北师版九年级数学上册第四章图形的相似PPT教学课件上

4.1比例线段第四章图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（BS）教学课件第1课时线段的比和成比例线段1.知道线段的比的概念，会计算两条线段的比；（重点）2．理解成比例线段的概念；（重点）3．掌握成比例线段的判定方法．（难点）学习目标问题1下面两张邮票有什么特点？有什么关系？导入新课情境引入问题2

多啦A梦的2寸照片和4寸照片，它的形状改变了吗？大小呢？下面图形有什么相同和不同的地方？讲授新课图形的放大与缩小一观察与思考相同点：形状相同不同点：大小不相同图形的放大

两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.图形的缩小两个图形相似图形的缩小归纳：

你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？思考：线段的比和成比例线段二如果选用同一个长度单位得两条先线段AB,CD的长度分别是m,n,那么这两条线段的比就是它们长度的比，即ABCDmnAB:CD=m:n

或如果把表示成比值k,那么

=k，或AB=k·CD,两条线段的比实际上就是两个数的比.1.若线段AB＝6cm，CD＝4cm，则

.2.若线段AB＝8cm，CD＝2dm，则

.思考：两条线段长度的比与所采用的长度单位是否有关？有关？无关？求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一在对长度单位进行统一时，无论采用哪一种单位，比值都相同.注意：虽然两条线段的比要在单位统一的前提下进行，但比值却是一个不带单位的正数.练一练4.五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB＝5cm，A'B'＝3cm，AB∶A'B'＝

.ABCDEA'B'C'D'E'5∶33.已知线段AB＝8cm，A'B'＝2cm，AB∶A'B'的比为

，AB∶A'B'的比值为

，AB＝

A'B'.4∶144练一练你能举出生活中使用线段的比的例子吗？做一做：设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH的顶点都在格点上，那么AB，AD,EF,EH的长度分别是多少？ABCDGHEF计算

的值，你发现了什么？ABCDGHEF四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a,b,c,d叫作成比例线段，简称比例线段.归纳总结AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段.注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序！

例1：判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：

（1）a＝4，b＝6，c＝5，d＝10；解： （1）∵∴线段a、b、c、d不是成比例线段．，∴

，典例精析（2）a＝2，b＝，c＝，d＝．（2）∵∴

∴线段a、b、c、d是成比例线段．

注意:1.若a:b=k,说明a是b的

k倍；

2.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致；

3.两条线段的比值是一个没有单位的正数；

4.除了a=b外,a:b≠b:a,

互为倒数.1.判断下列各组线段是否成比例线段，为什么？成比例线段不成比例线段2.下列各组线段中成比例线段的是（）C练一练解：根据题意可知,AB=am,AE=am,AD=1m.由，得即开平方,得

例2：一块矩形绸布的长AB=am,宽AD=1m，按照图中所示中方式它裁剪成相同的三面矩形彩旗，且使才裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？DAFECB当堂练习1.一把矩形米尺，长1m,宽3cm，则这把米尺的长和宽的比为（）A.100:3B.1:3C.10:3D.1000:32.甲、乙两地相距35km，图上距离为7cm,则这张图的比例尺为（）A.5:1B.1:5C.1:500000D.500000:1AC解：根据题意可知, ,

AB=15,AC=10,BD=6.

则AD=AB–BD=15–6=9.则3.已知，AB=15，AC=10，BD=6．求AE．ABCDE1.一条线段的长度是另一条线段的5倍，则这两条线段的比等于

.2.已知a、b、c、d是成比例线段，其中a=3cm，b=2cm，c=6cm，则线段d=

.3.已知三个数2，4，6，添上一个数，使它们能构成一个比例式，则这个数为

.4cm，3，125∶1拓展练习课堂小结成比例线段如果选用同一长度单位量得两条线段AB,CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB：CD=m：n，或写成四条线段a，b，c，d，如果a与b的比等于c与d的比，即

