鸡兔同笼问题五种基本公式及例题讲解

鸡兔同笼问题五种基本公式和例题讲解【兔公式】（1）已知数和脚数，求、兔各多少：（脚数-每只的脚数×数）÷（每只兔的脚数-每只的脚数）=兔数；数-兔数=数。也许是（每只兔脚数×数-脚数）÷（每只兔脚数-每只脚数）=数；数-数=兔数。比方，“有、兔共36只，它共有脚100只，、兔各是多少只？”解一（100-2×36）÷（4-2）=14（只）⋯⋯⋯兔；36-14=22（只）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯。解二（4×36-100）÷（4-2）=22（只）⋯⋯⋯；36-22=14（只）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯兔。（答略）2）已知数和兔脚数的差数，当的脚数比兔的脚数多，可用公式（每只脚数×数-脚数之差）÷（每只的脚数+每只兔的脚数）=兔数；数-兔数=数或（每只兔脚数×数+兔脚数之差）÷（每只的脚数+每只免的脚数）=数；数-数=兔数。（例略）3）已知数与兔脚数的差数，当兔的脚数比的脚数多，可用公式。1/28（每只的脚数×数+兔脚数之差）÷（每只的脚数+每只兔的脚数）=兔数；数-兔数=数。或（每只兔的脚数×数-兔脚数之差）÷（每只的脚数+每只兔的脚数）=数；数-数=兔数。（例略）4）得失（兔的推行）的解法，可以用下边的公式：1只合格品得分数×品数-得分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。也许是品数-（每只不合格品扣分数×品数+得分数）÷（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。比方，“灯泡厂生灯泡的工人，按得分的多少工。每生一个合格品4分，每生一个不合格品不不分，要扣除15分。某工人生了1000只灯泡，共得3525分，此中有多少个灯泡不合格？”解一（4×1000-3525）÷（4+15）=475÷19=25（个）解二1000-（15×1000+3525）÷（4+15）1000-18525÷19=1000-975=25（个）（答略）（“得失”也称“运玻璃器皿”，运到完满无者每只运××元，破者不不运，需要成本××元⋯⋯。它的解法然可套用上述公式。）5）兔互（已知脚数及兔互后脚数，求兔各多少的），可用下边的公式：〔（两次脚数之和）÷（每只兔脚数和）+（两次脚数之差）÷（每只兔脚数之差）〕÷2=数；2/28〔（两次脚数之和）÷（每只兔脚数之和）-（两次脚数之差）÷（每只兔脚数之差）〕÷2=兔数。比方，“有一些和兔，共有脚44只，若将数与兔数互，共有脚52只。兔各是多少只？”解〔（52+44）÷（4+2）+（52-44）÷（4-2）〕÷2=20÷2=10（只）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯〔（52+44）÷（4+2）-（52-44）÷（4-2）〕÷2=12÷2=6（只）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯兔（答略）兔同目1述2假法3方程法一元一次方程二元一次方程4抬腿法5列表法6解7解法基本特别算法兔同公式述兔同是中国古代的数学名一。大在____年前，《子算》中就了个风趣的。中是表达的：“今有雉兔同，上有三十五，下有九十四足，雉兔各几何？”四句的意思是：有若干只兔同在一个子里，从上边数，有35个,从下边数，有94只脚。中各有几个和兔？算个有个最的算法。（脚数-数×的脚数）÷（兔的脚数-的脚数）=兔的只数（94－35×2）÷2=12(兔子数)数（35）－兔子数（12）=数（23）3/28解说：让兔子和鸡同时抬起两只脚，这样笼子里的脚就减少了头数×2只，因为鸡只有2只脚，所以笼子里只剩下兔子的两只脚，再除以2就是兔子数。固然现实中没人鸡兔同笼。假设法假设所有是鸡：2×35=70（只）鸡脚比总脚数少：94－70=24（只）兔：24÷(4-2)=12（只）鸡：35－12=23（只）假设法（平常）假设鸡和兔子都抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）而后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就跌倒了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）兔：24÷2=12（只）鸡：35-12=23（只）方程法一元一次方程解：设兔有x只，则鸡有(35-x）只。4x+2(35-x)=944x+70-2x=942x=94-702x=24x=24÷24/28x=1235-12=23(只）或解：设鸡有x只，则兔有（35-x）只。