线性代数优第7章空间目标维和它的性质

7线性空间目标n线性空间和它的性质,结本章我们把数域Pn向量空间Pn的概念推广,得到数域P上(n维)线性空间的概念,并进一步研究线性空特别是n维线性空间的性质和一般线性空间的概念是从向量空间Pn抽象得到的它？n维)线性空间？数域P上全体mxn矩阵的集合Mm,n(P数域P全体n向量集合Pnn量空间).这两个集合中元素的与数域P中数与集合元 如果把它们抽就得出一般线性空间定义7.1线性空间概V一个非空集合,P一个数域,如果V满足下面123个条件对V中任意两个元素αβ按照某种固定的法都有唯一确定的元素γ与它们对应,称γ为α与β的和,记γ=αβ；又定义了P数与V元素的一种代数运算(通常叫数量乘法):对任意kP,αV,按照某种固定的法都有V一确定的元素δ与它们对应,称δ为k与α的数量乘积,记δ=kα.对任意α,β,γ∈,k,∈,有加法交加法结零元素:在V中存在一个元素(记作0),使任意α∈V有负元素:任意α∈V,都存在一个负元素,记为-α,α+(-α)=0；负元素依赖于构成一个数域P上的线性空间,,+,)V在P内特别地P实数域时,称V线性空间；当P为复数域时,称V为复线性空间,数域P上的线性空间V中的元素称为向量,用小写希腊字母α,β,γ…表示,数域P上的数用小写英文字母a,b,c,…表示,1空如果数域P的V{α只含有一个元素V中规定加法为α+α=α；任意k∈P那么V成数域P的零空间,记成V={0例 n维向量空间构成线性空n向量空间Pn对向量加法数量乘法构成一个线特别地,Rn对向量加法数量乘法构成一个实线性空间例 矩阵集合构成线性空数域P上全体m×n矩阵的集合,对矩阵加法和数量乘法,构成一个线性空间,称为矩阵空间,记为Mm,nP)(或Pmn)如果m=n,通常把Mm,nP)简写为Mn是由数域P上全体n级矩阵的集合,对矩阵加法和数量乘法构成的线性空间,例4 等于P的V构成线性空间P数域,取集合并规定V中加法就是数域P中的加法PV间的数量乘法就是数域P乘法,则V=P构成数域P上的线性空间∵P本身就是个封闭线性空∴V也会就是个封闭线性空例 连续函数的集合构成实线性空定义在闭区间[a,b对函数的加法和数量乘法构成实线性空间,记为Ca,b例 R构成实线性空R为全体正实数如果R+中加法为ab=ab实数域R正实数集合R+之间的数量乘法为kaak那么R构成一个实线性空间是R中的加法,是R中的乘法,证对任意a,b∈R有ab=ab ka=akR所以R对上述定义的加法和数量乘法是封闭的,且a,b,c∈Rkl∈R,有(1)ab=b(2)(ab)c=a(bR中有零元素1,使1a=a对任意aR,有负元素1R,使a 1aa1