，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.线段的比成比例线段4.1成比例线段第四章图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（BS）教学课件第2课时比例的性质1.理解并掌握比例的基本性质和等比性质；（重点）2.能运用比例的性质进行相关计算，能通过比例变形解决一些实际问题.（难点）学习目标导入新课观察与思考如图的(1)和(2)都是故宫太和殿的照片，(2)是由(1)缩小得到的.（1）（2）PQP′Q′在照片(1)中任意取四个点P，Q，A，

B在照片(2)找出对应的两个点P′，Q′，A′,

B′量出线段PQ，P′Q′，AB，A′B′的长度.计算它们的长度的比值.AA´B´B讲授新课比例的基本性质一合作探究问题1：如果四个数a,b,c,d成比例，即那么ad=bc吗？反过来如果ad=bc,那么a,b,c,d四个数成比例吗？如果四个数a,b,c,d成比例，即那么ad=bc吗？在等式两边同时乘以bd,得ad=bc由此可得到比例的基本性质：如果，那么ad=bc.由此可得到比例的基本性质：如果ad=bc（a,b,c,d都不等于0），那么.如果ad=bc,那么等式还成立吗？在等式中，四个数a,b,c,d可以为任意数，而在分式中，分母不能为0.典例精析

例1：根据下列条件，求a:b

的值：（1）4a=5b；（2）（2）∵，∴8a=7b，∴解（1）∵4a=5b，∴例2：已知，求的值.解：解法1：由比例的基本性质，得 2（a+3b）=7×2b.∴a=4b，∴=4.解法2：由，得.∴ ,，那么、各等于多少？2．已知1．已知：线段a、b、c满足关系式且b＝4，那么ac＝______．，练一练16问题2：已知a,b,c,d,e,f六个数，如果（b+d+f≠0）,那么成立吗？为什么？

设 ,则

a=kb,c=kd,e=kf.

所以等比性质二由此可得到比例的又一性质：例3：在△ABC与△DEF中，已知，且△ABC的周长为18cm,求△DEF得周长.解：∵∴∴4(AB+BC+CA)=3(DE+EF+FD).

即

AB+BC+CA=(DE+EF+FD)，

又△ABC的周长为18cm，即AB+BC+CA=18cm.

∴△DEF的周长为24cm.例4：若a，b，c都是不等于零的数，且，求k的值.得

，则k＝＝2；当a＋b＋c＝0时，则有a＋b＝－c.此时

综上所述，k的值是2或－1.解：当a＋b＋c≠0时，由，1.(1)已知，那么=

，=

.

(3)如果，那么

.(2)如果那么

.当堂练习2.已知四个数a，b，c，d成比例.（1）若a=-3，b=9，c=2，求d；（2）若a=-3，b=，c=2，求d.比例的性质如果那么ad=bc基本性质等比性质如果ad=bc（a,b,c,d）都不等于0，那么课堂小结4.2平行线分线段成比例第四章图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（BS）教学课件1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论;（重点）2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题.（难点）学习目标观察与猜想下图是一架梯子的示意图,由生活常识可以知道:AD,BE1,CF互相平行，且若AB=BC,你能猜想出什么结果呢？abcDE=EF导入新课DFE讲授新课平行线分线段成比例（基本事实）一如图①，小方格的边长都是1，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于A1，A2，A3，B1，B2，B3.合作探究A1A2A3B1B2B3mnabc图①A1A2A3B1B2B3mnabc

(1)计算，你有什么发现？(2)将b向下平移到如图②的位置，直线m，n与直线

b的交点分别为A2，B2.你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将b平移到其他位置呢？A1A2A3B1B2B3mnabc图②(3)根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？

一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.符号语言：若a∥b∥c，则，，

归纳：

A1A2A3B1B2B3bca1.如何理解“对应线段”？2.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

想一想：

如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是()A.B.C.D.D练一练ACEBDFl2l1l3

如图，直线a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，平行线分线段成比例定理的推论二A1A2A3B1B2B3bcmna观察与思考把直线n向左或向右任意平移，这些线段依然成比例.A1A2A3bcmB1B2B3na