2x+4(35-x)=942x+140-4x=942x=46x=2335-23=12(只）答：兔子有12只，鸡有23只。注：平时设方程时，选择腿的只数多的动物，会在套用到其余近似鸡兔同笼的问题上，好算一些。二元一次方程解：设鸡有x只，兔有y只。x+y=352x+4y=94x+y=35)×2=2x+2y=70(2x+2y=70)-(2x+4y=94)=(2y=24)y=12y=12代入（x+y=35)x+12=35x=35-12（只）5/28x=23（只）。答：兔子有12只，有23只4抬腿法法一假如抬起一只脚，兔子抬起2只脚，有94除以2=47只脚。子里的兔就比的数多1，，脚与的数之差47-35=12，就是兔子的只数。法二假如与兔子都抬起两只脚，剩下94－35×2=24只脚，是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，并且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只5列表法腿数（只数）兔（只数）6解中国古代《子算》共三卷，成大在公元5世。本简易懂，有多风趣的算，比方“兔同”：今有雉兔同，上有三十五，下有九十四足，雉兔各几何？目中出雉兔共有35只，假如把兔子的两只前脚用子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先看作两只脚的。兔的脚数是35×2=70（只），比中所的94只要少94-70=24（只）。在，我松开一只兔子脚上的子，的脚数就会增添2只，即70+2=72（只），再松开一只兔子脚上的子，的脚数又增添2，2，2，2⋯⋯，向来下去，直至增添24，所以兔子数：24÷2=12（只），从而有35-12=23（只）。6/28我们来总结一下这道题的解题思路：假如先假设它们所有是鸡，于是依据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几个脚，把这样获取的脚数与题中给出的脚数对比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：兔数=（实质脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡脚数）。近似地，也可以假设所有是兔子。我们也可以采纳列方程的方法：设兔子的数目为x，鸡的数目为y那么：x+y=35那么4x+2y=94这个算方程解出后得出：兔子有12只，鸡有只。详细解法基本问题鸡兔同笼"是一类有名的中国古算题。最早出此刻《孙子算经》中.好多小学算术应用题都可以转变为这种问题，也许用解它的典型解法--"假设法"来求解。所以很有必需学会它的解法和思路.例1有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只解：我们假想，每只鸡都是"金鸡独立",一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人相同用两只脚站着。此刻，地面上出现脚的总数的一半，·也就是244÷2=122（只）.在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次。所以从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数122-88=34（只），有34只兔子.自然鸡就有54只。答：有兔子34只,鸡54只。上边的计算，可以归纳为下边算式：7/28总脚数÷2总-头数=兔子数.总头数-兔子数=鸡数特别算法上边的解法是《孙子算经》中记录的。做一次除法和一次减法，立刻能求出兔子数，多简单！可以这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2,4又是2的2倍.可是，当其余问题转变为这种问题时，"脚数"就不必定是4和2，上边的计算方法就行不通。所以，我们对这种问题给出一种一般解法.还说例1.假如假想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了88×4-244=108（只）.每只鸡比兔子少(4-2)只脚，所以共有鸡(88×4-244)÷(4-2)=（只54）.说明我们假想的88只"兔子"中，有54只不是兔子。而是鸡.所以可以列出公式鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.自然，我们也可以假想88只都是"鸡",那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了244-176=68（只）.