2022年湖南省衡阳市 衡东县衡东烟中学高三数学文模拟试题含解析

2022年湖南省衡阳市衡东县衡东烟中学高三数学文模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在如下程序框图中，已知f0（x）=sinx，则输出的结果是（）A．sinx B．cosx C．﹣sinx D．﹣cosx参考答案：B【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算函数及导函数的函数值，模拟程序的运行，分析程序运行过程中函数值呈现周期性变化，求出周期T后，不难得到输出结果．【解答】解：∵f0（x）=sinx，f1（x）=cosx，f2（x）=﹣sinx，f3（x）=﹣cosx，f4（x）=sinx，f5（x）=cosx．∴题目中的函数为周期函数，且周期T=4，∴f2005（x）=f1（x）=cosx．故选：B．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）?②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．2.我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两.今有石方三寸，中有玉，并重十一斤（176两）.问玉、石重各几何？”如图所示的程序框图反映了对此题的一个求解算法，运行该程序框图，则输出的x，y分别为（

）A.90，86 B.94，82 C.98，78 D.102，74参考答案：C执行程序框图，；；；，结束循环，输出的分别为，故选C.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.3.已知的重心为G，角A，B，C所对的边分别为，若，则A.1：1:1 B. C. D.参考答案：【知识点】正弦定理；向量加减混合运算及其几何意义．C8F1B

解析：设a，b，c为角A，B，C所对的边，由正弦定理，由△ABC的重心为G，得2sinA+sinB=﹣3sinC=﹣3sinC（﹣﹣），整理得：（2sinA﹣3sinC）+（sinB﹣3sinC）=0，∵，不共线，∴2sinA﹣3sinC=0，sinB﹣3sinC=0，即sinA=sinC，sinB=sinC，则=：：1=，故选：B．【思路点拨】已知等式利用正弦定理化简，整理后根据两向量不共线，表示出sinA与sinB，求出之比即可．4.在中,内角的对边分别为是外接圆的圆心,若,且,则的值是(

)A.

B.

C.

D.参考答案：C因为，由余弦定理得，整理得，所以，即，因为是的外心，则对于平面内任意点，均有：，令与重合，及得，∵，∴．故选C．三角形的四心与向量关系：（1）是重心，是平面内任一点，是重心．（2）是垂心，若是垂心，则．（3）是外心，若是外心，则．若是外心，则对于平面内任意点，均有：．（4）是内心是内心，是内心．5.已知函数，且在图象一点处的切线在y轴上的截距小于0，则a的取值范围是

（

）

A．（-1，1）

B．

C．

D．参考答案：C6.已知的解集为的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：A7.设集合M={x|（x+3）（x-2）<0}，N={x|1≤x≤3},则M∩N=

A．[1,2）

B．[1,2]

C．（2,3]

D．[2,3]参考答案：A本题考查了一元二次不等式的解法以及交集的运算，难度较小。因为，所以，故选A。8.已知函数，，若函数有两个不同的零点，则实数的取值为(

)A．或

B．或

C．或

D．或参考答案：D略9.设函数，其中是集合的非空真子集的个数，则的展开式中常数项是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略10.有下述命题①若，则函数在内必有零点；②当时，总存在，当时，总有；③函数是幂函数；④若，则

其中真命题的个数是A、0

B、1

C、2

D、3参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图表中数阵为“森德拉姆素数筛”，其特点是每行每列都成等差数列，记第行第列的数为，则（Ⅰ）

▲

；

（Ⅱ）表中数82共出现

▲

次．参考答案：(Ⅰ)82

(Ⅱ)

5略12.（5分）（2011?吉安二模）若{bn}是等比数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：．类比上述性质，相应地，若{an}是等差数列，m、n、p是互不相等的正整数，则有正确的结论：

参考答案：m（（ap﹣an）+n（am﹣ap）+p（an﹣am）=0．等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的“差”可以类比等比数列中的“商”．故m（（ap﹣an）+n（am﹣ap）+p（an﹣am）=0故答案为m（（ap﹣an）+n（am﹣ap）+p（an﹣am）=0．13.设斜率为的直线l与双曲线=1（a＞0，b＞0）交于不同的两点P、Q，若点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则该双曲线的离心率是．参考答案：考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，由题意可得，方程的两根分别为﹣c，c．则有t=0，代入c，得到方程，再由a，b，c的关系和离心率公式，计算即可得到所求．解答：解：设斜率为的直线l：y=x+t，代入双曲线方程，消去y，可得，（b2﹣a2）x2﹣a2tx﹣a2t2﹣a2b2=0，由于点P、Q在x轴上的射影恰好为双曲线的两个焦点，则有上式的两根分别为﹣c，c．则t=0，即有（b2﹣a2）c2=a2b2，由于b2=c2﹣a2，则有2c4﹣5a2c2+2a4=0，由e=，则2e4﹣5e2+2=0，解得e2=2（舍去），则e=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线方程和双曲线方程联立，消去未知数，运用韦达定理，考查运算能力，属于中档题．14.已知某几何体的三视图如图所示，这该几何体的体积为▲

，表面积为▲

．参考答案：，

15.如图，已知球是棱长为的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为

参考答案：16.若，且，则参考答案：答案：717.已知，若存在，满足,则称是的一个“友好”三角形.