直线n向左平移到B1与A1重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？

把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A1(B1)A2A3B2B3()A1A2A3bcmB1B2B3na

直线n向左平移到B2与A2重合的位置，说说图中有哪些成比例线段？

把图中的部分线擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？A2(B2)A1A3B1B3()

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.A1(B1)A2A3B2B3A2(B2)A1A3B1B3

归纳：

如图，DE∥BC，，则

；FG∥BC，，则

.练一练ABCEDFG例1如图，在△ABC中，EF∥BC.(1)如果E、F分别是AB和AC上的点，AE=BE=7，

FC=4，那么AF的长是多少？ABCEF典例精析解：∵∴解得AF=4.(2)如果AB=10，AE=6，AF=5，那么FC的长是多少？ABCEF解：∵∴解得AC=.∴FC=AC－AF=.

如图，DE∥BC，AD=4，DB=6，AE=3，则AC=

；FG∥BC，AF=4.5，则AG=

.ABCEDFG练一练7.56例2：如图：在△ABC中,点D、E、F分别在边AB、AC、BC上，且DE//BC、EF//AB.若AD=2BD.(1)求证：(2)求的值.ABCDEF解：∵DE//BC，EF//AB又AD=2BD1.如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是(

)A.

B.C.

D.D当堂练习2.如图，在△ABC中，EF∥BC，AE=2cm，BE=6cm，

BC=4cm，EF长()AA.1cmB.cm

C.3cmD.2cmABCEFABCED2.填空题:如图:DE∥BC,已知:则

.3.在△ABC中，ED//AB，若，则4.如图，已知菱形ABCD内接于△AEF，AE=5cm，

AF=4cm，求菱形的边长.解：∵四边形ABCD为菱形，BCADEF∴CD∥AB，∴设菱形的边长为xcm，则CD=AD=xcm，DF=(4－x)cm，∴解得x=∴菱形的边长为cm.5.如图，AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点，CM交AB于点P,DN∥CP.（1）若AB=6cm，求AP的长；（2）若PM=1cm,求PC的长.拓展提升解：(1)∵AB=AC，AD⊥BC于点D,M是AD的中点,∴DB=DC,AM=MD.∵DN∥CP,又∵AB=6cm，∴AP=2cm.（2）若PM=1cm,求PC的长.∵DN∥CP,又∵PM=1cm，∴PC=2ND=4PM=4cm.解：由（1）知AP=PN=NB,课堂小结两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例◑推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例◑基本事实平行线分线段成比例4.3相似多边形第四章图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（BS）教学课件1.了解相似多边形和相似比的概念.2.会根据条件判断两个多边形是否为相似多边形.（重点）3.掌握相似多边形的性质,能根据相似比进行相关的计算.（难点）学习目标导入新课观察与思考想一想:下面几组图形有什么相同点和不同点?（1）（2）（3）（4）

放大镜下的图形和原来的图形有什么相同与不同吗？放大镜下的角与原图形中角是什么关系?相似多边形与相似比一A1B1C1D1E1F1ABCDEF

多边形ABCDEF是显示在电脑屏幕上的，而多边形A1B1C1D1E1F1是投射到银幕上的.观察与思考讲授新课问题1

这两个多边形相似吗？问题2

在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？问题3在这两个多边形中，夹相等内角的两边否成比例？A1B1C1D1E1F1ABCDEF各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.◑相似比：◑相似多边形的特征：◑相似多边形的定义：要点归纳相似多边形用符号“∽”表示，读作“相似于”

任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正n边形呢？a1a2a3an…分析：已知等边三角形的每个角都为60°,三边都相等.所以满足边数相等，对应角相等，以及对应边的比相等.议一议同理，任意两个正方形都相似.归纳：任意两个边数相等的正多边形都相似.…a1a2a3an思考：任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？例1

如图，四边形ABCD和EFGH相似，求角α，β的大小和EH的长度x.典例精析DABC182178°83°β24GEFHαx118°在四边形ABCD中，∠β＝360°－(78°＋83°＋118°)＝81°.∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.解：∵四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应角相等．由此可得DABC182178°83°β24GEFHαx118°∵四边形ABCD和EFGH相似，∴它们的对应边成比例，由此可得解得x＝28cm.，即.DABC182178°83°β24GEFHαx118°

如图所示的两个五边形相似，求未知边a，b，c，d的长度．532cd7.5ba69练一练解：相似多边形的对应边的比相等，由此可得解得：a=3，b=4.5，c=4，d=6.所以未知边a，b，c，d的长度分别为3，4.5，4，6.