a=aa=1;1为零元k(la)=k(al)=(al)k=akl=(kl) a=akl=akal=akal=(ka)(l(8)k(ab)k(ab)(ab)kakbkakbk(ka)(k所以R构成一个实线性空间A数域P的mxn阵V齐次线性方程组AX=0全部解的集合,则V为n维列向量空间Pn的一个子集合,VPn中向量加法和数量乘法封闭构成数域P上的线性空间,这就是前面我们所提到的解空间的(思考其全部解的集合如果非空的话,是否有可能构成一个线性空总结例1因此,不论是几何中的向量,矩阵,还是微积分中的函数,我们把它们的加法数乘运抽象成一般线性空间中的加法数乘运算,线性空间V性质(1)零元素唯一(2)负元素唯一(3)(-1)α=-α(数域P上的线性空间V具有下列性质(1)线性空间V中的零元素是唯一的(因此我们可以把零元素用0(2)线性空间V中任意元素α的负元素-α由α唯一确(3)(-1)α=-(4)仅当k=0α=0证1)和(),()和(4)由读者自己证明,设01和02都是V中零元素,则010102设α∈V有负β1则αβ1αβ20于是β10β1(αβ2)(β1α)β2=0β2β1定义减法运利用负元素的我们可以定义线性空间V法运算如下：类似第4章Pn中的讨论照搬到一般线性空间中,维数、基和坐节维数基和坐标一维数基类似于Pn中讨论,可 性空间中引入维数基的概念定义 空间维V数域P的线性空间如果V中有一个线性无关的向量组α1,α2 ,αn使得对任意一个向量β∈V,β都可由α1,α2 ,αn线性表出则称Vn线性空间又称{α1,α2 ,αn}为V的一个基nV维数,记如果对任意正整数在V中都存在n个线性无关的向量α1,α2 则称V为无限维线性空间如果V为零空间{0}则称V维数为0,即这时,V没有基n线性空间V个基就是V一个极大线性无关组,dimV=n就是极大线性无关组中所含向量个数,即秩,定 基是有序的向量组例如,n基{α1,α2 ,αn}与基{α2,α1 ,αn}就是两个不同的有时我们把基{α1,α2 ,αn}简写为α1,α2 数域P上n维向量空间Pn基本向量组ε1(1,0,…,0)是Pn的一个基,nε性无关也最多nε2εn（事实Pn中的基就是一个由n个线性无关的向量,所组成的向量组),所以dimPn=n.在数域P全体n级矩阵所构成的线性空间Mn(P)中令Eij为第(i,j)元素为1,其余元素为0的矩阵 例如 1…省略号为 则Eij1≤i≤n,1≤j≤n,构成Eij为

(P)的一个基从而dim

n令aijEij=0即(aijnnni1故aij所以Eij,1≤i≤n；1≤j≤n线性无关n∴对任意n级矩阵A=(aijnn，显然有A=i1零空间V{0}没有基,其维数由数域P次数小于n项式全体,添上零多项式组成的集合Pn[x],对于多项式的加法和数量乘法封即如设f(x)= axaP xn1 bxbP 规定加法 )xn1 (ab)x(ab 数乘 xn1 ka

(k∴集合Pn[x构成数域P上的线性空间(请同学自己证 ∴α11,α2xαx2…αxn1是Pn[x的一个基,由此,dimPn[x 事实上,α1,α2 ,αn显然线性无关又对任意f(x)= xn1 axaP 有f(x)=a0α1a1α2 an1αn所以有二坐类似于定理我们有：设α1,α2 ,αn为n维线性空间V的一个基则V中任意向量β都可以由α1,α2 ,αn唯一地线性表出即存在数域P上唯一的有序数组(k1,k2 ,kn),使β=k1α1k2α2定义设α1,α2,,αn是数域P上n维线性空间V的一个基若βx1α1x2α2xnαn,β∈V,(其中xl,x2,,xnP)则称有序数组(x1,x2,,xn)为β在α1,α2,,αn下的坐标xi为β在基α1,α2,,αn下的第i个坐标,习惯上,对β=x1α1x2α2

x1x x我们采用形式记号,写成β=(α1,α2 ,αn)2 x xn∴n线性空间V向量β在一个基α1,α2, ,αn下的坐标由这个基α1,α2, ,αn和向量β唯一确定,易见对线性空间V的任意同一个两个向量α,β之和(差)的坐标对应于它们坐标数乘向量kα的坐标就是(kx1,kx2, ,kxn)，其中(x1,x2, 在Pn[x1,xx2 xn1是一个基令f(x)=aaxax2 xn1P 则f(x)在这个基下的坐标是(a0,a1 ,an1若在Pn[x]另取一个基{(1,xa,(xa)2 ,(xa)n1}(a依f(x)在x=a处 展开式得f(x)=f(af(a)(x-af(a)(xa)2f(n1)(a)(x (n显然f(x)在基1,x-a,(xa)2 (xa)n1下的坐

f(n1)(a)(xa)n1(n求向量α=(1,-4,-4,-6)在基α1=(1,1,3,2)下的坐标α2=(1,2,-α3=(2,3,-1,-α4=(3,-1,-2,-解设αx1α1x2α2x3α3x4α4写成矩阵方程 3x1

