2021新高考数学题型专项训练-立体几何含答案

新高考数学题型训练立体几何一、解答题（共18题；共175分）1.（2021•高州一模）如图，在四棱柱.MUD-七3「四中，4±一底面_g「3, ,JZ）3「，且一拉一也二=1,_±±=。。=巧Ai 仇（1）求证：平面豆工瓜J：戋一平面「QE”：（2）求二面角c-53：-G所成角的余弦值2.（2021•淮北模拟）如图，在多面体d303EFG中，四边形d3r。是边长为的正方形，EG，FG，且EG—山， ，0G—面d夙为， ，N为EG中点.G F（1）若可是「F中点，求证：：iIY面CDE（2）求二面角”―3「一F的正弦值.3.（2021•崇明一模）如图，已知一平面BCD，3C—13一一皿与平面3「力所成角为30二，且AB=8C=2（1）求三棱锥d-3。3的体积

(2)设“为5。的中点，求异面直线AG与 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)(2021•玉溪模拟)如图所示，在正三棱柱■「一H四C•冲，d$=dd=2，E，F分别是.15，的中点.(1)求证：戋C：平面.土EF(2)若点G是线段SV二的中点，求二面角.土-EF-G的正弦值.(2021源山州模拟)如图，四棱锥尸一一中，尸.士一底面dGUD, ,小C二m一工5三方「=啜，门=,且尸d—T, ,F分别为产「，F5的中点.(1)若白二二求证：产产一平面3QEF(2)若四棱锥尸一一应「门的体积为2,求二面角.4-PD-「的余弦值.(2021•奉贤模拟)如图，在四棱锥尸一一忘「口中，已知Fd一平面且四边形d3r口为直角梯形，，咛C=”_力二3,=，J5=方「=1.

（1）当四棱锥尸一一立「门的体积为时，求异面直线一贯与尸。所成角的大小；（2）求证：CD一平面尸一土。.（2021•榆林模拟）如图，在正四面体中，点E，F分别是d63c的中点，点G，H分别在「办一皿上，且DH/m .（1）求证：直线EHFG必相交于一点，且这个交点在直线上；（2）求直线T万与平面EF灯H所成角的正弦值.（2021・汉中模拟）如图，四棱锥尸一一立「门的底面是正方形，尸3一底面一330口，点E在棱尸5上.⑵当阳=区孙E为依的中点时，求直线准与平面所成角的正弦值.（2021•八省联考）北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于二不与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是一•，所以正四面体在各顶点的曲率为---3•二瓦，故其总曲率为1丁

（1）求四棱锥的总曲率；（2）若多面体满足：顶点数-棱数+面数。二证明：这类多面体的总曲率是常数.（2021•青浦一模）如图，在长方体3万「口一.±5：「力中，.^=AD=［，3人=2，点P为棱工江,：的中点.（1）证明：3D_平面pac；（2）求异面直线瓦》与AP所成角的大小.（2020•驻马店模拟）如图，四棱锥E-ABCD的侧棱DE与四棱锥F-ABCD的侧棱BF都与底面ABCD垂直，.山_「。，.T5//d5=3一山=CQ=上一正=5.TF=3\R.（1）证明：工///平面BCE.（2）设平面ABF与平面CDF所成的二面角为0,求亡。仁占.（2020•郑州模拟）如图，四边形d3co是矩形，沿对角线”「将_一式一门折起，使得点D在平面43「内的射影恰好落在边H5上.

（2）求二面角N-一LlJ-匚的余弦值.14.（2）求二面角N-一LlJ-匚的余弦值.14.（2020•济宁模拟）如图1,四边形ABCD为矩形，BC=2AB,E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面平面BCE，平面—平面BCE.（1）求证：平面平面DCE；13.（2020•深圳模拟）已知三棱锥4君「中，、4=：\"=〕吐=一贯=克，AB=BC=2,O（1）求证营。—平面AMC；（工）求证：平面_平面SCl>（口）当嚼=二时，求二面角。—d「一S的余弦值.为AC的中点，点N在边BC上，且3N二^BC.（2）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值.（2020•平邑模拟）如图①：在平行四边形口3「3中，3D-Cl?,5E一.山,将」35G沿对角线5m折起，使dS「连结.4CE「得到如图②所示三棱锥J-530 必（1）证明：平面一切；⑵若1二1,二面角「一BE-t）的平面角的正切值为出求直线S3与平面一山「所成角的正弦值.（2020•宝鸡模拟）如图三棱柱./C-a3：「中，底面一位「是边长为的等边三角形，E,F分别为aS3士的中点，CE-F5；卷二、匚工工二手ER.Ai G（2）证明面角骨平面［的平面角大小.（2020•聊城模拟）如图，将长方形0AAi01（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，其中QT=10<>；=2,<d田;的长为=,AB为®0的直径.（1）在弧上是否存在点c（c,乃在平面Qa±。：的同侧），使方「一.3：,若存在，确定其位置，若不存在，说明理由.（2）求二面角业一0-一吊的余弦值（2020・赣县模拟）如图所示，已知四边形43「门是菱形，平面1工下「—平面1万「工）， ，AE=AB=.1C=1EF=1.

