高中数学2函数模型的应用举例课时作业新人教版必修

PAGEPAGE5课时作业26函数模型的应用举例时间：45分钟分值：100分一、选择题(每小题6分，共计36分)1．一等腰三角形的周长为20，底边y是关于腰长x的函数，则它的解析式为()A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x<10)C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5<x<10)解析：依题意，得2x＋y＝20，∴y＝20－2x.又y>0，∴20－2x>0，∴x<10.又2x>y，∴2x>20－2x，∴x>5，∴5<x<10.答案：D2．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4000辆，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存了x辆，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为()A．y＝0.2x(0≤x≤4000)B．y＝0.5x(0≤x≤4000)C．y＝－0.1x＋1200(0≤x≤4000)D．y＝0.1x＋1200(0≤x≤4000)解析：由题意得y＝0.3(4000－x)＋0.2x＝－0.1x＋1200.答案：C3．某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y＝5x＋40000.而手套出厂价格为每双10元，要使该厂不亏本至少日产手套()A．2000双 B．4000双C．6000双 D．8000双解析：由5x＋40000≤10x，得x≥8000，即日产手套至少8000双才不亏本．答案：D4．一个人以6米/秒的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时，交通灯由红变绿，汽车以1米/秒2的加速度匀加速开走，那么()A．此人可在7秒内追上汽车B．此人可在10秒内追上汽车C．此人追不上汽车，其间距最少为5米D．此人追不上汽车，其间距最少为7米解析：设汽车经过t秒行驶的路程为s米，则s＝eq\f(1,2)t2，车与人的间距d＝(s＋25)－6t＝eq\f(1,2)t2－6t＋25＝eq\f(1,2)(t－6)2＋7.当t＝6时，d取得最小值7.答案：D5．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝eq\f(1,2)x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为()A．18万件 B．20万件C．16万件 D．8万件解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－eq\f(1,2)(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．答案：A6．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂．已知每一天荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，且荷叶20天可以完全长满池塘水面．当荷叶覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了()A．10天 B．15天C．19天 D．2天解析：荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系式为y＝2x.当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，布满水面一半．答案：C二、填空题(每小题8分，共计24分)7．某人从A地出发，开汽车以60km/h的速度，经2h到达B地，在B地停留1h，则汽车离开A地的距离y(单位：km)是时间t(单位：h)的函数，该函数的解析式是________．解析：当0≤t≤2时，y＝60t；当2<t≤3时，y＝120.答案：y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(60t，0≤t≤2，,120，2<t≤3))8．某个病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．解析：当t＝0.5时，y＝2，∴2＝.∴k＝2ln2.∴y＝e2tln2.∴当t＝5时，y＝e10ln2＝210＝1024.答案：2ln210249．为了预防甲流的发生，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，根据药学原理，从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)之间的函数关系式为y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t，0≤t≤0.1，,\f(1,16)t－0.1，t>0.1.))据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室学习．那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．解析：由题意可得y≤0.25＝eq\f(1,4)，即得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10t≤\f(1,4)，,0≤t≤0.1，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)t－0.1≤\f(1,4)，,t>0.1，))得0≤t≤eq\f(1,40)，或t≥0.6.因为前0.1个小时药物浓度是逐渐增大的，故至少需要经过0.6小时后才可回教室．答案：0.6三、解答题(共计40分)10．(10分)在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其速率R与管道半径r的四次方成正比．(1)写出函数解析式；(2)假设气体在半径为3cm的管道中，速率为400cm3/s，求该气体通过半径为rcm的管道时，其速率R的表达式；(3)已知(2)中的气体通过的管道半径为5cm，计算该气体的速率．解：(1)由题意，得R＝kr4(k是大于0的常数)．(2)由r＝3cm，R＝400cm3/s，得k·34＝400，∴k＝eq\f(400,81)，∴速率R的表达式为R＝eq\f(400,81)·r4.(3)∵R＝eq\f(400,81)·r4，∴当r＝5cm时，R＝eq\f(400,81)×54≈3086(cm3/s)．11．(15分)某地预计明年从年初开始的前x个月内，某种商品的需求总量f(x)(万件)与月份x的近似关系为f(x)＝eq\f(1,150)x(x＋1)(35－2x)(x∈N，且x≤12)．(1)写出明年第x个月的需求量g(x)(万件)与月份x的函数关系式．(2)求哪个月份的需求量最大？最大值为多少？解析：首先把g(x)表示出来，再利用函数解决最值问题．解：(1)由题意知：g(x)＝f(x)－f(x－1)＝eq\f(1,150)·x(x＋1)(35－2x)－eq\f(1,150)(x－1)x[35－2(x－1)]＝eq\f(1,150)x[(x＋1)(35－2x)－(x－1)(37－2x)]＝eq\f(1,150)x(72－6x)＝eq\f(1,25)x(12－x)．∴g(x)＝eq\f(1,25)x(12－x)(x∈N且x≤12)．(2)g(x)＝eq\f(x,25)(12－x)＝－eq\f(1,25)(x2－12x＋36－36)＝－eq\f(1,25)[(x－6)2－36]＝－eq\f(1,25)(x－6)2＋eq\f(36,25)，∴当x＝6时，g(x)有最大值eq\f(36,25).即第六个月需求量最大，为eq\f(36,25)万件．点评：在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题．——能力提升——12．(15分)某学习小组在暑期社会实践活动中，通过对某商场一种品牌服装销售情况的调查发现：该服装在过去的一个月内(以30天计)每件的销售价格P(x)(百元)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)＝1＋eq\f(k,x)(k为正常数)，日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的部分数据如下表所示：x(天)10202530Q(x)(件)110120125120已知第10天的日销售收入为121百元．(1)求k的值．(2)给出以下四种函数模型：①Q(x)＝ax＋b，②Q(x)＝a|x－25|＋b，③Q(x)＝a·bx，④Q(x)＝a·logbx.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q(x)(件)与时间x(天)的变化关系，并求出该函数的解析式．(3)求该服装的日销售收入f(x)(1≤x≤30，x∈N*)(百元)的最小值．解：(1)依题意知第10天的日销售收入为P(10)·Q(10)＝(1＋eq\f(k,10))×110＝121，解得k＝1.(2)由表中的数据知，当时间变化时，日销售量有增有减并不单调，故只能选②Q(x)＝a|x－25|＋b.从表中任意取两组值代入可求得Q(x)＝125－|x－25|(1≤x≤30，x∈N*)．(3)由(2)知Q(x)＝125－|x－25|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(100＋x1≤x<25，x∈N*,150－x25≤x≤30，x∈N*))，∴f(x)＝P(x)·Q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(100,x)＋1011≤x<25，x∈N*,\f(150,x)－x＋14925≤x≤30，x∈N*)).当1≤