每只鸡比每只兔子少(4-2)只脚，68÷2=34（只）.说明假想中的"鸡",有34不过兔子，也可以列出公式兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.上边两个公式不用都用，用此中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数。8/28假设所有是鸡，也许所有是兔，平时用这样的思路求解，有人称为"假设法".此刻，拿一个详细问题来试一试上边的公式。2红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花2.80元。问红，蓝铅笔各买几支？解：以"分"作为钱的单位.我们假想，一种"鸡"有11只脚，一种"兔子"有19只脚，它们共有16个头，280只脚。此刻已经把买铅笔问题，转变为"鸡兔同笼"问题了.利用上边算兔数公式，就有蓝笔数=(19×16-280)÷(19-11)=24÷8=3（支）.红笔数=16-3=13（支）.答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔。对于这种问题的计算，常常可以利用已知脚数的特别性.例2中的"脚数"1911之和是30.我们也可以假想16只中，8不过"兔子",8不过"鸡",依据这一假想，脚数是8×(11+19)=240（支）。280少40.40÷(19-11)=5（支）。就知道假想中的8只"鸡"应少5只，也就是"鸡"(蓝铅笔）数是3.30×8比19×16或11×16要简单计算些。利用已知数的特别性，靠默算来完成计算.9/28实质上，可以任意假想一个方便的兔数或鸡数。比方，假想16只中，"兔数"为10,"鸡数"为6，就有脚数19×10+11×6=256.280少24.24÷(19-11)=3,就知道假想6只"鸡",要少3只。要使假想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的默算本事.下边再举四个稍有难度的例子。例3一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，此刻甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。甲打字用了多少小时？解：我们把这份稿件均匀分成30份(30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.此刻把甲打字的时间看作"兔"头数，乙打字的时间看作"鸡"头数，总头数是7."兔"的脚数是5,"鸡"的脚数是3，总脚数是30，就把问题转变为"鸡兔同笼"问题了。依据前面的公式兔"数=(30-3×7)÷(5-3)=4.5,鸡"数=7-4.5=2.5,也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时。答：甲打字用了4小时30分.10/284今年是____年，父亲母亲年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁。四年后(____年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父亲母亲年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作"鸡"头数，弟的年龄看作"兔"头数。25是"总头数".86是"总脚数".依据公式，兄的年龄是(25×4-86)÷(4-3)=14（岁）.____年，兄年龄是14-4=10（岁）.父年龄是(25-14)×4-4=40（岁）.所以，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是(40-10)÷(3-1)=15（岁）.这是____年。答：公元____年时，父年龄是兄年龄的3倍.5蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。此刻这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几个？解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成"8条腿"与"6条腿"两种。利用公式就可以算出8条腿的蜘蛛数=(118-6×18)÷(8-6)=5（只）.所以就知道6条腿的小虫共18-5=13（只）.11/28也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀。