(已整理)中考数学必刷压轴题专题：抛物线之等腰三角形(含解析)

中考数学抛物线压轴题之等腰三角形(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当APAC的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线l上是否存在点M,使4MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．.如图，抛物线y=ax2+bx-3(aW0)的顶点为£,该抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且B0=0C=3A0,直线y二-得力+1与y轴交于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)证明：4口8064£8、(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使4PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐标，若不存在，请说明理由．.如图，点A在x轴上，OA=4,将线段OA绕点。顺时针旋转120°至OB的位置.(1)求点B的坐标；(2)求经过点A、0、8的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P,使得以点P、0、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由..如图，在平面直角坐标系中，己知点0(0,0),A(5,0),B(4,4).(1)求过0、B、A三点的抛物线的解析式.(2)在第一象限的抛物线上存在点M,使以0、A、B、M为顶点的四边形面积最大，求点M的坐标.(3)作直线x/交抛物线于点P,交线段0B于点Q,当4PQB为等腰三角形时，求m的值..如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(m,m),点B的坐标为(2-9),抛物线经过A、0、B三点，连接0A、0B、AB,线段AB交y轴于点。已知实数m、n(m<n)分别是方程x2-2x-3=0的两根.(1)求抛物线的解析式；(2)若点P为线段0B上的一个动点(不与点0、B重合)，直线PC与抛物线交于D、E两点(点D在y轴右侧)，连接0D、BD.①当^OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；②求ABOD面积的最大值，并写出此时点D的坐标..如图，已知二次函数L1：y=ax2-2ax+a+3(a>0)和二次函数L/y=-a(x+1)2+1(a>0)图象的顶点分别为M,N,与y轴分别交于点E,F.(1)函数y=ax2-2ax+a+3(a>0)的最小值为，当二次函数L1,L2的y值同时随着x的增大而减小时，x的取值范围是.(2)当EF二MN时，求a的值，并判断四边形ENFM的形状(直接写出，不必证明).(3)若二次函数L2的图象与x轴的右交点为A(m，0),当AAMN为等腰三角形时，求方程-@6+1)2+1=0的解．.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-(m+n)x+mn(m>n)与x轴相交于A、B两点(点A位于点B的右侧)，与y轴相交于点C.(1)若m=2,n=1,求A、B两点的坐标；(2)若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是(0,-1),求NACB的大小；(3)若m=2,4ABC是等腰三角形，求n的值..如图，二次函数y二■|"X2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(-1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动.(1)求该二次函数的解析式及点C的坐标；(2)当点P运动到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请求出E点坐标；若不存在，请说明理由.(3)当P,Q运动到t秒时，4APQ沿PQ翻折，点庆恰好落在抛物线上D点处，请判定此时四边形APDQ的形状，并求出D点坐标..如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx-8与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,直线l经过坐标原点。，与抛物线的一个交点为口，与抛物线的对称轴交于点E,连接CE,已知点A,D的坐标分别为(-2,0),(6,-8).(1)求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F,使△FOE04FCE?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；(3)若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为(0,m),直线PB与直线l交于点Q,试探究：当m为何值时，AORQ是等腰三角形..如图，已知抛物线y二-t~x2+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C,若已知A点的坐标为A(-2,0).(1)求抛物线的解析式及它的对称轴方程；(2)求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；(3)试判断4AOC与ACOB是否相似？并说明理由；(4)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使4ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．.在平面直角坐标xOy中，(如图)正方形OABC的边长为4,边OA在x轴的正半轴上，边OC在y轴的正半轴上，点D是OC的中点，BELDB交x轴于点E.(1)求经过点D、8、£的抛物线的解析式；(2)将NDBE绕点B旋转一定的角度后，边BE交线段OA于点F,边BD交y轴于点G,交(1)中的抛物线于M(不与点B重合)，如果点M的横坐标为岩，那么结论OF二/DG能成立吗？请说明理由；J E(3)过(2)中的点F的直线交射线CB于点P,交(1)中的抛物线在第一象限的部分于点Q,且使4PFE为等腰三角形，求Q点的坐标..如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，aWO)的对称轴为y轴，且经过(0,0)和(也，工)1b两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的。P总经过定点A(0,2).(1)求a,b,c的值；(2)求证：在点P运动的过程中，。P始终与x轴相交；(3)设。P与x轴相交于M(x1,0),N(x2，0)(x1<x2)两点，当AAMN为等腰三角形时，求圆心P的纵坐标..