，，，，例2：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，EF将四边形ABCD分成两个相似四边形AEFD和EBCF.若AD=3，BC=4，求AE:EB的值.解：∵四边形AEFD∽四边形EBCF,∴.∴EF2=AD·BC=3×4=12,∴EF=.∵四边形AEFD∽四边形EBCF,∴AE:EB=AD:EF=3:=:2.ABCDEF当堂练习1.

下列图形中能够确定相似的是()A.两个半径不相等的圆B.所有的等边三角形C.所有的等腰三角形D.所有的正方形E.所有的等腰梯形F.所有的正六边形ABDF2.若一张地图的比例尺是1:150000，在地图上量得甲、乙两地的距离是5cm，则甲、乙两地的实际距离是()A.3000mB.3500m

C.5000m

D.7500mD3.如图所示的两个四边形是否相似？答案：不相似.4.观察下面的图形(a)~(g)，其中哪些是与图形(1)、(2)或(3)相似的？5.

填空：(1)如图①是两个相似的四边形，则x=

，y=

，

α=

；(2)如图②是两个相似的矩形，

x=

.╰65°╯80°α╭6125°╯80°╮3xy图①35302015x图②2.5

1.590°22.5

6.如图，把矩形ABCD对折，折痕为EF，若矩形ABCD与矩形EABF相似，AB=1．(1)求BC长；ABCDEF解：∵E是AD的中点，∴.又∵矩形ABCD与矩形EABF相似，AB=1，

∴，∴AB2=AE·BC，∴.解得(2)求矩形ABEF与矩形ABCD的相似比.ABCDEF解：矩形ABEF与矩形ABCD

的相似比为：相似图形形状相同的图形叫做相似图形

相似图形的大小不一定相同相似多边形对应边的比叫做相似比对应角相等，对应边成比例课堂小结相似多边形相似多边形4.4探索三角形相似的条件第四章图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（BS）教学课件第1课时利用两角判定三角形相似1.理解相似三角形的定义，掌握定义中的两个条件.2.掌握相似三角形的判定定理1.（重点）3.能熟练运用相似三角形的判定定理1.（难点）学习目标问题1：这两个三角形有什么关系？观察与思考全等三角形导入新课

那这样变化一下呢？相似三角形相似三角形定义：我们把三角分别相等、三边成比例的两个三角形叫做相似三角形.对应角……？对应边……？问题2

根据相似多边形的定义，你能说说什么叫相似三角形吗？全等是一种特殊的相似定义

判定方法全等三角形相似三角形三角、三边对应相等的两个三角形全等三角对应相等,三边对应成比例的两个三角形相似角边角ASA角角边AAS边边边SSS边角边SAS斜边、直角边HL问题3三角形全等的性质和判定方法有哪些？需要三个等量条件思考

全等是一种特殊的相似，那你猜想一下，判定两个三角形相似需要几个条件？

学校举办活动，需要三个内角分别为90°，60°，30°的形状相同、大小不同的三角纸板若干.小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？导入新课情境引入？？？讲授新课问题一度量AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′的长，并计算出它们的比值.你有什么发现？CABA'B'C'两角分别相等的两个三角形相似一合作探究

与同伴合作，一人画△ABC，另一人画△A′B′C′，使∠A=∠A′，∠B=∠B′，探究下列问题：这两个三角形是相似的证明：在△ABC的边AB（或AB的延长线）上，截取AD=A′B′，过点D作DE//BC，交AC于点E，则有△ADE∽△ABC，∠ADE=∠B.∵∠B=∠B′，∴∠ADE=∠B′.又∵

