历年数列高考题汇编答案

历年高考《数列》真题汇编1、(2011年新课标卷文)已知等比数列{an}中，a1，公比q1．133（I）Sn为{an}的前n项和，证明：Sn1an2（II）设bnlog3a1log3a2Llog3an，求数列{bn}的通项公式．111解：（Ⅰ）因为an1(1)n11.Sn3(13n)13n,333n1123所以Sn1an,2（Ⅱ）bnlog3a1log3a2log3an(12n(n1).......n)n(n1).2所以{bn}的通项公式为bn22、(2011全国新课标卷理）等比数列an的各项均为正数，且2a13a21,a329a2a6.（1）求数列an的通项公式.(2)设bnlog3a1log3a2......log3an,求数列1的前项和.bn解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由a329a2a6得a339a42所以q21。有条件可知1。9a>0,故q31。故数列{an}的通项式为an=1由2a13a21得2a13a2q1，所以a1。33n（Ⅱ?）bnlog1a1log1a1...log1a1故122(11)bnn(n1)nn1所以数列{1}bn

2n的前n项和为n13、（2010新课标卷理）设数列an知足a12,an1an3g22n1（1）求数列an的通项公式；（2）令bnnan，求数列的前n项和Sn解（Ⅰ）由已知，当n≥1时，an1[(an1an)(anan1)L(a2a1)]a13(22n122n3L2)222(n1)1。而1n}的通项公式为an22n1。a2,所以数列{a（Ⅱ）由bnnann22n1知Sn12223325Ln22n1①进而22Sn123225327Ln22n1②①-②得(122)Sn22325L22n1n22n1。即Sn1[(3n1)22n12]94、（20I0年全国新课标卷文）设等差数列an知足a35，a109。（Ⅰ）求an的通项公式；（Ⅱ）求an的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值。解：（1）由am=a1+（n-1）d及a1=5，a10=-9得a19解得{d2数列{an}的通项公式为an=11-2n。..6分(2)由(1)知S=na+n(n1)2。d=10n-nn12因为Sn=-(n-5)2+25.所以n=5时，Sn获得最大值。5、（2011年全国卷）设等差数列an的前N项和为Sn,已知a26,6a1a230,求an和Sn6、（2011辽宁卷）已知等差数列{an}知足a2=0，a6+a8=-10（I）求数列{an}的通项公式；（II）求数列an2n1

的前n项和．解：（I）设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得a1d0,2a112d10,解得a11,d1.故数列{an}的通项公式为an2n.5分an1}的前n项和为Sna2Lan,故S11，（II）设数列{n，即Sna12n122所以，当n1时，n.所以Snn=nn1.22综上，数列ann{n1}的前n项和Snn1.227、（2010年陕西省）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a＝1，a，a，a成等比数列得12d＝18d，1139112d解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知2am=2n，由等比数列前n项和公式得nSn=2+22+23++2n=2(12)=2n+1-2128、（2009年全国卷）设等差数列{an}的前n项和为sn，公比是正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，已知a11,b13,a3b317,T3S312,求{an},{bn}的通项公式。解：设an的公差为d，bn的公比为q由a3b317得12d3q217①由T3S312得q2qd4②由①②及q0解得q2,d2故所求的通项公式为an2n1,bn32n19、（2011福建卷）已知等差数列{an}中，a1=1，a3=-3.I）求数列{an}的通项公式；II）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.10、（2011重庆卷）设是公比为正数的等比数列，,.(Ⅰ)求的通项公式。(Ⅱ)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前项和.11、（2011浙江卷）已知公差不为

0的等差数列

{an}

的首项为

a(a

R)，且

1a1

，

1a2

，

1a4

成等比数列．（Ⅰ）求数列

{an}的通项公式；（Ⅱ）对n*，试比较111...1与1的大小．Na223na1a2a2a2解：设等差数列{an}的公差为d，由题意可知(1)211a2a1a4即(a1d)2a1(a13d)，进而a1dd2因为d0,所以da1a.故通项公式anna.（Ⅱ）解：记Tn11L1,因为a2n2naa2a22a2n111111(1(1)n)11所以TnL)22[1n]a(222na1a()2212进而，当a0时，1；当1Tna时.a1a112、（2011湖北卷）成等差数列的三个正数的和等于15，而且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列bn中的b、b、b。(I)求数列bn的通项公式；(II)数列bn的前n项和为Sn，求证：数列Sn5是等比数列。413、（2010年山东卷）已知等差数列an知足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn1*的前n项和为Tn。a21（nN），求数列bnn解：（Ⅰ）设等差数列an的首项为a1，公差为d，因为a7，aa726，所以a2d7，2a10d26，3511解得a13，d2，因为ana1(n1)d，Snn(a1an)，2所以an2n1，Snn(n2)（Ⅱ）因为a2n1，所以214(1)annnn所以bn11)1(11)4n(n4nn1故Tnb1b2bn1(111111)4223nn11(1n1)n1)所以数列bn的前n项和Tnn414(n4(n1)14、（2010陕西卷）已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项;（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和Sn.解（Ⅰ）由题设知公差d≠0，由a＝1，a，a，a成等比数列得12d＝18d，1139112d解得d＝1，d＝0（舍去），故{an}的通项an＝1+（n－1）×1＝n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知2am=2n，由等比数列前n项和公式得23n2(12n)=2n+1、S=2+2+2++2=-2.m1215、（2010重庆卷）已知an是首项为19，公差为-2的等差数列，Sn为an的前n项和.（Ⅰ）求通项an及Sn；（Ⅱ）设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列bn的通项公式及其前n项和Tn.16、（2010北京卷）已知|an|为等差数列，且a36，a60。（Ⅰ）求|an|的通项公式；（Ⅱ）若等差数列|bn|知足b18，b2a1a2a3，求|bn|的前n项和公式解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差d。因为a36,a60所以a12d6解得a110,d2a15d0所以an10(n1)22n12（Ⅱ）设等比数列{bn}的公比为q因为b2a1a2a324,b8所以8q24即q=3所以{n}nb1(1qn)n的前项和公式为Sn4(13)b1q17、（2010浙江卷）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数{an}的前n项和为Sn，知足S2S6＋15＝0.（Ⅰ）若S5＝S.求Sn及a1;（Ⅱ）求d的取值范围.解：(Ⅰ)由题意知S0=-15-3,a=S-S=-8S5所以Sa110d5,解得a1=7所以S=-3,a1=7a15d8.(Ⅱ)因为SS+15=0,所以(5a+10d)(6a+15d)+15=0,即2a2+9da2+10d+1=0.11111222d≤-22故(4a+9d)=d-8.所以d≥8.故d的取值范围为18、（2010四川卷）已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为-4。（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn(4an)qn1(q0,nN*)，求数列{bn}的前n项和SnⅡ）由（Ⅰ）得解答可得，bnngqn1，于是Sn1gq02gq13gq2Lngqn1．若q1，将上式两边同乘以q有qSn1gq12gq2Ln1gqn1ngqn．两式相减获得nnqn1nnnqnq11q1q1q1．Snnqn1n1qn1q2于是1．Sn123Lnnn12．若q1，则nn1q1,2,Snnqn1n1qn1q1.q2,所以，1（12分）19、（2010上海卷）已知数列an的前n项和为Sn，且Snn5an85，nN*证明：an1是等比数列；解：由Snn5an85,nN*（1）可得：a1S115a185，即a114。同时Sn1(n1)5an185（2）进而由(2)(1)可得：an115(an1an)即：an115(an1),nN*，进而{an1}为等比数列，首项a1115，公比为5，6556通项公式为