(1)求证：平面5£。一平面TEFC.(2)若ET—一式\求二面角S—F3—「的余弦值答案解析部分一、解答题.【答案】（1）证明：因为.山一.4，一亮二3"3「二1所以BC=2, ,因为DC=\E，所以 二,-因为‘3—底面・灰工）所以门“一底面一所以分所为避平面工又平面风门口：芝，所以平面尻。3］戋—平面（2）解：如图，分别以P5, ,口2为,,轴则。舟，即「口3，do衽， ，所以初.1一占口值）， ，57=10，-J7）设平面CAE1：的法向量为用=i工；.二;’［刃普丁朋=一点工+.£=0；3c,阳=吊一口=Q令T=1，得而=［11H设平面「炉工上的法向量为石二5上「：aBj'=—亚仃+ =0?所:"考由图知二面角〔一3门：一〔：为锐角，所以二面角「一万门：一「所成角的余弦值为近.3【解析】【分析】（1）利用回_.此一"=3=m,所以sr=，39=产因为。「=*5,再利用勾股定理推出ED—CD,再利用线面垂直的定义证出线线垂直，即50一。口:，再利用线线垂直证出线面垂直，即平面「口£，C：,再利用线面垂直证出面面垂直。（2）分别以口夙，D2为，，轴，建立空间直角坐标系。二进而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角0一5口「一所成角的余弦值。.【答案】（1）解：,OG—面一遍「。四边形一是边长为的正方形，以点门为坐标原点，3.人口「、八行所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所则期33。：、C。"*、3。。。;、口3。小、尹。1匕、M城。H、1血二1：京=S3①，Z>E=i3C，575r=f<—2.，一『 .(?J<DC=3t=0设平面「3E的法向量为彳=匕；・二;■，由㈤,DE=3工+2e=0令•「二二可得,!='?， ，则71=\1D-3：-■TZV'7?二W.二-2・。-1・3二口，LTV_k

（2）解：设平面（2）解：设平面5rr的法向量为和二【工；：二" ，，二仁—32|jft-CB=五1=0如今二g工厂%+法1=0令：'.=:贝U：'；：吟二：二3,可得，设平面的法向量为下设平面的法向量为下二1；1：.,C?=I：C>—二二:.,#2#2rs二上产。一■ ，取K=17,CA=-2为+2与二0 -则，，二二工<=1，可得小川。11：■xTT、^才cog<M/>=_=_xTT、^才cog<M/>=_=_=—sm因此，二面角丁-5C-F的正弦值为立色.=1J1-COE^因此，二面角丁-5C-F的正弦值为立色.26【解析】【分析】（1）利用。G—面口3「3,四边形430。是边长为的正方形，以点门为坐标原点，Rd、口「、门行所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再利用数量积为0两向量垂直的等价关系，,充？_胃，〕二VC平面「DE，.［上V平面（2）利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而求出二面角V-5C-F的余弦值，再利用同角三角函数基本关系式，求出二面角丁一-F的正弦值。.【答案】（1）解：如图所示，因为H5一平面灰力所以所以所以所以6—0又S0—C3,所以C3—平面一心，因为平面次一3， 与平面次一3所成角为3。：，故才二30,又由=3c=2,可得一，1>=；」「=年,BD=^jl6-4=#8=小冲,-2=282^2>2=K十euq=gx 二g/Jm6cxCQx^-LS=其工22^2>2=（2）解：以为原点，C3为轴，「5为轴，过作平面的垂线，建立空间直角坐标系，则逐。二二分口。0s口00。）中.0二，皿后1。）可得不）=小-2-1不=「EID）八 ①4 2打设异面直线1工＞与 所成角为，则UCIK方==7^=7=4^二-7-,函翁砧6所以异面直线H3与 所成角为 栏（Z—dlAUk.kJb6【解析】【分析】（1）利用已知条件结合线面垂直的定义，证出线线垂直，即df—「。，又君厂―CD再利用线线垂直证出线面垂直，即「3—平面ABC,因为d3一平面BCD,与平面3r力所成角为30：,故2城中Z,再利用已知条件结合勾股定理，从而求出CD的长，再利用三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥d-百厂。的体积。（2）利用已知条件得出以为原点，「3为轴，C3为轴，过作平面的垂线，建立空间直角坐标系，从而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求夹角公式，从而求出异面直线.d门与 所成角的余弦值，再结合反三角函数值求角的方法，从而求出异面直线与所成角的大小。.【答案】（1）证明：在正三棱柱口3「一a或「中，BC5X".丁E,F分别是,, 的中点，「•£F是 的中位线，，EF又＜5c,C_,aEF5c又B-C'.平平面.土EF,EFJ平面上EFa民C：平面.土EF（2）解：在正三棱柱.心（一.T：q：L:中，取3「中点D,连接且连接d®, ,则一山—吊，又一土人―灰二丑皿二4ABC—平面.±1*3由（1）知：EF,AE产_平面.±OG.所以AO-£F,（yo_Er