1x

2= 2x3

1x

4 x1 x 解得

2= x3 x 4 即α在基{α1,α2,α3,α4}下的坐标是(-1,-三,坐标变 基A矩 基为研究线性空间中两个基之间的联我们利用矩阵作为工具进行研究,定义7.4渡设{α1,α2 ,αn}和{β1,β2 ,βn}为数域P上n维线性空间V的两个基β1a11α1a21α2 an1αβaαaα a 12 22 n2n a(β1,β2 ,βn)(α1,α2 ,αn)

2n a nn(β1,β2 ,βn)(α1,α2 ,αn)A,矩阵A就是让基α1,α2 ,αn过渡为基β1,β2 ,βn的过渡矩阵基α1,α2

到基β1,β2 ,βn的过渡矩阵A的第j个列向是βj在基α1,α2 ,αn下的坐标(写成列向量∵|基βi|=|基αiA|=|基|βi|≠0|如果由基α1,α2,αn到基β1β2βn的过渡矩阵为A,那么由基β1β2βn到基α1,α2,αn的过渡矩阵为定理 坐标变 [X]=A[Y]或[Y]=A-设α1,α2, ,αn与β1,β2, ,βn为n维线性空间V的两个基,由基α1,α2, ,αn到β1,β2, ,βn的过渡矩阵是A,如果α为V中任意向量它在α1,α2, ,αn和β1,β2, ,βn下的坐标分别为(x1,x2,,xn)(y1,y2, ,y3)x1

y1

y1

x1x y

y x则2=A2

或2A1

2(4),(4)称为坐标变 x xn

yny

yny

xnx证x1xx设αx1α1x2α2 xnαn(α1,α2 ,αn)

2 x xny1yyαy1β1y2β2 ynβn(β1,β2 ,βn)

2 (β1,β2 ,βn)(α1,α2 ,αn (β1,β2 ,βn)A1(α,α ,α)A (β1,β2 ,βn)A1(α1,α2 ,αnxx1x

yny

(α1,α2 ,αn)2 x xnx1α(β1,β2 ,βn)A1

2 x xny1yyα(β1,β2 ,βn)

2 x1

y

ynyx

y1∴A1

2=2 x xn

ynyx1

y

x1

yx

y1

x

y1∴AA1

2=A2

2=A2 x xn

yny

xnx

ynyx1

y

y

x1x y1

y1 x∴证明成

2=A2

2=A12 x xn

yny

yny

xnx和α1(1,0, β1(1,0,和已知αβ (0,1,已知αβ

(1,1,

分别是Pn中的两组基求过渡求坐标变 解

从基α1,α2,α3,α4到基β1β2β3β4的过渡矩阵

A= 且A1=

设α在α1,α2 ,αn下的坐标是(a1,a2 ,anα在β1,β2 a1a2

α1aa α 32=A-1

2

a

α

nn

n 子空节子空间构成一个向量空间W,即解空间W.比较解空间W与Pn之间的关系,我们可以看出W为Pn的非空子集,且对Pn中加法和数量乘法也构成线性定义7.5子空间P空 V空 V数域P线性空间V1V的非空子集若V1对于V中加法和数量乘法也构成P上的线性空间,则称线性空间V1是V的一个子空间,特殊子空显然,零空间{0和整个空间V是V子空间,这两个子空间称为V的平凡子空间下面的定理告判断线性空间V的非空子集V1是否作成子只要检验V1是否对V中的加法数乘运算封闭即可定理线性空间V的非空子集V1作成V的子空间的充要是对任意αβV1,kP有αβV1,kαV1证由于V1设α则0

(1)αV1且

(1)α只要注意到V1数就不难得到定理7.2.Pn[x]是P[x]的一个子空间证Pn[x]={aax xn1|aiP,i 它对P[x]中加法数乘都是封闭的,由定理7.2知Pn[x是P[x]的子空间,定理n维线性空间V的子空间V1的任一个基都可以扩充为V的基,类似于定理4.8的证明,可得定理7.3n维线性空间V的子空间V1的任一都可以扩充为V基,定理7.3告诉我们,n线性空间V可以从它的子空间V1的基添加若干个向量后得到,因此dimV1dimV.定义 交空设V1,V2都是线性空间V子空间则

V2称为V1与V2的交空间,也是V子空间设α1,α2,αm为V中向量则L(α1,α2,αm)={k1α1k2α2kmαm|k1,k2,km也构成V的一个子空间称为由α1,α2