如图1,抛物线y=ax2+bx-1经过A(-1,0)、B(2,0)两点，交y轴于点C.点P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,交x轴于点E.(1)请直接写出抛物线表达式和直线BC的表达式.(2)如图1,当点P的横坐标为■时，求证：△OBDs^ABC.(3)如图2,若点P在第四象限内，当OE=2PE时，求APOD的面积.(4)当以点0、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出动点P的坐标.314.如图，已知二次函数y=ax2^-x+c的图象与y轴交于点A(0,4),与x轴交于点B、C,点C坐标为(8,0),连接AB、AC.(1)请直接写出二次函数尸ax2-1~x+c的表达式；(2)判断AABC的形状，并说明理由；(3)若点N在x轴上运动，当以点A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出此时点N的坐标；(4)若点N在线段BC上运动(不与点B、C重合)，过点N作NM〃AC,交AB于点M,当^AMN面积最大时，求此时点N的坐标..如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx-4(aW0)的图象与x轴交于A(-2,0)、C(8,0)两点，与y轴交于点B,其对称轴与x轴交于点D.(1)求该二次函数的解析式；(2)如图1,连结BC,在线段BC上是否存在点E,使得^CDE为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,若点P(m,n)是该二次函数图象上的一个动点(其中m>0,n<0),连结PB,PD,BD,求△BDP面积的最大值及此时点P的坐标.q.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过AABC的三个顶点，与y轴相交于(0,三)，点A坐标为(-1,2),点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上.(1)求该抛物线的函数关系表达式.(2)点F为线段AC上一动点，过F作FE，x轴，FG，y轴，垂足分别为E、G,当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标.(3)将(2)中的正方形0£尸6沿OC向右平移，记平移中的正方形0£尸6为正方形口£尸6,当点E和点C重合时停止运动，设平移的距离为3正方形的边EF与AC交于点M,DG所在的直线与AC交于点N,连接DM,是否存在这样的t,使△DMN是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在请说明理由..如图1,抛物线k-2X2平移后过点A(8,0)和原点，顶点为B,对称轴与x轴相交于点C,与原抛16物线相交于点D.(1)求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S-；阴影(2)如图2,直线AB与y轴相交于点P,点M为线段OA上一动点，NPMN为直角，边MN与AP相交于点N,设OM=t,试探究：①t为何值时AMAN为等腰三角形；②t为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少..如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(-3,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,连接AC,BC.点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m,过点P作PM±x轴，垂足为点M,PM交BC于点Q.(1)求此抛物线的表达式：(2)过点P作PN，BC,垂足为点N,请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值,最大值是多少？(3)试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q,使得以A,C,Q为顶点的三角形是等腰三角形.若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由..如图1,抛物线y= J+挛工+2正与x轴相交于A、B两点(点A在点B的右侧)，与y轴相交6 3于点C,对称轴与x轴相交于点H,与AC相交于点T.(1)点P是线段AC上方抛物线上一点，过点P作PQ〃AC交抛物线的对称轴于点Q,当4AQH面积最大时，点M、N在y轴上(点M在点N的上方)，MN="1,点G在直线AC上，求PM+NG+方GA的最小值.£-j(2)点E为BC中点，EF，x轴于F,连接EH,将^EPH沿EH翻折得△EF'H,如图所示，再将^EF%沿直线BC平移，记平移中的^EFF为△£、〃『，在平移过程中，直线E'H'与x轴交于点R,则是否存在这样的点R,使得△RF'H'为等腰三角形？若存在，求出R点坐标.20.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线y=Jx2-Jx-4交x轴于A、B两点，交y轴于点C.(1)点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，一动点G从点P出发沿适当路径以每秒1个单位长度运动到y轴上一点M,再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x轴上的点N,再沿x轴以每秒J万个单位长度运动到点B.当四边形ACPB面积最大时，求运动时间t的最小值；(2)过点C作AC的垂线交x轴于点D,将AAOC绕点。旋转，旋转后点A、C的对应点分别为A1、C1,在旋转过程中直线A1c1与x轴交于点Q.与线段CD交于点I.当4DQI是等腰三角形时，直接写出DQ的长度.1.抛物线的解析式:y=-x2+2x+3.(2)连接BC,直线BC与直线l的交点为P；二点A、B关于直线l对称，，PA=PB,，BC=PC+PB=PC+PA设直线BC的解析式为y=kx+b(kW0),将B(3,0),C(0,3)代入上式，得：0+bH,解得：卜一].•.直线设的函数关系式y=-x+3；当x=l时，y=2,即P的坐标(1,2).[b=3 [b=3(3)抛物线的对称轴为：x=-^=l,设M(1,m),已知A(-1,0)、C(0,3),贝小2aMA2=m2+4,MC2=(3-m)2+1=m2-6m+10,AC2=10；①若MA=MC,则MA2;MC2,得：m2+4=m2-6m+10,得：m=1；②若MA=AC,贝i]MA2;AC2,得：iii2+4=10,得：m=+V6；③若MC=AC,则MC2;AC2,得：m2-6m+10=10,得：m1=0,m2=6；当m=6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去；综上可知，符合条件的M点，且坐标为M(1,V6)(1,-V6)(1,1)(1,0).