・•・-JQG即为二面角.士—EF—G的平面角，记为日连接,GO=在一.土£%中，.1。二,4.4_q=2：=可GO=.±G=\/F，cA^GO^-AiG2t+^-3 13由余弦定理得： "=一二上。的=、於V=厘1;二的正弦!*19【解析】【分析】（1）根据题意由正三棱柱以及中点的性质，即可得出平行关系再由线面平行的判定定理即可得证出结论。⑵由已知条件作出辅助线，由中点的性质结合三角形内的几何计算关系即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得出线面垂直以及线线垂直，由（1）的结论得出的平行关系转化为EF一平面.土。<『结合二面角平面角的定义即可求出二.上。「即为二面角•士-EF-G的平面角，由三角形内的几何计算关系结合已知条件即可求出—WGG中边的大小，再把数值代入到余弦定理计算出co3二K结合同角三角函数的平方关系由此即可求出二面角-士-EF-G的正弦值。.【答案】（1）证明：当4时，dF=.9，点F是5F的中点，HF_5F，又..F一平面口夙一" ，且d『_4，„躇=3.4。一平面尸.4，5?1c平面尸.4，又dF'TC-5F_平面HDEF（2）解：：”.乐□。耳与.吹匚.=:.三■|：2-4：'-2-，=2如图，以.d为原点，ISW5万，为：「：二轴的正方向，建立空间直角坐标系,cc•山3。'?：■，口。。“，CU二①，门：。。'?：'，FC=>21-1：，4-1：设平面的法向量承=「•二;'TOC\o"1-5"\h\z^n-PC=Q+2y- 0*»。，即 ，令，则 ，.,= 14，显然平面尸43,设平面尸d。的法向量U。（H放在=褊=矢一也二面角I-FD-r是锐二面角，二面角二m的的余弦值是匕.6【解析】【分析】（1）依据线面垂直的判定定理，可证明和dO_5F,进而证出"一平面ADEF（2）首先求PA的长度，再建立空间直角坐标系，求平面和平面产.立>的法向量，再求二面角的余弦值。6.【答案】6.【答案】（1）解：由题意一万5二7---1-i：l-2)-,=1,F.H分别以一把一皿dF为：「：二轴建立空间直角坐标系，一可二，如图，则葫则葫1C■由C"L"4[0）苴。口二），H0Y口）=T10),9二1。2一口-4LF= =—~--国对Ig他.^，而万一豆三：。三]••,:工豆5：：••=三，，异面直线.「与尸。所成角为一-1⑴，此时尸T长度不定，可设（2）证明：由（1）-1⑴，此时尸T长度不定，可设口。0". ,「JC'c75=1-1-0=.?，-JC_Fh，即一K—「3同理T?J'c75=0-0-0=o，dF—「£?ma,F.「K工平面尸d.【解析】【分析】（1）由题利用四棱锥的体积公式可求 ,以dS3dF为丁：二轴建立空间直角坐标系H.叩二，可得k1。），4-—）），利用平面向量夹角公式可求得，：羡•豆5>=f，进而求得异面直线,4C与PD所成角的值；（2）由（1）得工n：11&，五=[L—1]斗，由二，五二1-1-口=0得—「门，进而通过线面垂直的性质可证dF—0根据线面垂直的判定定理即可证明CD—平面「一廿。.【答案】（1）证明：因为EFTCg，，EF二三:LCGF=1dC，所以行五EF且GH=*EF，故E，F，G，H四点共面，且直线EHFG必相交于一点，设EHFG=上「，因为E岂EHL平面.dS9,所以工『已平面H5。，同理：二/七平面百「门，而平面平面£「门二方门，故工「已平面E「D，即直线EHFG必相交于一点，且这个交点在直线53上；（2）解：取S3的中点0，则SD—2T8。—。「，所以5G_平面AOC，不妨设QQ=亚，则事〉二TC二，144+144-1921九二「6=1]，所以「二-■.二■.一二一二字以o为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则取40£\日）亚。-曲市Ci12D。）Fi.6—二在0103术。），故见=144\自"5， ，M-Q，ET=UQ—4,・F），设平面才办=0 [-&+3y=0 （-瓦FGH的法向量为？?=（&"»，由L一可得：，l，令工'=5也，则恃*6二0卜-后=0 V

