高中数学 人教A版 选修一直线和圆的方程 第13课时

课题：2.5.1直线与圆的位置关系（第二课时）合肥市一六八中学贾秋雨一、内容和内容解析1.内容综合运用直线和圆的方程研究一些简单的数学问题和实际问题.2.内容解析直线与圆的位置关系有三种，分别是；相交、相切、相离，三种位置关系的划分标准是直线与圆的公共点的个数.上节类比用直线的方程研究两条直线的位置关系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系,经历了从定性到定量的过程，实现了关系的精确化表达，学生不光可以从“形”的角度分析它们的位置关系，也可以从“数”的角度刻画它们之间的位置关系，真正实现了在坐标法的引领下用代数方法解决几何问题.基于以上分析，确定本节课的教学重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系，形成利用方程判断直线与圆的关系的两种方法.二、目标和目标解析1.目标(1)运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系，并解决简单的问题．体现数形结合思想，发展数学运算、直观想象和逻辑推理素养．(2)能理解并掌握解析几何研究问题的一般方法，为后续更一般的“曲线与方程”的学习做好准备．2．目标解析达成上述目标的标志是：=1\*GB2⑴学生能借助几何直观，充分利用图形的几何性质，利用点到直线的距离结合代数方法研究直线与圆的位置关系．(2)学生能够依据直线与圆的方程组成的方程组是否有实数解，来判断直线与圆的位置关系.(3)学生能归纳总结出解析几何研究问题的一般方法．三、教学问题诊断分析学生在初中“图形与几何”的学习中已初步了解了直线与圆的有关知识，前面又学习了直线的方程，学生对用代数方法建立几何问题，并利用方程研究其几何性质有了初步认识，这些都为本节的学习奠定了认知基础．但学生接触解析几何时间不长，对解析几何研究问题的一般策略还不太熟悉，这都有赖于老师的教学引导.我们将在直线与圆、圆与圆的位置关系的研究过程中进一步体会数形结合的思想，帮助学生形成用代数方法解决几何问题的能力.在问题解决中，我们都是在平面直角坐标系中将问题涉及的几何元素:点、直线、圆用坐标或方程表示，利用这些坐标或方程将几何问题转化为代数问题，运用代数运算解决代数问题，最后将代数结论“翻译”为几何结论．这体现了用坐标法研究问题的基本思想与完整过程，也就是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”．关于这种问题解决的一般模式的教学需要带领学生在丰富的问题情境中不断地积累经验，以形成能力．根据以上分析，确定本节课的教学难点：运用直线和圆的方程综合解决判断直线与圆的位置关系问题．四、教学支持条件分析借助数学软件GeoGebra，采用动态方式展现直线与圆的位置关系的变化，为数学抽象提供直观的背景．教学过程设计课时教学内容综合运用直线和圆的方程研究一些简单的数学问题和实际问题.课时教学目标通过本节学习，能用直线和圆的方程解决实际问题，掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程，激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值.（三）教学重点与难点教学重点：运用直线与圆的方程解决简单的问题.教学难点：利用直线与圆的位置关系解决实际问题的一般方法.(四）教学过程设计1.单元框架，温故知新直线与圆的位置关系的判断方法：直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断：设计意图：以提问的方式，帮助学生复习前面所学知识，同时ppt动态演示复习内容，给学生以直观的感受和提醒，为本节课内容做好铺垫.2.问题引领，导入新课情境导入：相传赵州桥是隋朝时修建的，距今差不多一千四百多年了。使用石制、夯土建筑，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑。如图圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).展示的图片它生动地描绘了实际生活中的景象.圆拱形桥一孔圆拱的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识.问题：如果我们把圆拱形桥一孔圆抽象成一个圆的一部分，支柱看作一个线段，请大家观察一下，在这个过程中，体现了哪些几何图形关系？预设:圆、圆中的线段设计意图:与圆相关的几何图形在现实生活中有非常多的实例，通过圆拱形桥一孔圆的图片来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的.3.探究问题，总结方法例3.如图圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).问题1.如何建立适当的平面直角坐标系？（大家分组讨论，给出方案）（教师展示学生方案，引导学生回忆建立平面直角坐标系应该遵循的原则，选择最合适的坐标系.）学生：（回忆回答建立直角坐标系的原则）①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.②常选特殊点作为直角坐标系的原点.③尽量使已知点位于坐标轴上.建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.【设计意图】进一步巩固建立适当的坐标系的方法技巧师生活动：选择最适合的坐标系后，在平面直角坐标系下解决代数问题：预设答案：解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上，由题意，点P,B的坐标分别为（0,4),(10,0),设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.因为P,B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得到方程组解得b=－10.5,r2=14.52所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52答：支柱的高度约为3.86m.【设计意图】学习利用直线与圆的位置关系解决实际问题的解答过程.问题2.如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个个问题吗？预设答案：追问1：这两种方法各有什么特点？追问2：坐标法的基本步骤有哪些？（回到解答过程中去寻找答案）预设答案：第一步：建系，转化；第二步：解答；第三步：“翻译”【设计意图】及时归纳总结，力争达到举一反三的效果.4.