理论力学第十五章虚位移原理

二、约束的分类二、约束的分类常按如下分类：1、几何约束和运动约束限制质点或质点系在空间几何位置的条件称为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机构例子中的限制条件都是几何约束。当约束对质点或质点系的运动情况进行限制时，这种约束条件称为运动约束。例如：车轮沿直线轨道作纯滚动时。

在第一篇静力学中，我们从静力学公理出发，通过力系的简化，得出刚体的平衡条件，用来研究刚体及刚体系统的平衡问题。在这一章里，我们将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它从位移和功的概念出发，得出任意质点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。它是研究平衡问题的最一般的原理，不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，就可得到一个解答动力学问题的动力学普遍方程。y=r运动约束：vA~ra）=0（xA-r（p=0）2、定常约束和非定常约束当约束条件与时间有关，并随时间变化时称为非定常约束约束条件不随时间改变的约束为定常约束条件皆不随时间变化，它们都是定常约条件皆不随时间变化，它们都是定常约例如：重物阪由一条穿过固定圆环的细绳系住。初始时摆长匀速v拉动绳子。X2+y2=（lo-Vt）2约束方程中显含时间f式。我们只讨论质点或质点系受定常、双面、完整约束的情况，其约束方程的一般形式为（S为质点系所受的约束数目，”为质点系的质点个数）f,（x,y必；……,y必）=0（J=l,2,……,s）j111 nnn国:拿 .I.I

§15-2自由度广义坐标二个自由质点在空间的位置：（x,y,.z） 3个一个自由质点系在空间的位置：（x,v）0=1,2......n）3〃个iii'对一个非自由质点系，受S个完整约束，（.3n-s）个独立坐标。其自由度为卜3r-sL,确定一个受完整约束的质点系的位置所需的独立坐标的数'目，称为该质点系的自由度的数目，简称为自由度。例如，前述曲柄连杆机构例子中，确定曲柄连杆机构位置■的仙个坐标七、七、％、立须满足三个约束方程，因此有一个自由度。“个质点组成的质点系，具有k个自由度；取％、％、……、％为其广义坐标，质点系内各质点的巫腺及矢径可表为广义坐标的函数lx=x（%，么,…凹）I112kV="（%，％，•••，,）TOC\o"1-5"\h\zI I12 k%=%（%，％，•••，％）■-i—i12 kiz1 2k（?=1,2,•••,«）

第十五章虚位移原理M§15-1约束及其分类§15-2自由度广义坐标§15-3虚位移和虚功§15-4理想约束Iml§15-5虚位移原理回些事. "—JU—.3、完整约束和非完整约束束）而且方程中的这些导数不能经过积分运算消除，即约束方程中含有的坐标导数项不是某一函数全微分，从而不能将约束方程积分为有限形式，这类约束称为非完整约束。一般地，非完整约束方程只能以微分形式表达如果约束方程中不含有坐标对时间的导数，或者约束方程.中虽有坐标对时间的导数，但这些导数可以经过积分运算化为有限形式，则这类约束称为完整约束。

§15-1约束及其分类限制质点或质点系运动的各种条件称为约束。]2+）2/2（七-七）2+（与—,yB=0车轮沿直线轨道作纯滚动，为r甲=0是微分方程，但经过积分可得到公MP-C（常数），该约束仍为完整约束。几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完整约束一定是运动约束,4、单面约束和双面约束但运动约束未必是非完整约束。X2+y2=l2 X2+y2<h在两个相对的方向上同时对质点或质点系进行运动限制的约束称为双面约束。只能限商质点或质点系单一方向运.动的约束称为单面约束。但运动约束未必是非完整约束。X2+y2=l2 X2+y2<hs个约束的、由“个质点组成的质点系，其自由度为k=3n-s通常，”与S很大而k很小。为了确定质点系的位置，适当选择的k个参数（相互独立），要比用3"个直角坐标和S个约束方程方便得多•用来确定质点系位置的独立参数，称为广义坐检；广义坐标的选择不是唯一的。广义坐标可以取线位移（x,y,等）也可以取角位移（如a,P,Y,<p等）。在完整约束情况下，广义坐标的数目就等于自由度数目。