，=国二一16.工），=国二一16.工），则cc■『：~>=^~报3，故直线3步与平面所成角的正弦值为近.【解析】【分析】（1）由已知条件推导出E,F,G,H四点共面，再由EF与GH从能平行，证明出直线必相交于一点，且这个交点在直线5门上；（2）取53的中点0，则8》―。「，所以53一平面一，以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法即可求出与平面EFGH所成角的余弦值，进而求出与与平面EFGH所成角的正弦值。.【答案】（1）证明：因为四边形是正方形，所以一式,—9又因为F£2一底面一心〔3_土「匚平面所以FD_.4C又由尸3匚平面PDB F3=口，所以一式.—平面产”3又因为一式一匚平面一正「，所以平面_平面FD5.（2）解：以3为坐标原点，以D-iDCDF所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标设1，则心口=可得设1，则心口=可得用11。｝N&（邛），所以5尸的中点又由一省1。0】口。1。），所以二一二士）无二他L-如前十100），触■PC=0设平面的法向量为心…二），则L二七。，即令二二1，则；=\E］；=口，所以耳=式;，1）设直线dE与平面尸合「所成角为用可得近1汨=1?。《4丘不〉二三三；=.所以直线HE与平面F夙-.所成角的正弦值为近.3【解析】【分析】（1）因为四边形是正方形，所以3。，又因为产底面ABCD,再利用线面垂直的定义推出线线垂直，所以尸口―d0，再利用线线垂直证出线面垂直，所以TC平面FQ&再利用线面垂直证出面面垂直，即平面平面FQ5（2）以D为坐标原点，以m。03F所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系。一叩.二进而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，从而结合诱导公式求出直线HE与平面FBC所成角的正弦值。.【答案】（1）解：由题可知：四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和.可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合.由图可知：四棱锥共有5个顶点，5个面，其中4个为三角形，1个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由4个为三角形，1个为四边形组成，则其总曲率为：二万一、U"He.（2）证明：设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有…一，，；二二设第个面的棱数为，所以一七 二;所以总曲率为：2^/1-加勺-？）+（用-2）+.■”+（/-2）］=-2m）=力16?一/+例）=4兀所以这类多面体的总曲率是常数.【解析】【分析】（1）利用规定：多面体顶点的曲率等于2T与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和。由题可知，四棱锥的总曲率等于四棱锥各顶点的曲率之和，可以从整个多面体的角度考虑，所有顶点相关的面角就是多面体的所有多边形表面的内角的集合。再利用四棱锥的结构特征求出四棱锥的总曲率。（2）设顶点数、棱数、面数分别为、、，所以有四二二设第个面的棱数为，所以； :加=二:，从而结合总曲率的求解方法，从而求出这类多面体的总曲率，进而证出这类多面体的总曲率是常数。.【答案】（1）证明：设AC和BD交于点0，则O为BD的中点.连结P0,又因为P是〃口：的中点，所以尸。1BD-.又因为尸。（一平面PAC,5n平平面PAC所以直线59二平面PAC.（2）解：由（1）知，尸。1品＞,所以即为异面直线5口：与AP所成的角或其补角.因为尸4=尸1=\|二，tO二t 二且~且，g所以sin二.FC=洛=；=w.又©9。［,所以小。二3。：故异面直线5。与AP所成角的大小为乂….【解析】【分析】（1）设AC和BD交于点O,则O为BD的中点，推导出FO，由由此能证明直（2）由尸。3口「得，TR9即为异面直线50：与AP所成的角或其补角，由此能求出异面直线50：与AP所成角的大小。.【答案】（1）证明：因为DE，平面ABCD，所以DE_AD,因为AD=4,AE=5,DE=3,同理BF=3,又DE,平面ABCD,BF,平面ABCD,所以DE//BF,又BF=DE,所以平行四边形BEDF,DF//BE,因为BEC平面BCE,DF平平面BCE所以DF//平面BCE（2）解：建立如图空间直角坐标系,