(张)成的子空间它是V中包含{α1,α2 ,αm}的最小的子空间是V中所有包含{α1, ,αm}的子空间的交空间,定理7.4向量组α1,α2 ,αm的任意一个极大线性无关都是L(α1

,αm的一个由α1,α2 的子空间L(α1,α2 ,αm)的维数dimL(α1,α2,,αm)等于向量组α1,α2 ,αm的秩即dirnL(α1,α2,,αm=r(α1,α2,,αm证设αi,αi ,αi是α1,α2 ,αm的一个极大线性无关组 则αi,αi ,αi与α1,α2 ,αm等价 由L(α1,α2 ,αm)的定义L(α1,α2 ,αm)中每个向量都可以由α1,α2 ,αm线性表出从而也可以由αi,αi ,αi线性表 ∵{αi,αi ,αi}是L(α1,α2 ,αm)的一个基 且dirnL(α1,α2 其中r为α1,α2 ,αm的秩对于齐次线性方程组因此解空间的维数为n-r,其中n未知量个数,r为A秩求L(α1,α2,a3 L(α4,α5)的维数和一个基其α1=(1,-α2=(2,-α3=(1,-α4α5=(1,1,-解令αL(α1,α2,α3)L(a4,α5则存在P中数x1,x2,x3,x4,x5使αx1α1x2α2x3α3x4α4x5α5x1α1x2α2x3α3x4α4x5α5x1 1x 2即 1x3 4x 4 系数矩阵

②(1 0

0 ①③(

值为1的是x1,x2∴取x3,x5为自由未知量,并令x3c1,x5c2,其中c1,c2为任意常数x13c15c2x c5c 则x3x4

c1

4c2c2故αx4α4x5α5c2(4α4α5)∈L(α1,α2,α3 L(α4,α5因此,L(α1,α2,α3 L(α4,α5)L(4a4α5L(4a4α5的一个基为4α4α5=(5,5,0),维数为事实上,4α4α55α15α2L(α1,α2,α3 L(α4,α5和空间与补空我们知道从线性空间V的两个子空间V1,V2我们可有一个新的子空间

我们还可以构造出另一个子空间包含V1和这就是这两个子空间的和空定义设V1,V2都是数域P上线性空间V空间,令集合V1V2{αβ|αV1βV2}则V1V2也是V的子空间称为V1与V2的和空间,简称和,设α1,α2 ,αm,β1,β2 ,βs则L(α1,α2 ,αm)L(β1,β2 ,βs)=L(a1,α2 ,αm,β1,β2 ,βs定理 和维数与交维数的关一般地,dim(V1V2未必等于dimV1dimV2之和,下面的定理揭示了和交空间维数之间的关系,定理设V1,V2都是V的子空间

证明

V2)=t则trt先假定

V2{0,α1,α2 ,αt为

V2的一则由定理它可以扩充成V1的一个基α1,α2 ,αt,|αt1 ,αr也可以扩充成V2的一个基α1,α2 ,αt,|αt1 ,α证明α1,α2 ,αt,|αt1 ,αr,|αt1 是V1V2的一个基我们先证明这个向量组是线性无关令x1α1 xtαt|xt1αt1 ystαsβy1α

ystαs(x1α1 xtαt xrαr)

所以β可由α1,α2 ,αt线性表出设βk1α1k2α2 ktαt,k1 ,kt则有k1α1k2α2 ystαs因为α1,α2, ,αs是V2的基,故k1 kty1 yst0.这又得到x1α1xtαt xrαr同理可得x1 Xt xr这就证明了α1,α2

,αt ,αr ,αs是线性无关的其次V1V2中任意向量都可写成

γ1γ2的形式其中γ1V1γ2V2由于γ1,γ2均可由α1, ,αt, ,αr, ,αt1, ,αs线性表出,所以γ也可以由α1, ,αt, ,αr,αt1,

γ1γ2这就证明了α1 ,αt ,αs是的一个基,进而dim(V1V2)=r+(s-dim如果V1

V1+dimV2-那么把V1,V2的基合起来所组成的新向量就V1V2的一个基(证明过程类似,略).7.32dimL(α1,α2,α3)=dimL(α4,α5)dimL(α1,α2,α3 L(α4,α5因dim(L(α1,α2,α3)+L(α4,α5))=dimL(α1,α2,α3,α4,α5=2+2-这表明L(α1,α2,α3L(α4,α5)同理可得L(α1,α2L(α5)这时L(α1,α2 L(α5)定义7.7补空间设V1,V2都是V的子空间若若

