SPSS-非线性回归模型表达式案例

广告费■用选择范围也）:选项◎工..广告费■用选择范围也）:选项◎工..SPSS一非线性回归（模型表达式）案例解析非线性回归过程是用来建立因变量与一组自变量之间的非线性关系，它不像线性模型那样有众多的假设条件，可以在自变量和因变量之间建立任何形式的模型非线性，能够通过变量转换成为线性模型一一称之为本质线性模型，转换后的模型，用线性回归的方式处理转换后的模型，有的非线性模型并不能够通过变量转换为线性模型，我们称之为:本质非线性模型还是以''销售量”和''广告费用”这个样本为例，进行研究，前面已经研究得出：''二次曲线模型”比''线性模型”能够更好的拟合''销售量随着广告费用的增加而呈现的趋势变化”，那么''二次曲线〃会不会是最佳模型呢？答案是否定的，因为''非线性模型〃能够更好的拟合''销售量随着广告费用的增加而呈现的变化趋势〃下面我们开始研究：第一步：非线性模型那么多，我们应该选择“哪一个模型呢？”1：绘制图形，根据图形的变化趋势结合自己的经验判断，选择合适的模型点击“图形〃一图表构建程序一进入如下所示界面：〈旧图表颈览使用实例数据引A的广告费用广告I份非趋势销售［销售1/CURVEFIT'MOD名CURVEFIT'MOD./CURVEFIT'MOD.§CURVEFIT'MOD.元素属性..元素属性..点击确定按钮，得到如下结果:12.00-非趋势哨售10.00-8.00-12.00-非趋势哨售10.00-8.00-6.001.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 7.00广告费用放眼望去，图形的变化趋势，其实是一条曲线，这条曲线更倾向于"S"型曲线，我们来验证一下，看“二次曲线”和“S曲线”相比，两者哪一个的拟合度更高！点击“分析一回归一曲线估计一一进入如下界面

在“模型”选项中，勾选”二次项“和"S”两个模型，点击确定，得到如下结果:二次模型汇总调整R方估计值的标准误.953',90S,900,570自变量为广告费用，根型汇总RR方调整R方恬计值的标准误,957,916,912,055自变量为广告费用6通过“二次”和“S”两个模型的对比，可以看出S模型的拟合度明显高于“二次”模型的拟合度(0.912>0.900)不过，几乎接近接着，我们采用S模型，得到如下所示的结果:模型汇总RR方调整R方佶计值的标准误.957.916.91Z,055自变量为广告费用■ANOVA平方和df均方FSig.回归.7161-了16;540,216.000残差,06622.,1003总计.78223自变量为广告费用，系数未标准化系数标准化系数t?Sig.B标准误Beta1f广告费用-.936.064-.957-15.499.000（常数）2.67.2：024111寥5.000因变量为In目F趋势销佬A结果分析：1：从ANOVA表中可以看出：总体误差=回归平方和+残差平方和（共计：0.782）F统计量为（240.216）显著性SIG为（0.000）由于0.000<0.01（所以具备显著性，方差齐性相等）2：从''系数”表中可以看出：在未标准化的情况下，系数为（-0.986）常数项为2.672所以S型曲线的表达式为：Y（销售量）=e7b0+b1/t）=eA（2.672-0.986/广告费用）当数据通过标准化处理后，常数项被剔除了，所以标准化的S型表达式为：丫（销售量）=e人（-0.957/广告费用）下面，我们直接采用“非线性”模型来进行操作第一步：确定“非线性模型”从绘图中可以看出：广告费用在1千万一一4千多万的时候，销售量增加的跨度较大，当广告费用超过“4千多万”的时候，增加幅度较小，在达到6千多万〃达到顶峰，之后呈现下降趋势。从图形可以看出：它符合Theasymptoticregressionmodel（渐近回归模型）表达式为：Y（销售量）=bl+b2*e/b3*（广告费用）当b1>0,b2<0,andb3<0,时，它符合效益递减规律，我们称之为：Mistcherlich'smodel第二步：确定各参数的初始值1：bl参数值的确定，从表达式可以看出：随着”广告费用''的增加，销售量也会增加，最后达到一个峰值，由于：b2<0,b3<0，随着广告费用的增加：b2*eAb3*（广告费用）会逐渐趋向于“0”而此时Y（销售量）将接近于bl值，从上图可以看出：Y（销售量）的最大值为12点多，接近13,所以，我们设定bl的初始值为132：b2参数值确定：当Y（销售量）最小时，此时应该广告费用最小，基本等于“0”，可以得出：b1+b2=Y（销售量）此时Y销售量最小，从图中可以看出：第一个值为6.7左右，接近7这个值，所以：b2=7-13=-63:b3参数值确定：可以用图中两个分离点的斜率来确定b3的值，例如取（x1=2.29,y1=8.71）和（x2=5.75,y2=12.74）通过公式y2-y1/x2-x1=1.16，（此处可以去整数估计值来算b3的值）确定参数初始值和参数范围的方法如下所示：1：通过图形确定参数的取值范围，然后在这个范围里选择初始值。2：根据非线性方程的数学特性进行某些变换后，再通过图形帮助判断初始值的范围。3：先使用固定的数代替某些参数，以此来确定其它参数的取值范围。4：通过变量转换，使用线性回归模型来估计参数的初始值第三步：建立模型表达式和选择损失函数点击“分析〃一回归一一非线性，进入如下所示界面:

他非线性回归— 因变量损失事约束理步非趋势销笔［销图］/广告费用广告上a非趋势销售:销售I©CURVEFIT'M0...»CURVEFIT'MO...份CURVEFIT'MO...eCURVEFIT'MO...©CURVEFIT'MO...©CURVEFIT'MO.../CURVEFIT'MO...分CURVEFIT'MO...©CURVEFIT'MO...》CURVEFIT'MO...I丁模型表达式的）:包E+叱EXP（t）『广告|；保存但选项（2u.1函数组-Z-□□f■7 ,30二B■TWEjB0V()7，：；g，□□□0asMH»_]全部茸术CDF与非中心CDF转换当前日期,时间日期运苴日期创建神取日期i: 参数四: 一]匕2(-6)b3(-1.16)函数和特殊变量（D：AbsArsinArtanCosExpLg1OLnLngammaModRndfU确定粘贴重置此取消帮助如上图中，点击参数，分别添加b1,b2,b3进入参数框内，在模型表达式中输入：bl+b2*Exp（b3*广告费用）（步骤为：选择“函数组”一算术一一Exp函数），将''销售量”变量拖入''因变量”框内''损失函数〃默认选项为''残差平方和〃如果有特需要求，可以自行定义点击''约束〃进入如下所示的界面：

曲非线性回归：季数约束。未约束乜》⑥定义参数约束。:参数史》:。未约束乜》⑥定义参数约束。:点击''继续”按钮，此时会弹出警告信息，提示用户是否接受建议，建议内容为：将采用序列二次编程进行参数估计，点击确定，接受建议即可参数的取值范围指在迭代过程中，将参数限制在有意义的范围区间内，提供两种对参数范围约束的方法：1：线性约束，在约束表达式里只有对参数的线性运算2：非线性约束，在约束表达式里，至少有一个参数与其它参数进行了乘，除运算，或者自身的幂运算在''保存〃选项中，勾选''预测值〃和''残差〃即可，点击继续点击''选项〃得到如下所示的界面：

此处的''估计方法”选择''序列二次编程”的方法，此方法主要利用的是双重迭代法进行求解，每一步迭代都建立一个二次规划算法，以此确定优化的方向，把估计参数不断的带入损失函数进行求值运算，直到满足指定的收敛条件为止点击继续，再点击''确定〃得到如下所示的结果：选代历史记录b送代豺残差平方和参数b1b2b3口W190.69413,000-6.000-1.6601.2：5,3.551州.530-6777.-1/3452.135,1741&.691-7..85S-.837%32.562'10754.-8.416.-.8164.115.46411.J526-15.0312.-1.0475.19.^2411,055-16.7.23.-.8636.10.7-311"2.029「17.4即-.8557.1S.525n.073-17.0&5.-.8408.17.07S位究鼠-12.019-.5939.16.S321"2：704「11.曲-.53210.16.02712700-11.S20f-.54411.16.79712.7-74-11.513-.52^312.16.78112.857^11,209-.50413.16.7781,2,394-11.271-.49714.16.7781-2-.902-11.278--.49715.16.77812,905^11,267-.49516.16.7781,2,904-11.260.-.49617.16.77812-.904-T1.2弭-.496导数是通过数字计算的，*主迭代数在小数左侧显示，,次迭代数在小数右恻显甘鲁17•迭代之后停止运行，已找到最优解，参数估计值参数怙计标准误95%置信区间下限上限b112,904,61011,63614.17Hb2-11.26S1.581-14.55677,979b3--.496:138-702-.209参数估讨值的相关性b1b2口3b11.000,693,946b2,693：1.000,071b3..946,6711.000ANOVA3源平方和df均方回归^740,519-3916,173残差6.77S21■.323未更正的总计,2755.29724已更正的总计74,52023因变量:非趋势销售日.R方=1-残差平方和）「t已更正的平方二串口9『上图结果分析：1：从''迭代历史记录”表中可以看出：迭代了17次后，迭代被终止，已经找到最优解此方法是不断地将''参数估计值”代入”损失函数''求解，而损失函数采用的是〃残差平方和''最小，在迭代17次后，残差平方和达到最小值，最小值为（6.778）此时找到最优解，迭代终止2：从参数估计值〃表中可以看出：b1=12.904（标准误为0.610，比较小，说明此估计值的置信度较高）b2=-11.268（标准误为：1.5881,有点大，说明此估计值的置信度不太高）b3=-0.496（标准误为：0.138,很小，说明此估计值的置信度很高）非线性模型表达式为：Y（销售量）=12.904-11.268*。人（-0.496*广告费用）3：从''参数估计值的相关性〃表中可以看出：b1和b3的相关性较强，b2和b1或b3的相关性都相对弱一些，其中b1和b