则D则D(0,0,0),A(4,0,0),C(0,4,0),F(4,3,-3),沃"。T。:标二13-3：,俯，DC=4i;俯，DC=4i;=0 / 、由 ，令x=3,得而=13。4麻■UP=4工+3尸一%=0,易知平面ABF的一个法向量为万=i1。何所以而.F：>=,故。口19二一1二一表【解析】【分析】(1)根据线面垂直的性质定理，可得DE//BF,然后根据勾股定理计算可得BF=DE,最后利用线面平行的判定定理，可得结果.(2)利用建系的方法，可得平面ABF的一个法向量为，平面CDF的法向量为，然后利用向量的夹角公式以及平方关系，可得结果..【答案】解：(I)设点力在平面一4万「上的射影为点E,连接3E,则_平面因为5CC平面一，，四边形是矩形， AB-四边形是矩形， AB- 3「—平面d39, BC_AD又.W_C。，匚行平平面BCR平面中也所以d□一平面BCl)平面HFO一平面BCI>

（口）以点5为原点，线段3「所在的直线为轴，线段所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示.设 ■，则一隹二X，设 ■，则一隹二X， 230），口「。。）BE=AB-，设平面门的一个法向量为而二匚I；二）不妨取二二1，则：'=M，,Y=，, 7：=i.术M]故二面角。-JC-君的余弦值为■【解析】【分析】（工）设点门在平面一43「上的射影为点E,连接DE,推导出DE—BC一"―班,从而—平面HFO,进而me_AD,H3一平面由此能证明平面453一平面石「□.（口）以点B为原点，线段营「所在的直线为x轴，线段所在的直线为轴,建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角D- -3的余弦值..【答案】（1）证明：连接OM,