AD=A′B′，∠A=∠A′，∴△ADE≌△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC.CAA'BB'C'DE问题二试证明△A′B′C′∽△ABC.由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：两角分别相等的两个三角形相似.∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴△ABC∽△A'B'C'.符号语言：CABA'B'C'归纳：例1：如图，D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点，DE∥BC,AB=7，AD=5，DE=10，求BC的长.解：∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.∴△ADE∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似).∴∴BC=14.BADEC典例精析如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC.AEFBCD证明:∵DE∥BC，EF∥AB，∴∠AED＝∠C，∠A＝∠FEC.∴△ADE∽△EFC.练一练证明：∵∠BAC=∠1+∠DAC，∠DAE=∠3+∠DAC，∠1=∠3，∴∠BAC=∠DAE.∵∠C=180°－∠2－∠DOC

，∠E=180°－∠3－∠AOE，∠DOC=∠AOE（对顶角相等），∴∠C=∠E.∴△ABC∽△ADE.例2：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC∽△ADE．ABCDE132O归纳总结∴解：∵ED⊥AB，∴∠EDA=90°.又∠C=90°，∠A=∠A，

∴

△AED∽△ABC.例3

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8.E是AC上一点，AE=5，ED⊥AB，垂足为D.求AD的长.DABCE∴由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.归纳总结当堂练习1.如图，已知AB∥DE，∠AFC＝∠E，则图中相似三角形共有()A.1对B.2对C.3对D.4对C2.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD

:

DE=3:5，AE=8，BD=4，则DC的长等于()A.B.C.D.ACABDEABDC3.如图，点D在AB上，当∠

＝∠

(或

∠

=∠

)时，△ACD∽△ABC；

ACD

ACB

B

ADB证明：∵在△

ABC中，∠A=40°，∠B=80°，

∴

∠C=180°－∠A－∠B=60°.

∵

在△DEF中，∠E=80°，∠F=60°.

∴

∠B=∠E，∠C=∠F.

∴

△ABC∽△DEF.4.

如图，△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°

．求证：△ABC∽△DEF.

ACBFED证明：∵△ABC的高AD、BE交于点F，∴∠FEA=∠FDB=90°，∠AFE

=∠BFD(对顶角相等).∴△FEA

∽△FDB，∴5.

如图，△ABC

的高AD、BE交于点F．求证：

DCABEF利用两角判定三角形相似定理：两角分别相等的两个三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理1的运用第四章图形的相似九年级数学上（BS）教学课件4.4探究三角形相似的条件导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第2课时利用两边及夹角判定三角形相似学习目标1.掌握相似三角形的判定定理2；（重点）2.能熟练运用相似三角形的判定定理2．（难点）问题1.有两边对应成比例的两个三角形相似吗?3355不相似观察与思考问题2.类比三角形全等的判定方法（SAS,SSS），猜想可以添加什么条件来判定两个三角形相似？3355相似导入新课讲授新课

利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′，使∠A=∠A′，量出BC及B′C′的长，它们的比值等于k吗？再量一量两个三角形另外的两个角，你有什么发现？△ABC与△A′B′C′有何关系？

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似合作探究两个三角形相似改变k和∠A的值的大小，是否有同样的结论？我们来证明一下前面得出的结论：如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A=∠A′，证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB．过点D作DE∥B′C′，交A′C′于点E.∵DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.求证：△ABC∽△A′B′C′.BACDEB'A'C'∴∴A′E=AC.

又∠A′=∠A.∴△A′DE≌△ABC，∴△A′B′C′∽△ABC.BACDEB'A'C'∵A′D=AB，∴由此得到利用两边和夹角来判定三角形相似的定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．符号语言：∵∠A=∠A′，BACB'A'C'∴△ABC∽△A′B′C′.归纳：对于△ABC和△A′B′C′，如果A′B′:AB=A′C′:AC.∠B=∠B′，这两个三角形一定会相似吗？

不会，如下图，因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.