:曲柄连杆机构中，可取曲柄。A的转角（P为广义坐标,则：x=rcostp.v=rsintpA ~%=rcostp+'/2_「2sin2（p,*=0广义坐标选定后，质点系中每一质点的直角坐标都可表示为广义坐标的函数。§15-3虚位移和虚功•在质点系运动过程的某瞬时，质点系中的质点发生的为'务策允许的任意的无限小位移，称为质点系（在该瞬时）M虚位移。虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符

实位移是在一定的力作用下和给定的初条件下运动而实际发生的；虚位移是在约束容许的条件下可能发生的。实位移具有确定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虚位移则是微小位移，视约束情况可能有几种不同的方向。 实位移是在一定的时间内发生的；虚位移只是纯几何的概念，完全与时间无关。 演—'I在定常约束下，微小的实位移必然是虚位移之一。而在非定常约束我双L下，微小实位移不再是虚位移之一。 1

,确定这些关系通常有两种方法：（一）几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，即dr=v'dt因此可以用分析速度的方法分析各点虚位移之间的关系。二）解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（纤与 妃,广义坐标分别有变分8%,8幻,•••,&幻;各质点的虚位移8勺在直角坐标上的投影可以表示为」e-Qt-s s -d~r-s）TOC\o"1-5"\h\zi dq^ i dq^ 2 dq^ 1k8z= -8q+ -8q+•••+ -8q<' 2q. 11 @g, 12 Qq 1k殖质点发生的虚位移所作的功称为虚功，记为殖质点发生的虚位移所作的功称为虚功，记为1、 系统在给定位置平衡时，求主动力之间的关系;2、 求系统在已知主动力作用下的平衡位置；3、 求系统在已知主动力作用下平衡时的约束反力;4、 求平衡构架内二力杆的内力。§15-4理想约束,如果在质点系的任何虚位移上，质点系的所有约束反力.的崖功之和等于零，则称这种约束为理想约束。.质点系受有理想约束的条件:'X8W=£N-8r=01图示椭圆规机构，连杆*8长/,杆重和滑道摩擦不计，蛟链为光滑的，求在图示位置平衡时，主动力大小P和。之间的关系』解：研究整个机构。.系统的所有约束都是完整、定常、理想的。例2均质杆Q4及AB在A点用饺连接，并在。点用饺支承，如图所示。两杆各长2a和2",各重P及P,设在B点加_ 1 2水平力F以维持平衡，求两杆与铅直线所成的角（P及W。:这是一个具有两个自由度的系统,取角（P及w为广义坐标，现用两种方法求解。解法一：TOC\o"1-5"\h\zP8y+P8y+F8x=0 (a)1C2D B而y=「cos(p,5y=-«sin(p5(pc cy-2acos(p+^cos\|/,5y=-2«sin(p5(p-^sin\|/8v|/Dx=2«sin(p+2^sin\|/,8x=2«cos(p5(p+2^cos\|/8v|/B B代入(。)式，得：(-Pasincp-P2asincp4-F2acos(p)6(p+(-PZ?sin\|/+F2Z?cosi|/)6i|/=02sin<p对广义坐标甲求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：=-asin(p-62sin<p对广义坐标甲求变分，得各点虚位移在相应坐标轴上的投影：=-asin(p-6(p,8y=acos(p-6(p"cbxc _dx=-/sin(p-6(p,6y=/cos(p-6(pA "Adx=-2asin(p-8(p,6y=0B "B例1］分析图示机构在图示位置时，点C、A与B的虚位移。(已知OC=BC=a,OA=l)解：此为一个自由度系统，取。4杆与工轴夹角耕广义坐标。1、几何法为一_丁6/=IA6/PB2asin<pdr=o8(p,dr=/6(pTOC\o"1-5"\h\zC A=-asin<p*6<p,dy=acos<p-6<pc c=-Zsin<p-6<p,=Zcos<p-6<p=-2asin<p-6<p, =B B2、解析法将C、A、8点的坐标表示成广义坐标(P的函数，得x=<2cos(p,y=<2sin(pc cx=Zcos(p,y=Zsin(pA Ax=2<2cos(p,y=0B B8Wj^=N-8r=03、 无重刚杆4、 不可伸长的柔索•5、.刚体在粗?甄圭的差博初£叫=(N+F),=。2蒙 •I§15-5虚位移原理一、虚位移原理具有定常、理想约束的质点系，平衡的必要与充分条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移上所作的虚功之和等于零。即 一=―-——ii解析式： Z(x%+yg+z&)=o、几何法：使*发生虚位移Sr，- A8的虚位移&•，则由虚位移原B理，得虚功方程：P5r-Q8r=0