在△ABC中，AB=BC=2,AC=2在，/.ZABC=90°,B0=用，OB±AC在△MAC中，:MA=MC=AC=2向，。为AC的中点,OM±AC,且0M=而在^MOB中，:BO=J2,OM=芯,MB=2J2，BO2+OM2=MB2,OB±OM,/ACnOM=O,ACU平面AMC,OMU平面AMC,OB_L平面AMC(2)解：由(1)知OB,OC,0M两两垂直，以点。为坐标原点，分别以OB,OC,0M所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz,如图。MA=MB=MC=AC=2石，AB=BC=2,A(0,B(,0,0),M(0,0,亚),C(0,^2,0)A(0,B(,0,0),M(0,0,,•*BN=与逑，，N(£，0).・ ,。),」］广(。,收‘后),。)设平面MAN的法向量为n=(x,y,z),产力丁,臼-区*)=丁,+二y=o则 - / 匕Jn=h后iCw)=立了+J?z=0令V=栏,则Z=-1,x=-5收,得n=(-5亚,0,；)BO_L平面AMC,55=（ ，0，0）为平面AMC的-一个法向量，・•.n=（-5,,,, M，-1）与云=（，0，0）所成角的余弦值_> 一可6—5^3cos<n,（词=~~;==.—面角N-AM-C的余弦值为二£【解析】【分析】（1）利用已知条件结合三棱锥的结构特征，再利用中点的性质结合线线垂直，从而利用线面垂直的判定定理证出线面垂直。（2）由（1）知OB，OC，OM两两垂直，以点O为坐标原点，分别以OB，OC，OM所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz，再利用已知条件结合空间向量的方法求出二面角V- -。的平面角的余弦值。14.【答案】（1）解：在图1中，BC=2AB，且E为AB的中点，■一花=一点,二14.【答案】（1）解：在图1中，BC=2AB，且E为AB的中点，■一花=一点,二UE芯=45：，同理上DE「二45.所以"EB二类.5E—CE又平面平平面BCE，平面H5工平平面BCE二，所以〔任―平面ABE，又CEL平面DCE所以平面平面DCE.（2）解：如图，以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为x轴，y轴建立空间直角坐标系，设.d1，则E修台贰机。。）口I。\E0）」向量E"=，设平面ADE的法向量为万二性；二；t+z=0一二二4,令，=0'曰由i 一.，得得平面ADE的一个法向量为万=i-L-11：又乏!二，设直线FA与平面ADE所成角为,■百向司在行则"币二〒F所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为限.3【解析】【分析】（1）证明平面ABE,平面dfE一平面DCE即得证；（2）以点E为坐标原点，EB,EC所在的直线分别为轴， 轴建立空间直角坐标系，设1，利用向量法求直线FA与平面ADE所成角的正弦值得解..【答案】（1）证明：在平行四边形f口中,£门—「门，则H5_50.在三棱锥d 中，因为一"匚,5口二或所以h3一平面跳一一。所以-冬—cn.又5口—CD, ，所以03—平面J33.因器:北置所翳及所晨,平面皿（2）解：由（1）知5E_平面因为3「（—平面A30,所以BE—EC,又5W_E。,所以工口即为二面角「一方E-少的平面角,即:皿6EC= .所以「门—一山,故：心乙DEC= ,又ED=1.所以aB=Cl）=^..在平行四边形,」凡ED二/ED0二9。，所以」DE万与」「为相似三角形，则需二等，故BD=（（?/,'：>0），解得灰二=、,6、,_制「故之一\漆而，解得"；=3所以Bl>=05匚=、过点门作 ，以。为坐标原点，M，方的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.则⑪m3出口回, , .设平面m3「的法向量为”=「，,：・二;■,,•历=自/+后孑=。则\^DC=^y=0令二=-和得=印口一旧.设直线5。与平面「所成角为,白_|《丽 6 ®史*C-丽飞熙-3即直线53与平面所成角为匠3【解析】【分析】（1）证明.卷_况。从而证明.朽_平面灰一一。进而得出「。,即可证CD_平面H3D最后证得5E一平面TDU（2）若ED=1,二面角「-2?E-D的平面角的正切值为出由（1）知5E一平面d因为〔_平面J。匚所以BE_EC,又5£_E。，所以看CEC即为二面角C-BE-Q的平面角，得：翅1£DEC二霁二、，"从而求出39/反BC=3,建立空间直角坐标系，求平面口口「的法向量为…工：・二;最后根据公式sine?=c；而底瓦），即得直线5D与平面口30所成角大小.【答案】（1）证明：设•=&，「蛇口」二芈港则① ，豆注尸工丁点E为棱的中点，，EB=\\2，•.E3-=E5-函，「•E5-BB-.••三棱柱.£?「一a笠厂的侧面d53a为平行四边形,••四边形3至为矩形，・•点F为棱31的中点，

二F无=.1/--,，r£-=AF--一正二二3加;三棱柱的底面UBC.是正三角形，E为H3的中点，二CE-A3;C£_F5,且平面d氏？『1,F5匚_平面d至5『L,且TS， 相交,•.C£—平面.建务上，:EFC平面d$3：.±,「.C，.•E「E5_=E,.・.£f_平面CE灵.⑵解：由（1）可知「E_平面dH邑土，•.C£一55;.3坊—平面dS,•・三棱柱d5C-a四「是正三棱柱，设dS的中点为M,则直线E5, ,EU两两垂直，分别以五?， ，画7的方向为X,y,z轴的正方向，以点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设E旧n白）,口。,辰3,Ft-日Q2, ,则言=「、口心出， ,百=1曰?■。刘.fj?"FC=0 也口工+45叩一建二0设平面CF5的一个法向量为k=[：，,■;二），则 ，贝u ，则于7^1=0 区2仆+0同尸+泣=0两工+后》一三=0pjljc+2=0铸•77^=0-两,e户二口，、出心+而研-度=0「向•，则不妨取=1,则；■=—\曰，则二二—2铸•77^=0-两,e户二口，、出心+而研-度=0「向•，则/工+后7-z=O[-@t+1=。令'.1=1,则；=。二="5所以亓=ll又因为该二面角为锐角，则二面角E-rF-8的平面角的大小为J.【解析】【分析】（1）利用已知条件结合中点的性质，再结合勾股定理证出线线垂直，即ES-S齐;三棱柱.£5匚-上手一的侧面d至员.L为平行四边形，「•四边形3至为矩形，•.•点F为棱3土的中点，所以利用勾股定理证出线线垂直，即EF-E5」;三棱柱的底面是正三角形，E为T5的中点，再利用正三角形三线合一证出线线垂直，即「E—dS，再利用线线垂直证出