(i)在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①；②；③.

(ii)若存在“友好”三角形，且，则另外两个角的度数分别为___.参考答案：②；【考点】解斜三角形【试题解析】(i)对①：因为所以①不存在“友好”三角形；

对②：若，

同理：故②存在“友好”三角形；

对③：若满足，则或，都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形。

(ii)若存在“友好”三角形，且，或，

分析知。又所以有，

解得：．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1交于A，B两点（1）求|AB|的长；（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．参考答案：【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】（1）把直线的参数方程参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，根据|AB|=|x1﹣x2|，运算求得结果．（2）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为

=1，由t的几何意义可得点P到M的距离，运算求得结果．【解答】解：（1）由（t为参数），参数t消去得，y﹣2=（x+2），代入曲线C：（y﹣2）2﹣x2=1，消去y整理得：2x2+12x+11=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣6，x1?x2=．…所以|AB|=|x1﹣x2|=2=2．…（2）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（﹣2，2），根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为=1．…所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=2．…【点评】本题主要考查直线的参数方程、点到直线的距离公式，用极坐标刻画点的位置，属于基础题．19.已知函数的最大值为7，最小值为3，周期为8，在区间上单调递减，且函数图象过点P（5，5）。

（1）求的最小值；

（2）求函数图象的对称轴方程及其对称中心坐标。参考答案：

20.定义，，…，的“倒平均数”为（）．已知数列前项的“倒平均数”为，记（）．（1）比较与的大小；（2）设函数，对（1）中的数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出最大的实数；若不存在，说明理由．（3）设数列满足，（且），（且），且是周期为的周期数列，设为前项的“倒平均数”，求．参考答案：（1）设数列的前项和为，由题意得，所以，……（1分）当时，，当时，，而也满足此式．所以（）．……（1分）所以，……（1分），因此．……（1分）（2）假设存在实数，使得当时，对任意恒成立，即对任意恒成立，……（2分）由（1）知数列是递增数列，所以只要，即，（2分）解得或．……（1分）所以存在最大的实数，使得当时，对任意恒成立．…（1分）（3）由，，得，……（1分）①若，则，，，因为周期为，故，所以，所以，（舍），故．此时，为，，，，，，…．符合题意．……（1分）②若，则，，因为周期为，故，所以，即或，解得或，均不合题意．…（1分）设数列的前项和为，则对，有……（1分）即

所以

因此．（2分）21.随着人民生活水平的日益提高，某小区居民拥有私家车的数量与日俱增．由于该小区建成时间较早，没有配套建造地下停车场，小区内无序停放的车辆造成了交通的拥堵．该小区的物业公司统计了近五年小区登记在册的私家车数量（累计值，如147表示2016年小区登记在册的所有车辆数，其余意义相同），得到如下数据：编号x12345年份20142015201620172018数量y（单位：辆）37104147196216

（1）若私家车的数量y与年份编号x满足线性相关关系，求y关于x的线性回归方程，并预测2020年该小区的私家车数量；（2）小区于2018年底完成了基础设施改造，划设了120个停车位．为解决小区车辆乱停乱放的问题，加强小区管理，物业公司决定禁止无车位的车辆进入小区．由于车位有限，物业公司决定在2019年度采用网络竞拍的方式将车位对业主出租，租期一年，竞拍方案如下：①截至2018年己登记在册的私家车业主拥有竞拍资格；②每车至多中请一个车位，由车主在竞拍网站上提出申请并给出自己的报价；③根据物价部门的规定，竞价不得超过1200元；④申请阶段截止后，将所有申请的业主报价自高到低排列，排在前120位的业主以其报价成交；⑤若最后出现并列的报价，则以提出申请的时间在前的业主成交，为预测本次竞拍的成交最低价，物业公司随机抽取了有竞拍资格的40位业主，进行了竞拍意向的调查，并对他们的拟报竞价进行了统计，得到如图频率分布直方图：（i）求所抽取的业主中有意向竞拍报价不低于1000元的人数；（ii）如果所有符合条件的车主均参与竞拍，利用样本估计总体的思想，请你据此预测至少需要报价多少元才能竞拍车位成功？（精确到整数）参考公式及数据：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为：；．参考答案：（1）,320；（2）（i）12人；（ii）936．【分析】（1）由表中数据，计算得与的值，则线性回归方程可求，取x=7求得y值得答案；（2）（i）由频率直方图求得有意竞拍报价不低于1000元的频率，乘以40得答案．（ii）由题意，．由频率直方图估算知，报价应该在900-1000之间，设报价为x百元，可得．求解x值即可．【详解】（1）由表中数据，计算得，，，．故所求线性回归方程为，令x=7，得；（2）（i）由频率直方图可知，有意竞拍报价不低于1000元的频率为：（0.25+0.05）×1=0.3，共抽取40位业主，则4