再利用一次公式蝉数=(13×2-20)÷(2-1)=6（只）.所以蜻蜓数是13-6=7（只）.答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉。6某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人最少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数相同多，那么做对4道的人数有多少人？解：对2道，3道，4道题的人共有=39（人）.他们共做对181-1×7-5×6=144（道）.因为对2道和3道题的人数相同多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（(2+3)÷2=2.5)这.样兔脚数=4，鸡脚数=2.5,总脚数=144，总头数=39.对4道题的有(144-2.5×39)÷(4-2.（5)=31人）.答：做对4道题的有31人。以例1为例有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？以简单的X方程计算的话，我们一般用设大数为X，那么也就是设兔为X，那么鸡的只数就是总数减去鸡的只数，即（88-X）只。12/28解：设兔为X只。则鸡为（88-X）只。4X+2×（88-X）=244上列的方程解说为：兔子的脚数加上鸡的脚数，就是共有的脚数。4X就是兔子的脚数，2×（88-X）就是鸡的脚数。4X+2×88-2X=2442X+176=2442X+176-176=244-1762X=682X÷2=68÷2X=34即兔子为34只，总数是88只，则鸡：88-34=54只。答：兔子有34只，鸡有54只。习题一1．龟鹤共有100个头，350只脚.龟，鹤各多少只？2．学校有象棋，跳棋共26副，恰好可供120个学生同时进行活动。象棋2人下一副棋，跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副？3．一些2分和5分的硬币，共值2.99元，此中2分硬币个数是5分硬币个数的4倍，问5分硬币有多少个？4．某人领得薪水240元，有2元，5元，10元三种人民币，共50张，此中2元与5元的张数相同多。那么2元，5元，10元各有多少张？5．一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，此刻甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天.甲先做了多少天？13/286．摩托车赛全程长281千米，全程被划分成若干个阶段，每一阶段中，有的是由一段上坡路(），一段平路(），一段下坡路(）和一段平路(）构成的；有的是由一段上坡路(），一段下坡路(）和一段平路(）构成的。已知摩托车跑完整程后，共跑了25段上坡路.全程中包括这两种阶段各几段？7．用1元钱买4分，8分，1角的邮票共15张，问最多可以买1角的邮票多少张？二、"两数之差"的问题鸡兔同笼中的总头数是"两数之和",假如把条件换成"两数之差",又应该如何去解呢7买一些4分和8分的邮票，共花6元8角。已知8分的邮票比4分的邮票多40张，那么两种邮票各买了多少张？解一：假如取出40张8分的邮票，余下的邮票中8分与4分的张数就相同.(680-8×40)÷(8+4)=30（张），这就知道，余下的邮票中，8分和4分的各有30张。所以8分邮票有40+30=70（张）.答：买了8分的邮票70张，4分的邮票30张。也可以用任意假设一个数的方法.解二：比如，假设有20张4分，依据条件"8分比4分多40张",那么应有60张8分。以"分"作为计算单位，此时邮票总值是4×20+8×60=560.比680少，所以还要增添邮票。为了保持"差"是40，每增添1张4分，就要增添1张8分，每种要增添的张数是14/28(680-4×20-8×60)÷(4+8)=10（张）.所以4分有20+10=30（张），8分有60+10=70（张）.例8一项工程，假如所有是晴日，15天可以完成。假如下雨，雨天比晴日多天，工程要多少天才能完成解：近似于例3，我们设工程的所有工作量是150份，晴日每天完成10份，雨天每天完成8份.用上一例题解一的方法，晴日有(150-8×3)÷(10+8)=（天7）.雨天是7+3=10天，总合7+10=17（天）.答：这项工程17天完成。请注意，假如把"雨天比晴日多3天"去掉，而换成已知工程是17天完成，由此又回到上一节的问题.差是3，与和是17，知道其一，就能计算出另一个。这说了然例7，例8与上一节基本问题之间的关系.总脚数是"两数之和",假如把条件换成"两数之差",又应该如何去解呢例9鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28.