A B而8r・sin<p=8r-cos<p=>A B8r=8r-tg<p

BA由8区勺任意性，得P=Qtg(p•W....一….…..、解析法由于系统为单自由度，可取<p为广义坐标。x=Zcos<p,y=Zsin<pB A6x=-Zsin<pS<p,6y=Zcos<p^<pB A-P6y-Q^x=0,A B(-Pcostp+2sin<p)/8(p=0由于&(p任意，故P=Qtg(p(-Pasincp-P2asin(p4-F2acos(p)6(p+(-PZ?sin\|/+F2bcosi|/)6\|/=03<P,6v是彼此独立的，所以：TOC\o"1-5"\h\z-P-tzsintp-P-2<7sin(p+F-2<2cosip=01 2-P•人sin\|/+_F・2bcow=02由此解得：— 穿tg<P=p+2p，tgW=p1 2 2解法二：,先使<p保持不变，而使w获得变得到系统的组虚位移，如图所示。F^rcosW-PdrsinW=B 2D而8%=2bd\\f,5r^=Z?5\|/代入上式，得/^•2/2Ftgw=p.泌厂P2 2jw保持不变，而使＜p获得变分8中，得到系统的男一组虚位移，如图所示。图示中：Q-攵-广or=or=orADBFdrcos(p-P6rsin(p-P6rsin(p=0B 1C 2D而5r二「8(p,c5r—dr—dr=2«5(pBDA代入上式后，得：3多跨静定梁,求支座B处反力。解：将支座B除去，代入相应的约束反力Rpo(Fcos(p-26Z-P-<2sin(p-P•2<2sin(p)8(p=01 2tg(P=-^-苫尸尸+2尸1 2-P8r+R,§T~ &7― "SO-bior 2or orEBB一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。一个自由度。若系统存在非理想约束，如弹簧力、摩擦力等，可把它们计入主动力，则系统又是理想约束系统，可选为研究对象。若要求解约束反力，需解除相应的约束，代之以约束反力，并计入主动力。应逐步解除约束，每一次研究对象只解除一个约束，将一个约束反力计入主动力，增加一个自由度。AB杆、CD杆和滑套D的系统为研究对象。0=0时，/=600-300=300(mm)00角时，/=600-部?COS7\l-ll=0.3ll-sec01(m)0F=F=k\l-ll=1.5ll-sec0l(kN)os=O.3sec06s=0.3sec0tg08O由虚位移原理，得：Af69—F5s=0[M-1.5ll-sec9l0.3sec9tg9]69=0・,八x^sinO(1—cosO) __、M=0.45Ia7(kN-m)cost应用虚位移原理求解质点系平衡问题的步骤和要点：1、正确选取研究对象：4滑套。套在光滑直杆AB上，并带动杆CQ在铅直滑道上滑动。已知。=00时，费簧等于原长，弹簧刚度系枣房5(kN/m),求在任意位置(。角)平衡时，加在AB杆上的力偶矩AT?解：这是一个已知系统平衡，求作用于系统上主动力之间关系的问题。将弹簧力计入主动