A

B

C思考：

A′

B′

B″

C′结论：

如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角.典例精析例1

根据下列条件，判断△ABC

和△A′B′C′是否相似，并说明理由：∠A=120°，AB=7cm，AC=14cm，

∠A′=120°，A′B′=3cm，A′C′=6cm．解：∵∴又∠A′=∠A，∴△ABC∽△A′B′C′.1.在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=70°，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：△DEF∽△ABC.ACBFED证明：∵AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm，又∵∠C=∠F=70°，∴△DEF∽△ABC.练一练∴2.如图，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AD=AE，

AB=AC，∠DAB=∠CAE.求证：△ABC∽△ADE.证明：∵△ABC与△ADE是等腰三角形，∴AD=AE，AB=AC，∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE，即∠DAE=∠BAC，∴△ABC∽△ADE.ABCDE解：∵AE=1.5，AC=2，

例2如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE=1.5，AC=2，BC=3，且，求DE的长.ACBED∴又∵∠EAD=∠CAB，∴△ADE∽△ABC，∴∴提示：解题时要找准对应边.证明：∵CD是边AB上的高，

∴∠ADC=∠CDB=90°.∴△ADC∽△CDB，∴∠ACD=∠B，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠B+∠BCD=

90°.例3如图，在

△ABC

中，CD是边AB上的高，且，求证∠ACB=90°．ABCD∵方法总结：解题时需注意隐含条件，如垂直关系，三角形的高等.当堂练习1.判断(1)两个等边三角形相似()(2)两个直角三角形相似()(3)两个等腰直角三角形相似()(4)有一个角是50°的两个等腰三角形相似()×√√×2.如图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使

△ABC∽△DBA的条件是

()

A.AC:BC=AD:BD

B.AC:BC=AB:AD

C.AB2=CD·BC

D.AB2=BD·BCDABCD3.如图△AEB和△FEC

(填“相似”或“不相似”).

54303645EAFCB12相似解析：当△ADP∽△ACB时，AP:AB=AD:AC，∴AP:12=6:8，解得AP=9；当△ADP∽△ABC时，AD:AB=AP:AC，∴6:12=AP:8，解得AP=4.∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．4.如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边

AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为

时，△ADP和△ABC相似.ABCD4或9PP5.如图，在四边形ABCD中，已知∠B=∠ACD，

AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长．ABCD解：∵AB=6，BC=4，AC=5，CD=，∴又∵∠B=∠ACD，∴△ABC∽△DCA，

∴，∴6.如图，∠DAB=∠CAE，且AB·AD=AE·AC，求证△ABC∽△AED.

ABCDE证明：∵AB·AD=AE·AC，

∴又∵∠DAB=∠CAE，∴∠DAB+∠BAE

=∠CAE+∠BAE

，即∠DAE=∠BAC，∴

△ABC∽△AED.

两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理的运用4.4探究三角形相似的条件第四章图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（BS）教学课件第3课时利用三边判定三角形相似2.证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三角形相似的启发吗？导入新课1.什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有其缺点和局限性？ABCDE复习引入3.类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？讲授新课三边成比例的两个三角形相似合作探究

画△ABC和△A′B′C′，使，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形是否相似？ABCC′B′A′ABCC′B′A′

通过测量不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以△ABC∽△A′B′C′.下面我们用前面所学得定理证明该结论.∴C′B′A′证明:在线段AB(或延长线)上截取AD=A′B′，过点D作DE∥BC交AC于点E.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE=B′C′，EA=C′A′.

∴△ADE≌△A′B′C′，△A′B′C′∽△ABC.BCADE又，AD=A′B′，∴，.

由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：三边成比例的两个三角形相似．∵，∴△ABC∽△A′B′C.符号语言：归纳总结例1判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．ABC33.54DFE1.82.12.4典例精析解：在△ABC

中，AB>BC>CA，在△DEF中，

DE>EF>FD.∴△ABC∽△DEF.