V2{0,那么和V1V2称为直和,记为V1那么V1为V2在V中的补子空间(或补空间),简称补2补空间不唯V=R3(三维几V1表示起点为原点,终点在平面上的全体向量集合,V2表示起点在原点,终点在Oz轴上全体向量集合,V3表示所有与向量(1,1,1)平行的向量的集合,则V1

V3=L(α)其中这表明一个子空间的补空间一般是不唯定理

V1V2是直和的等价下面的定理7.6给出和V1V2是直和的几个等价条件,定理7.6设V1V2都是线性空间V子空间则下面几条彼此等价即若

α1α2β1β2,其中α1β1V1

α2,β2V2则α1β1,α2β2零向量分解式即若α1α20且α1V1,α2V2则α1α20;?dim(V1V2)=dimV1+dimV2证对任意αV1V2有若又有那么有

α1α2其中α1V1,α2V2β1β2,其中β1V1β2v2β1β2α1α2,β1β2α1α2,α1β1β2α2V1的向V2的向从而α1β1β2α2因为V1V2为直和

所以

从而α1β1β2α2即α1β1,α2β2显然假设零向量分解式唯一,令α

则有0

(α且α,α 故有

从而

由维 知dim(V1V2)=dimV1+dimV2由维 知

v2)即 因此V1V2是直和定理利用定理可以证明定理线性空间V的任意一个子空间V1都在V中有补子V2证若V1{0V就是V1V中的补子空间,下设V10.,αr设V1的一个基为α1,α,αr把它扩充成V的一个基α1,α2 ,αr ,αn设V2L(αr1 ,αn那么VV1V2V2就是V1V中的补子空定义7.75正交补子空11下面我们在n维欧氏空间Rn=V中讨论,设V1V空间,(·,·)为Rn中通常的内积,令V{βV|对任意αV1有(αβ0},则V为V1V的补子空间,111从而V称为V1在V中的正交,补子空间,简称正交,补1不妨设r=dimV10.取V1的一个基ε1,ε2 ,εr由内积定义1V为(ε1,ε2 ,εn)X=0的解空间11因此dimV=n-1 另一方面,都不知它在说什么令αV V 则(α,α)0,从而α=0这表明V V{0}由定 知VV是直和 dimVV 从而VVV. 定理7.8正交补子空间唯1∵V恰好由V中所有与V1中每个向量都正交的向量11因此我们有定理7.811都有唯一的正交补子空间V1同枸映7.5节同构定义7.8映射A,B非空集合,若对任意a∈A,按照某个确定的法则都存在唯一b∈Ba应则称fAB一个映射,记为f:AB.ba映射f的象abf的一个原象,记为我们称集合AA身的映射为A一个变换B每个元素都是A个元素在映f的象,则称f为一个A到B的满射；A任意两个不同元素在f的象都不同,即a1a2f(a1f(a2),则称映射f一个AB单射既是满射又是单射的映射称为双射或1-1对应f(x)=1是全体正实数集合R上的变换,也是一个双射x但是,它不是实数集R上的变换因为它没有给实数0规定象f(x)=sinx数域R的变换,也是R闭区间[-1,1]上的满射,但是它不是R到[-1,1]上的单射f(xex是实数域R变换,也是RR单射,但是它不是R到R的满射,因为0不是任意一个实数在这个对应法则下的合成设f:AB,g:BD都是映射则这两个映射的合成映射(记为规定为(gf)(a)=g(f(a)),aA它是AD一个映射,合成映射就是由这两个映射依次作用所得到的一个新 研究数域P上的n维线性空间的分类问题,定义7.9线性映射同构就是1-1设V1V2都是数域P上的线性空间, α β α β αβ kα 即对任意αβV1kP有f(αβ)f(α)f(β则称f为线性空间V1到V2的一个线性映射特别地,若V2=P看成P上的线性空间V1到V2=P的线性映射f又称为定义在V1上的线性函数若V1到V2的线性映射f即满单射),则称f为