方法二:(1)VA(-1,0)、B(3,0)、C(0,3),，y=-(x+1)(x-3),即y=-x2+2x+3.(2)连接BC,/l为对称轴，，PB二PA,AC,B,P三点共线时，APAC周长最小，把x=1代入l：y=-x+3,得P(1,2).BC(3)设M(1,t),A(-1,0),C(0,3),「△MAC为等腰三角形，AMA=MC,MA=AC,MC=AC,(1+1)2+(t-0)2=(1-0)2+(t-3)2,At=1,(1+1)2+(t-0)2=(-1-0)2+(0-3)2,/.t=+V-6,(1-0)2+(t-3)2=(-1-0)2+(0-3)2,At1=6,t2=0,经检验，t=6时，M、A、C三点共线，故舍去，综上可知，符合条件的点有4个，M](1,V6),M2(1,-V6),M3(1,1),M4(1,0).(4)作点O关于直线AC的对称点O交AC于H,作HG，AO,垂足为G,ANAHG+NGHO=90°,NAHG+NGAH=90°,ANGHO=NGAH,g3y=3x+3,HAAGHO^AGAH,AHGg3y=3x+3,HVA(-1,0),C(0,3),/.I：ACTH为00，的中点，.,.OZ(一日，3),・••D(1,4),/.lo・••D(1,4),/.lo,D： 1AC：y=3x+3,/.x=昱，y巫，，q(一工,25 25 256625).2.(1)抛物线解析式为y=x2.(1)抛物线解析式为y=x2-2x-3,(2)由(1)知，抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4,AE(1,-4),VB(3,0),A(-1,0),C(0,-3),，BC=3血，BE=2a/5,CE=V2,,直线y=--1-x+l与y轴交于点D,AD(0,1),VB(3,0),/.OD=1,0B=3,BD=Vlb,CEAABCEsABDO,

(3)存在，理由：设P(1,m),VB(3,0),C(0,-3),，BC=3^,pb=77^,MW3)2+1.「△(3)存在，理由：设P(1,m),VB(3,0),C(0,-3),，BC=3^,pb=77^,MW3)2+1.「△PBC是等腰三角形，①当PB=PC时，Vm2+4=V(nH-3)2+1，/.m=-1,，p(1,-1),②当PB=BC时，m=+-\/T4,，P(1,V14)或P(1,-VTS),③当PC=BC时，3^=V(nH-3)2+l，m=-3+V17,?.P(1,-3^17)或P，符合条件的P点坐标为P(1,3-V17)-3-V~17),,-1)或P(1,V14)或P(1,-V14)或P(1,-3+V-17)或P(1,-3.(1)如图，过B点作BC^x轴，垂足为3则NBCO=90°,VZAOB=120°,AZBOC=60°,XV0A=0B=4,/.0C=—0B=—X4=2,BC=OB*sin60°二4义”=2代,2 2 2...点B的坐标为(-2,-2e);(2)此抛物线的解析式为(2)此抛物线的解析式为y二(3)存在;如图，抛物线的对称轴是直线x=2,直线x=2与x轴的交点为D,设点P的坐标为(2,y),①若OB=OP,则22+|y|2=42,解得k±2右，

当y=2立时，在Rt^P，0D中，ZPZD0=90°,sinZPz0D=-=—,/.ZPZOD=60°,/.ZPZOB=ZPZOD+ZAOB=60°+120°=180°,即p,、o、Bm点在同一直线上，...k26不符合题意，舍去，...点P的坐标为(2,-273)②若0B二PB,贝I]42+|y+2d^2=42,解得k-2击，故点P的坐标为(2,-2^3),③若OP=BP,则22+|y|2=42+|y+2寸印2,解得k-2^/瓦故点P的坐标为(2,-2^/3),综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为(2,-2V3).方法二：(3)设P(2,t),0(0,0),B(-2,-2日)，.「△POB为等腰三角形，/.PO=PB,PO=OB,PB=OB,(2-0)2+(t-0)2=(2+2)2+(t+2>/3)2,；.t=-2^3,(2-0)2+(t-0)2=(0+2)2+(0+2后2,/.t=273^-273,当t=2否时，P(2,2^3),0(0,0)B(-2,-2V3)三点共线故舍去,(2+2)2+(t+2^3)2=(0+2)2+(0+2①)2,；.t=-2V3,■合条件的点P只有一个，，P(2,-2JI).