2005学年第一学期高三质量调研测试

#/8x-1I2x-x-1I2x-3、x19.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分.已知AABC三个顶点分别是A(3,0)、B(0,3)、C(cosa，sina),.若不等式[（1-^）n-a]lga<0对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是A.{a\a>1}.B.{a|0<a<2}.C.{a|0<a<2或a>1}. D.{a|0<a<3或a>1}.三.解答题（本大题满分 86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.（本题满分12分）已知复数2-i是实系数一元二次方程12+bx+c=0的一个根，向量m={bc}、n={8，t}，求实数九和t使得m二九n-.（本题满分12分）x>1，解不等式f(x)-1>0.x<13兀<a<——

2（1）若AC=BC，求角a的值;（2）若AC•BG^-1，求sina-cosa的值.20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.为了缓解交通压力彘省在两个城市之间特修一条专用铁路，用一列火车作为公共交通车.如果该列火车每次拖4节车厢，每日能来回16趟；如果每次拖7节车厢，则每日能来回10趟.火车每日每次拖挂车厢的节数是相同的，每日来回趟数y是每次拖挂车厢节数x的一次函数，每节车厢满载时能载客110人.（1）求出y关于x的函数关系式；(2)这列火车满载时每次应拖挂多少节车厢才能使每日营运人数最多?并求出每天最多的营运人数．21.(本满分16分)本题共有3个小题，第1、3小题满分各5分，第2小题满分6分.如果一个数列的各项都是实数，且从第二项开始，每一项与它前一项的平方差是相同的常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差.(1)设数列｛0｝是n公方差为P的等方差数列，求a和a(n>2,ngN)的关系式；(2)若数列｛a｝既是等n n-1 n方差数列，又是等差数列，证明该数列为常数列；(3)设数列｛a｝是首项为2，公方差n为2的等方差数列，若将a,a，a，，a这种顺1 2 3 10序的排列作为某种密码，求这种密码的个数.22.(本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.已知函数f(X)=log(X+1)，当点P(X，J)在y=f(X)的图像上移动时，1 0 02X-t+1点Q(-0-万 ，y)tGGR)在函数y=g(X)的图像上移动.20(1)若点P坐标为(，-1)，点Q也在y=f(X)的图像上，求t的值；(2)求函数y=g(X)的解读式；(3)当t>0时，试探求一个函数h(X)使得f(X)+g(X)+h(X)在限定定义域为[0，1)时有最小值而没有最大值．2005学年第一学期高三质量调研测试数学试卷参考答案及评分标准一．(第1至12题)每一题正确的得 4分，否则一律得零分．

1.-4.2.-1.3.x>2.4.(0，0).5.一.2.6.3.7.f(-3)>f(-k).8.80.9.16.10.二.11.[导，1)u(1,,3]1245.13．C．14．B． 1513．C．14．B． 15．A． 16．C．TOC\o"1-5"\h\z三.（第11至1 2口）.（本题满分12分）解：:2-i是实系数一元二次方程x2+bx+c=0的一个根，.・.2+i也是方程x2+bx+c=0的根 3 分・・.b二-[(2-i)+(2+i)]=-4,c=(2-i).(2+i)=5 7 分故根={b，c}={-4,5}由m=卜n得{-4, 5}二九{8, t} , 9 分.L=8 ,九.1 t_10 1。八・・5=Q，・・人--2，t~-10•…二 二 12分.(本题满分12分)解：(1)当x>1时，原不等式等价于Ix-11-1>0,即x>2或x<0……3分・・・x>2• 5分（2）当x<1时，原不等式等价于2x—3-1>0,即x>3或x<0 8分x・・・x<0• 10分 综上所述，不等式f（x）-1>0的解集为（一8，0）U[2,+8）. ……12分19.（本题满分14分）解：（1）・.・AABC三个顶点分别是A（3，0）、B（0，3）、C（cosa，sina），TOC\o"1-5"\h\z・,.AC={cosa-3,sina}，BC={cosa，sina-3} 2分/■由AC=BC得，«(cosa-3)2+sin2a=Jcos2a+(sina-3)2 4 分6分・・・a=7分即cos6分・・・a=7分n"^ -3k\o"CurrentDocument"—<a<——2 2