问鸡与兔各几个？解一：假如再补上28只鸡脚，也就是再有鸡28÷2=14（只），鸡与兔脚数就相等，兔的脚是鸡的脚4÷2=2（倍），于是鸡的只数是兔的只数的2倍。兔的只数是(100+28÷2)÷(2+1)=38（只）.鸡是100-38=62（只）.答：鸡62只，兔38只。自然也可以去掉兔28÷4=7（只）.兔的只数是15/28(100-28÷4)÷(2+1)+7=38（只）.也可以用任意假设一个数的方法。解二：假设有50只鸡，就有兔100-50=50（只）.此时脚数之差是4×50-2×50=100,28多了72.就说明假设的兔数多了（鸡数少了）.为了保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（千万注意，不是2).所以要减少的兔数是(100-28)÷(4+2)=12（只）.兔只数是50-12=38（只）.别的，还存在下边这样的问题：总头数换成"两数之差",总脚数也换成"两数之差".10古诗中，五言绝句是四句诗，每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。有一诗选集，此中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首？解一：假如去掉13首五言绝句，两种诗首数就相等，此时字数相差13×5×4+20=280（字）.每首字数相差7×4-5×4=8（字）.所以，七言绝句有280÷(28-20)=35（首）.五言绝句有35+13=48（首）.答：五言绝句48首，七言绝句35首。解二：假设五言绝句是23首，那么依据相差13首，七言绝句是10首.字数分别是20×23=460（字），28×10=280（字），五言绝句的字数，反而多了460-280=180（字）.与题目中"少20字"相差180+20=200（字）.16/28说明假设诗的首数少了。为了保持相差13首，增添一首五言绝句，也要增一首七言绝句，而字数相差增添8.所以五言绝句的首数要比假设增添200÷8=25（首）.五言绝句有23+25=48（首）.七言绝句有10+25=35（首）.在写出"鸡兔同笼"公式的时候，我们假设都是兔，也许都是鸡，对于例7，9和例10三个问题，自然也可以这样假设。此刻来详细做一下，把列出的计算式子与"鸡兔同笼"公式比较一下，就会发现特别风趣的事.7，假设都是8分邮票，4分邮票张数是(680-8×40)÷(8+4)=30（张）.例9，假设都是兔，鸡的只数是(100×4-28)÷(4+2)=62（只）.10，假设都是五言绝句,七言绝句的首数是(20×13+20)÷(28-20)=35（首）.第一，请读者先弄理解上边三个算式的由来，而后与"鸡兔同笼"公式比较，这三个算式不过有一处"-"成了"+".其巧妙安在呢当你进入初中，有了负数的看法，并会列二元一次方程组，就会理解，从数学上说，这一讲前两节列举的所有例子都是同一件事。例11有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完满的瓶子数目计算，每只2角，若有破坏，破坏瓶子不给运费，还要每只赔偿1元.结果获取运费379.6元，问此次搬运中玻璃瓶破坏了几个？解：假如没有破坏，运费应是400元。但破坏一只要减少1+0.2=1.2（元）.所以破坏只数是(400-379.6)÷(1+0.2)=17（只）.答：此次搬运中破坏了17只玻璃瓶。请你想想，这是"鸡兔同笼"同一种类的问题吗17/28例12有两次自然测试，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包括不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测试共答对30道题，但第一次测试得分比第二次测试得分多10分，问小明两次测试各得多少分？解一：假如小明第一次测试24题全对，得5×24=120（分）.那么第二次只做30-24=6（题）得分是8×6-2×(15-6)=30（分）.两次相差120-30=90（分）.比题目中条件相差10分，多了80分。说明假设的第一次答对题数多了，要减少.第一次答对减少一题，少得5+1=6（分），而第二次答对增添一题不仅不倒扣2分，还可得8分，所以增添8+2=10分。二者两差数即可减少6+10=16（分）.(90-10)÷(6+10)=5（题）.所以第一次答对题数要比假设（全对）减少5题，也就是第一次答对19题，第二次答对30-19=11（题）.第一次得分5×19-1×(24-19)=90.第二次得分8×11-2×(15-11)=80.答：第一次得90分，第二次得80分。