约区或第一布里渊区。简约区就是倒易空间中的Wigner－Seitz原胞。编辑课件1ⅡⅡⅡⅡⅡⅡ222222333333可以证明，每个布里渊区的体积均相等，都等于第一布里渊区的体积，即倒格子原胞的体积b。编辑课件编辑课件正格子格常数倒格子格常数简约区scasc由6个{100}面

围成的立方体bccafcc由12个{110}面

围成的正12面体fccabcc由8个{111}面和6个{100}面围成的14面体编辑课件体心立方晶格的倒格子与简约区编辑课件面心立方晶格的倒格子与简约区编辑课件三、周期性边界条件设N1、N2和N3分别为晶体沿三个基矢方向的原胞数。那么，晶体的总原胞数为：N＝N1N2N3

周期性边界条件：第j支格波：＝1,2,3h

=整数编辑课件令h1,h2,h3＝整数＝1,2,3编辑课件在q空间中，每一个q的取值（状态）所占的空间为：V＝Nva＝晶体体积在

空间中，波矢

的分布密度：简约区中波矢

的取值总数＝

＝晶体的原胞数编辑课件简单晶格：每个原胞中只有一个原子，每一个q的取值

对应于三个声学波（1个纵波，2个横波）晶格振动格波的总数＝3N