ABC33.54DFE1.82.12.4∵，，，∴.

判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等.注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.归纳总结

已知△ABC和△DEF，根据下列条件判断它们是否相似.(3)AB=12，BC=15，AC＝24，DE＝16，EF＝20，DF＝30.(2)AB=4，BC=8，

AC＝10，DE＝20，EF＝16，DF＝8；(1)AB=3，BC=4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝9；是否否练一练例2

如图，在Rt△ABC

与Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′

=90°，且求证：△A′B′C′∽△ABC.

证明：由已知条件得AB=2A′B′，AC=2A′C′，

∴BC2=AB2－AC2=(2A′B′)2－(2A′C′)2=4A′B′2－

4A′C′2=4(A′B′2－A′C′2)=4B′C′2=(2B′C′)2.∴△A′B′C′∽△ABC.(三边对应成比例的两个三角形相似)∴BC=2B′C′，∴∠BAC=∠DAE，∠BAC

－∠DAC

=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE.∵∠BAD=20°，∴∠CAE=20°.

∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).例3

如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=20°，求∠CAE的度数.ABCDE解：∵解：在△ABC和△ADE中，∵

AB:CD=BC:DE=AC:AE，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E.∴∠BAC－∠CAD=∠DAE－∠CAD，∴∠BAD=∠CAE.故图中相等的角有∠BAC=∠DAE，∠B=∠D，∠C=∠E，∠BAD=∠CAE.

如图，已知AB:AD=BC:DE=AC:AE，找出图中相等的角(对顶角除外)，并说明你的理由.练一练ABCDE当堂练习1.如图，若△ABC∽△DEF，则x的值为()ABCDEFA.20B.27

C.36

D.45C2.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是()①②③④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④C3.如图，∠APD=90°，AP=PB=BC=CD，下列结论正确的是()

A.△PAB∽△PCAB.△PAB∽△PDA

C.△ABC∽△DBAD.△ABC∽△DCA

ACBPDC∵

AB:BC

=BD

:AB

=AD

:AC，∴△ABC∽△DBA，故选C.解析：设AP=PB=BC=CD=1，∵∠APD=90°，∴AB=，AC=，AD=.4.根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似：AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，A′B′=12cm，B′C′=18cm，A′C′=21cm.答案：不相似.5.如图，△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA

的中点，求证：△ABC∽△EFD．∴△ABC∽△EFD.证明：∵△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，∴∴6.如图，某地四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知AB=14千米，AD=28千米，BD=21千米，

DC=31.5千米，公路AB与CD平行吗？说出你的理由.ACBD2814214231.5解：公路AB与CD平行.∴∴△ABD∽△BDC，∴∠ABD=∠BDC，∴AB∥DC.三边成比例的两个三角形相似

利用三边判定两个三角形相似课堂小结相似三角形的判定定理的运用4.4探究三角形相似的条件第四章图形的相似导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学上（BS）教学课件第4课时黄金分割学习目标1.知道并理解黄金分割的定义，熟记黄金比；2.能对黄金分割进行简单运用．（重点、难点）导入新课通过观察，你觉得下面那副图最有美感？

事物之间的和谐关系可以表现为某种恰当的比例关系.

讲授新课黄金分割的概念一一个五角星如下图所示.问题：度量C到点A、B的距离,

与相等吗？ACBABCABC点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果,那么称线段AB被点C黄金分割.点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.概念学习1.计算黄金比.解：由，得AC2

=AB·BC.设AB=1，AC=x,则BC=1–x.

∴x2=1×（1-

x）.即x2+x–1=0.解方程得：x1=x2=黄金比做一做2.如图所示,已知线段AB按照如下方法作图:1.经过点B作BD⊥AB,使BD=

AB2.连接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.思考：点C是线段AB的黄金分割点吗?ABDEC巴台农神庙（ParthenomTemple）FCAEBD想一想：如果把图中用虚线表示的矩形画成如图所示的矩形ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现，点E是AB的黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？为什么?点E是AB的黄金分割点（即）是黄金比矩形