(2)由AC•BC二-1得，(cosa—3)cosa+sina(sina_3)=一1 9 分2即sina+：cosa=3, 10分45...(sina+cosa)2=1+2smacosa= , 2smacosa=— 11分又99一<a<一, ...sina>0,cosa<0 12225、 14 . .14(sina—cosa)2=1—2sinacosa=1—(__)= ...sina—cosa=_2__.99 314分k=4k+bk=4k+b10=7k+b，4分解：(1)依题意，设y=kx+b，则・・.y=—2x+24(0<x<12,xeN)为所求.未注明定义域，不扣分 ……6分(2)该列火车满载时每日的营运人数为w=xx2yx110=220x2x(12—x) 9分<220x[x+(12一x)]2=15840(当且仅当x=6时取等号) 12分(用二次函数求解的请相应给分)故这列火车满载时每次应拖挂6节车厢才能使每日营运人数最多，最多营运人数为15840人. 14分.(本满分16分)(1解：由等方差数列的定义可知：a2—a2=p(n>2,neN) 5分n n—12证法一：・・,｛a｝是等差数列，设公差为d，则a—a=a—a=dn n n—1 n+1n又｛a｝是等方差数列，Ja2—a2=a2—a2 7分n n n—1 n+1nJ(a+a)(a—a)=(a+a)(a—a)n n—1 n n—1n+1nn+1 n即d(a +a —a —a )=—2d2=0, 10分n n—1 n+1nJd=0,即｛a｝是常数列. 11分证法n二：V｛a｝是等差数列，设公差为d，则a—a=d……On nn—1又｛a｝是等方差数列，设公方差为P，则a2—a2=P……0 7分。代TOC\o"1-5"\h\zn n n-1入O得，d2+2da-p=0 O同理有，d2+2da—p=0 On n-1两式相减得：即2d(a—a)=2d2=0, 10分nn-1・•・d=0，即｛a｝是常数列. 11分n证法三：(接证法二O、O)由O、O得出：若d=0，则｛a｝是常数列 8分n若d丰0，则a=d+1是常数,・•.d=0，矛盾 10分n22d・•・｛a｝是常数列. 11分3依题意，na2—a2=2(n>2,ngN),TOC\o"1-5"\h\zn n—1a2=4, a2=4+2(n-1)=2n+2 a=22nn+2 ,或1 n na=:；2n+2, 13分 即该密码的第一个数确定的n方法数是1，其余每个数都有“正”或“负”两种确定方法，当每个数确定下来时，密码就确定了，即确定密码的方法数是29=512种，TOC\o"1-5"\h\z故，这种密码共512种. 16分22.(本题满分18分)1t+1解：(1)当点P坐标为(，—1)，点Q的坐标为(1-2—，—1), 2分•・•点Q也在y=f(x)的图像上，・•.-1=log(1—t+1)，即t=0.……5分1 22(根据函数 y=f(x)的单调性求得t=0，请相应给分叫2)设Q(x，y)在y=g(x)的图像上则；x=x02+1，即j0=2x+t—1 8分b=y0 y0=y而P(x，y)在y=f(x)的图像上，，y=log(x+1)0 0 0 102代入得，y=g(x)=log(2x+1)为所求. 11分12

1 "^5"x15分如：当(3)h(x)=log2^x；或h(x)=lQg72--15分如：当I2x十t i2x十th(X)=lOgi2时f(x)十g(x)十h(x)=log(x十1)十log(2x十t)十logMx=log(1-x2)I i 12x十t i22 2 2•・T-x2在［0,1)单调递减，0<1-x2<1故log_(1-x2)>0,即f(xf(x)十g(x升h(x有最小值0但没有最大值．18分(其他答案请相应给分)(参考思路)在探求h(x)时，要考虑以下因素：①h(x)在［0，1)上必须有意义(否则不1能参加与f(x)十g(x)的和运算)；②由于f(x)和g(x)都是以2为底的对数，所以构造1的函数h(x)可以是以2为底的对数，这样与f(x)和g(x)进行的运算转化为真数的乘积1运算；③以2