(4)...点B,点P关于y轴对称，.,.点M在y轴上，设M(0,m),二。M为^OBF的外接圆，，MO二MB,(0-0)2+(m-0)2=(0+2)2+(m+2>/3)2,・・m・・m二一手MM一哈4.(1)...该抛物线经过点A(5,0),O(0,0),...该抛物线的解析式可设为y=a(x-0)(x-5)=ax(x-5).•.•点B(4,4)在该抛物线上，，aX4X(4-5)=4.，a=-1.，该抛物线的解析式为y=-x(x-5)=-x2+5x.(2)以0、A、B、M为顶点的四边形中，4OAB的面积固定，因此只要另外一个三角形面积最大，则四边形面积即最大.①当0<x<4时，点乂在抛物线0B段上时，如答图1所示.VB(4,4),...易知直线0B的解析式为:y=x.设M(x,-x2+5x),过点M作ME〃y轴，交0B于点E,则E(x,x),/.ME=(-x2+5x)-x=-x2+4x.Saobm=Sameo+Sameb=2"ME(xe-0)卷me(xb-xe)=/mE・xb="1-MEX4=2ME,.S=-2x2+8x=-2(x-2)2+8△OBM...当x=2时，S△喇最大值为8,即四边形的面积最大.②当4Vx<5时，点乂在抛物线AB段上时，图略.可求得直线AB解析式为：y=-4x+20.设M(x,-x2+5x),过点M作乂£〃丫轴，交AB于点E,则E(x,-4x+20),/.ME=(-x2+5x)-(-4x+20)=-x2+9x-20.,△abm=S/xmeb+S^ea二支ME(x£-xB)+-i-ME(xa-X£)=-^-ME*(xa-xB)=-^-MEXl=-^-ME,/.S =--x2^-x-10=-—(x--)2工△abm£ £ 2 2 8••・当4时，s△制最大值为七，即四边形的面积最大.比较①②可知，当x=2时，四边形面积最大.当x=2时，y=-x2+5x=6,.M(2,6).(3)由题意可知，点P在线段0B上方的抛物线上.设P(m,-m2+5m),则Q(m,m)当△PQB为等腰三角形时，①若点B为顶点，即BP=BQ,如答图2-1所示.过点B作BELPQ于点E,则点E为线段PQ中点，，E(m,-1+山).2•「BE〃x轴，B(4,4),,T+舐=4,解得：iii=2或mE(与点B重合，舍去)/.m=2；2②若点P为顶点，即PQ=PB,如答图2-2所示.

易知NB0A=45°,，NPQB=45°,则4PaB为等腰直角三角形./.PB〃x轴，，-m2+5m=4,解得：m=1或m=4（与点B重合，舍去）.》=1；③若点Q为顶点，即QP=QB,如答图2-3所示.*/P(m,-m2+5m),Q(m,m),APQ=-m2+4m.XQB=(Xr-Xq)-\f~2(4-m), -m2+4m=V-2(4-m),解得：m二寸万或m=4(与点B重合，舍去)，：.m工后.综上所述，当APC®为等腰三角形时，m的值为1,2或5.（1）产5.（1）产_上/总底（2）①设直线AB的解析式为y=kx+b.1_l=_k+b解得:-3=3Hb.T,*，直线AB的解析式为广一工广旦.，直线AB的解析式为广一工广旦.，C点坐标为（0,—二）r2 2 2二直线OB过点0（0,0）,B（3,-3）,...直线OB的解析式为y=-x.「△OPC为等腰三角形，，OC=OP或0P二PC或0C=PC.设P（x,-x）,（i）当0C=0P时，解得叮兽度，叼二—平（舍去）.「.P］（4I,-乎）.（ii）当0P二PC时，点P在线段0C的中垂线上，泪咛,甫）.(iii)当OC=PC(iii)当OC=PC时,由/+一在|户=?，解得勺=|，x2=0（舍去）.「工（鱼,~3).

'-2qmmm，Pqmmm，P点坐标为P］（上叵_之叵）或P2（3"7_W）或03（9，一可②过点D作DG^x轴，垂足为6,交0B于Q,过B作BH^x轴，垂足为1设Q(x,-x),D(x,Sabod=Saodq+SSabod=Saodq+Sabdq=^DQ*OG+yDQ*GH,=yDQ(OG+GH),=1rs+r-lT22' 2X3，•..0<x<3,...当3时，S取得最大值为里，此时D(旦，-