解二：答对30题，也就是两次共答错24+15-30=9（题）.第一次答错一题，要从满分中扣去5+1=6（分），第二次答错一题，要从满分中扣去8+2=10（分）.答错题互换一下，两次得分要相差6+10=16（分）.假如答错9题都是第一次，要从满分中扣去6×9但.两次满分都是120分。比题目中条件"第一次得分多10分",要少了6×9+10因.此，第二次答错题数是(6×9+10)÷(6+10)=4（题）·第一次答错9-4=5（题）.18/28第一次得分5×(24-5)-1×5=90（分）.第二次得分8×(15-4)-2×4=80（分）.习题二1．买语文书30本，数学书24本共花83.4元。每本语文书比每本数学书贵0.44元。每本语文书和数学书的价格各是多少？2．甲茶叶每千克132元，乙茶叶每千克96元，共买这两种茶叶12千克.甲茶叶所花的钱比乙茶叶所花销少354元。问每种茶叶各买多少千克？3．一辆卡车运矿石，晴日每天可运16次，雨天每天只好运11次.一连运了若干天，有晴日，也有雨天。此中雨天比晴日多3天，但运的次数却比晴日运的次数少27次.问一连运了多少天？4．某次数学测试共20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣1分，不做得0分。小华得了76分.问小华做对了几道题？5．甲，乙二人射击，若命中，甲得4分，乙得5分；若不中，甲失2分，乙失3分。每人各射10发，共命中14发.结算分数时，甲比乙多10分。问甲，乙各中几发？6．甲，乙两地相距12千米.小张从甲地到乙地，在逗留半小时后，又从乙地返回甲地，小王从乙地到甲地，在甲地逗留40分钟后，又从甲地返回乙地。已知两人同时分别从甲，乙两地出发，经过4小时后，他们在返回的途中相遇.假如小张速度比小王速度每小时多走1.5千米，求两人的速度。？三、从"三"到"二"鸡"和"兔"是两种东西，实质上还有三种也许更多种东西的近似问题.在第一节例5和例6就都有三种东西。从这两个例子的解法，也可以看出，要把"三种"转变为"二种"来考虑.这一节要经过一些例题，告诉大家两类转变的方法。例13学校组织新年游艺晚会，用于奖品的铅笔，圆珠笔和钢笔共232支，共花了300元.此中铅笔数目是圆珠笔的4倍。已知铅笔每支0.60元，圆珠笔每支2.7元，钢笔每支6.3元。问三种笔各有多少支19/28解：从条件"铅笔数目是圆珠笔的4倍",这两种笔可并成一种笔，四支铅笔和一支圆珠笔成一组，这一组的笔，每支价格算作0.60×4+2.7)÷5=1（.02元）.此刻转变为价格为1.02和6.3两种笔。用"鸡兔同笼"公式可算出，钢笔支数是(300-1.02×232)÷(6.3-1.02)=12（支）.铅笔和圆珠笔共232-12=220（支）.此中圆珠笔220÷(4+1)=44（支）.铅笔220-44=176（支）.答：此中钢笔12支，圆珠笔44支，铅笔176支。例14商店销售大，中，吝啬球，大球每个3元，中球每个1.5元，小球每1元。老师用120元共买了55个球，此中买中球的钱与买小球的钱恰好相同多.问每种球各买几个解：因为总钱数是整数，大，小球的价格也都是整数，所以买中球的钱数是整数，并且还是3的整数倍。我们假想买中球，小球钱中各出3元.即可买2此中球，3个小球。所以，可以把这两种球看作一种，每个价格是(1.5×2+1×3)÷(2+3)=1（元）.2.从公式可算出，大球个数是(120-1.2×55)÷(3-1.（2)=30个）.买中，小球钱数各是20/28(120-30×3)÷（2=15元）.可买10此中球，15个小球。答：买大球30个，中球10个，小球15个.13是从两种东西的个数之间倍数关系，例14是从两种东西的总钱数之间相等关系（倍数关系也可用近似方法），把两种东西合井成一种考虑，实质上都是求两种东西的均匀价，就把"三"转变为"二"了。15是为例16作准备.15某人去时上坡速度为每小时走，回来时下坡速度为每小时走，求他的均匀速度是多少解：去和回来走的距离相同多。这是我们考虑问题的前提.均匀速度=所行距离÷所用时间去时走，要用20分钟；回来时走，要用10分钟。来回共走，用了30分钟，即半小时，均匀速度是每小时走.千万注意，均匀速度不是两个速度的均匀值：每小时走(6+3)÷2=。16从甲地至乙地全长，有上坡路，平路，下坡路.李强上坡速度是每小3千米，平路上速度是每小时5千米，下坡速度是每小时6千米。从甲地到乙地，李强行走了10小时；从乙地到甲地，李强行走了11小时.问从甲地到乙地，各种路段分别是多少千米解：把来回行程45×2=90（千米）算作全程。去时上坡，回来是下坡；去时下坡回来时上坡.把上坡和下坡合并成"一种"行程，依据例15，均匀速度是每小时4千米。此刻形成一个特别简单的"鸡兔同笼"问题.头数10+11=21，总脚数90，鸡，兔脚数分别是4和5.