学以致用，解决问题练习：某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m，现有一船，宽10m，水面以上高3m，这条船能否从桥下通过？解：由已知如图建立直角坐标系，设圆的方程：由P（0，4），B（10，0），代入由M（-5，3），N（5，3），代入所以，这条船能从桥下通过.5、方法应用，熟练掌握例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？(师生活动：教师引导学生按照上例总结归纳的步骤一步步解答例4)预设答案：解：以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0).则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方为,其圆心坐标（0，0），半径为2；轮船航线所在直线l方程为联立直线与圆的方程：所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险.追问：还有没有其他方法解决这个问题？师生活动：教师引导学生给出不同的解法并分析不同解法的特点预设答案：你能比较三个方法各自的特点吗？【设计意图】通过例4的解答进一步熟悉、巩固坐标法解决实际问题的步骤.运用本节课所学知识来解决一些与实际生活中有关的简单的与直线与圆位置关系的问题，体现数学建模思想，数学来源于生活，通过构建数学模型，用数学方法解决数学问题，最后再回归到实际问题，学有所用。6、梳理小结，深化理解1.本节课研究路径2.数学知识、方法3.数学思想解决直线与圆的实际应用题的步骤：坐标法解决平面几何问题“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.７．今日新学，明日赓续８．作业布置，自我提升（1）基础作业P95练习1，3（2）提升作业已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？（3）探究作业在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a（a为锐角）角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．（1）若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？设计意图：不同层次学生根据实际选择相应层次的作业，体现作业分层，运用本节课所学知识来解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题，检测学生对知识的理解，巩固所学内容。目标检测设计A组：适用普通高中学生1.如图，公路和公路在点P处交汇，且，点A处有一所学校，，一辆拖拉机从P沿公路前行，假设拖拉机行驶时周围100米以内会收到噪声影响．（1）该所学校是否会受到噪声影响？请说明理由；（2）已知拖拉机的速度为每小时18千米，如果受影响，影响学校的时间为多少？解：（1）过点作于，，，，，该所中学会受到噪声影响；（2）以为圆心，为半径作圆，交于点与，则，在中，，，，，，，学校受影响的时间为：（秒．2.如图，一座圆弧形拱桥，当水面在如图所示的位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降1米后，求水面的宽度.解：如图所示，以圆弧形拱桥的顶点为原点，以过圆弧形拱桥的顶点的水平切线为x轴，以过圆弧形拱桥的顶点的竖直直线为y轴，建立平面直角坐标系.设圆心为C，水面所在弦的端点为A，B，则由已知可得A(6，－2)，设圆的半径长为r，则C(0，－r)，即圆的方程为x2＋(y＋r)2＝r2.将点A的坐标代入上述方程可得r＝10，所以圆的方程为x2＋(y＋10)2＝100，当水面下降1米后，水面弦的端点为A′，B′，可设A′(x0，－3)(x0>0)，代入x2＋(y＋10)2＝100，解得x0＝，∴水面宽度|A′B′|＝2米.3.如图，已知一艘海监船O上配有雷达，其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发，径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到？若能，持续时间多长？(要求用坐标法)解：如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40,0)，B(0,30)，圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程：＋＝1，即3x＋4y－120＝0.设O到AB距离为d，则d＝＝24<25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设监测时间为t，则t＝＝(h)答：外籍轮船能被海监船监测到，时间是0.5h.B组：适用重点高中学生1.在某海礁A处有一风暴中心，距离风暴中心A正东方向200km的B处有一艘轮船，正以北偏西a（a为锐角）角方向航行，速度为40km/h．已知距离风暴中心180km以内的水域受其影响．（1）若轮船不被风暴影响，求角α的正切值的最大值？（2）若轮船航行方向为北偏西45°，求轮船被风暴影响持续多少时间？解：(1)根据题意画出图形，如图所示，则圆的方程为，设过点的直线方程为，；即，则圆心到直线的距离为，化简得，解得；，，，若轮船不被风暴影响，则角a的正切值的最大值为；(2)若轮船航行方向为北偏西，则直线方程为，则圆心到该直线的距离为，弦长为，则轮船被风暴影响持续的时间为.2.在气象台正西方向处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，气象台所在地是否会受到台风的影响？如果会，大约多长时间后受到影响？持续时间有多长（精确到）？（参考数据：，）解：以气象台为坐标原点，正东方向为轴正方向，正北方向为轴建立平面直角坐标系，则现在台风中心的坐标为，根据题意，可知，小时后，的坐标为，即，因为以台风中心为圆心，以250千米为半径的圆上或圆内的点将遭受台风影响，所以在圆上或圆内时，气象台将受台风影响.所以令，即，整理得，解得，所以，故大约2小时后，气象台所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.3.最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1））上进行军事演练，如图（2），是三个军事基地，为一个军事要塞.已知km，到的距离分别为km，km.（1）求两个军事基地的长；（2）若要塞正北方向距离要塞20km处有一