所以平路所用时间是(90-4×21)÷(5-4)=6（小时）.单程平路行走时间是6÷2=3（小时）.从甲地至乙地，上坡和下坡用了10-3=7（小时）行走行程是：21/2845-5×3=30（千米）.又是一个"鸡兔同笼"问题。从甲地至乙地，上坡行走的时间是：(6×7-30)÷(6-（3)=4小时）.行走行程是3×4=12（千米）.下坡行走的时间是7-4=3（小时）.行走行程是6×3=18（千米）.答：从甲地至乙地，上坡，平路，下坡。做两次"鸡兔同笼"的解法，也可以叫"双重鸡兔同笼问题".例16是特别典型的例题。17某种考试已举行了24次，共出了426题.每次出的题数，有25题，或16题，也许20题。那么，此中考25题的有多少次解：假如每次都考16题，16×24=384，比426少42道题.每次考25道题，就要多25-16=9（道）.每次考20道题，就要多20-16=4（道）.就有9×考25题的次数+4×考20题的次数=42.请注意，4和42都是偶数，9×考25题次数也一定是偶数，所以，考25题的次数是偶数，由9×6=54比42大，考25题的次数，只好是0,2,4这三个数。因为42不可以被4整除，0和4都不适合.只好是考25题有2次（考20题有6次）.答：此中考25题有2次。例18有50位同学前去观光，乘电车前去每人1.2元，乘小巴前去每人4元，乘地下铁路前去每人6元。这些同学共用了车资110元，问此中乘小巴的同学有多少位22/28解：因为总钱数110元是整数，小巴和地铁票也都是整数，所以乘电车前去的人数必定是5的整数倍.假若有30人乘电车，110-1.2×30=74（元）.还余下50-30=20（人）都乘小巴钱也不够。说明假设的乘电车人数少了.假若有40人乘电车110-1.2×40=62（元）.还余下50-40=10（人）都乘地下铁路前去，钱还有多(62>6×10)说.明假设的乘电车人数又多了。30至40之间，只有35是5的整数倍.此刻又可以转变为"鸡兔同笼"了：总头数50-35=15,总脚数110-1.2×35=68.所以，乘小巴前去的人数是(6×15-68)÷(6-4)=11.答：乘小巴前去的同学有11位。在“三"转变为"二"时，例13，例14，例16是一各种类.利用题目中数目比率关系，把两种东西合并构成一种。例17，例18是另一各种类.充分利用所求个数是整数，以及总量的限制，此中某一个数只好是几个数值。对几个数值逐个考虑能否吻合题目的条件.确立了一个个数，也就变为"二"的问题了。在小学算术的范围内，学习这两各种类已足够了.更复杂的问题，只好借助中学的三元一次方程组等代数方法去求解。习题三23/281．有100枚硬币，把此中2分硬币全换成等值的5分硬币，硬币总数变为79个，而后又把此中的1分硬币换成等值的5分硬币，硬币总数变为63个.求原有2分及5分硬币共值多少钱？2．"京剧公演"共销售750张票得22200元。甲票每张60元，乙票每张30元，丙票每张18元.此中丙票张数是乙票张数的2倍。问此中甲票有多少张？3．小明参加数学比赛，共做20题得67分.已知做一题得5分，不答得2分，做错一题倒扣3分。又知道他做错的题和没答的题相同多.问小明共做对几题？4．1分，2分和5分硬币共100枚，价值2元，假如此中2分硬币的价值比1分硬币的价值多13分。问三种硬币各多少枚？注：此题没有学过分数运算的同学可以不做.5．甲地与乙地相距24千米。某人从甲地到乙地来回行走.上坡速度每小时，走平路速度每小时，下坡速度每小时。去时行走了4小时50分，回来时用了5小时.问从甲地到乙地，上坡，平路，下坡各多少千米？6．某学校有12间宿舍，住着80个学生。宿舍的大小有三种：大的住8个学生，不大不小的住7个学生，小的住5人.此中不大不小的宿舍最多，问这样的宿舍有几间？测试题1．松鼠妈妈采松籽，晴日每天可以采20个，雨天每天只好采12个。它一连几日采了112个松籽，均匀每天采14个.问这几日中间有几日有雨？2．有一水池，只打开甲水龙头要24分钟注满水池，只打开乙水龙头要36分钟才注满水池。此刻先打开甲水龙头几分钟，而后关掉甲，打开乙水龙头把水池注满.已知乙水龙头比甲水龙头多开26分钟。问注满水池总适用了多少分钟？3．某工程甲队独做50天可以完成，乙队独做75天可以完成.此刻两队合做，可是半途乙队因还有任务调离了若干天。从动工后40天才把这项工程做完.问乙队半途走开了多少天？24/284．小华从家到学校，步行一段路后就跑步。他步行速度是每分钟600，跑步速度是每分钟.固然步行时间比跑步时间多4分钟，但步行的距离却比跑步的距离少。问从家到学校多远？5．有16位教授，有人带1个研究生，有人带2个研究生，也有人带3个研究生.他们共带了27位研究生。此中带1个研究生的教授人数与带2,3个研究生的教授人数相同多.问带2个研