辽宁省六校协作体2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题及参考答案

—2023学年度（下）六校协作体三月联考数学试题考试时间：120分钟 满分150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．二项式的展开式中的常数项是（）A．－15 B．15 C．20 D．－202．某市2015年至2019年新能源汽车年销量y（单位：百台）与年份代号x的数据如下表：若根据表中的数据用最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为，则表中m的值为（）年份20152016201720182019年份代号x01234年销量y101520m35A．25.5 B．28.5 C．30 D．32.53．已知等差数列的前n项和为，若，则（）A．3 B．4 C．5 D．64．某学校调查学生对2022年卡塔尔世界杯的关注是否与性别有关，随机抽样调查了110名学生，进行独立性检验，列联表及临界值表如下：男生女生合计关注50不关注20合计301100.150.10.050.0250.012.0722.0763.8415.0246.635附：，其中．则下列说法中正确的是（）A．有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关B．男生不关注卡塔尔世界杯的比例低于女生关注卡塔尔世界杯的比例C．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别有关D．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关5．在正项等比数列中，公比为，且－6，，14成等差数列，则（）A．2 B．－2 C．4 D．－46．某学习小组共12人，其中有5名是“三好学生”，现从该小组中任选5人参加竞赛，用表示这5人中“三好学生”的人数，则下列概率中等于的是（）A． B． C． D．7．已知数列满足，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．8．已知，是双曲线的左、右焦点，是C上一点，若C的离心率为，连结交C于点B，则（）A．C的方程为 B．C．的周长为 D．的内切圆半径为二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，计20分．在每小题给出的选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，有选错的得零分，部分选对得2分．9．随机变量且，随机变量，若，则（）A． B． C． D．10．现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是（）A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为D．每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是11．甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以，，表示由甲袋取出的球是红球，白球，黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是（）A． B． C． D．12．如图，长方体中，，，点P是底面ABCD所在平面内的动点，点R是线段的中点，点Q是直线上的动点，下列结论正确的有（）A．△QBD的面积的最小值是B．四面体的体积为定值C．若与所成角为，则动点P的轨迹是抛物线D．若点P在直线BD上，则PR与平面所成角的最大值为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，计20分．13．已知，，BE⊥平面BCD，则AB与平面BCD所成角为______．14．已知数列的前n项和为，且不是常数列，则以下命题正确的是______．①若数列为等差数列，则为等比数列；②若数列为等差数列，恒成立，则是严格增数列；③若数列为等比数列，则为等差数列；④若数列为等差数列，，，则的最大值在n为8或9时取到．15．为了防止受到核污染的产品影响我国民众的身体健康，要求产品在进入市场前必须进行两轮核辐射检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售．已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互没有影响．若产品可以销售，则每件产品获利40元；若产品不能销售，则每件产品亏损80元．已知一箱中有4件产品，记一箱产品获利X元，则______．16．过抛物线的焦点F作直线PQ，MN分别与抛物线C交于P，Q和M，N，若直线PQ，MN的斜率分别为，，且满足，则的最小值为______．四、解答题：本题共6小题，计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分10分）已知圆，直线．（1）判断并证明直线与圆C的位置关系；（2）设直线与圆C交于A，B两点，若点A，B分圆周得两段弧长之比为1：2，求直线的方程．18．（本题满分12分）某校组织1000名学生进行科学探索知识竞赛，成绩分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图．若图中未知的数据a，b，c成等差数列，成绩落在区间[60，70）内的人数为400．（1）求出直方图中a，b，c的值；（2）估计中位数（精确到0.1）和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（3）若用频率估计概率，设从这1000人中抽取的6人，得分在区间[90，100]内的学生人数为X，求X的数学期望．19．（本题满分12分）已知数列的前n项和为，，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，求数列的前n项和．20．（本题满分12分）2020年，是人类首次成功从北坡登顶珠峰60周年，也是中国首次精确测定并公布珠峰高程的45周年．华为帮助中国移动开通珠峰峰顶5G，有助于测量信号的实时开通，为珠峰高程测量提供通信保障，也验证了超高海拔地区5G信号覆盖的可能性，在持续高风速下5G信号的稳定性，在条件恶劣地区通过简易设备传输视频信号的可能性．正如任总在一次采访中所说：“华为公司价值体系的理想是为人类服务．”有人曾问，在珠峰开通5G的意义在哪里？“我认为它是科学技术的一次珠峰登顶，告诉全世界，华为5G、中国5G的底气来自哪里．现在，5G的到来给人们的生活带来更加颠覆性的变革，某IT公司基于领先技术的支持，5G经济收入在短期内逐月攀升，该IT公司在1月份至6月份的5G经济收入y（单位：百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．月份x123456收入y（百万元）6.68.616.121.633.041.0（1）根据散点图判断，与（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程，并预测该公司7月份的5G经济收入．（结果保留小数点后两位）（3）从前6个月的收入中抽取2个，记收入超过20百万元的个数为X，求X的分布列和数学期望．参考数据：3.5021.152.8517.70125.356.734.5714.30其中，设，．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．21．（本题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，平面底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC（不与端点重合）上的点，，，．（1）求证：平面平面PQB；（2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°？22．（本题满分12分）椭圆的焦点分别为，，A为椭圆C上一点，的面积最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）若B、D分别为椭圆C的上、下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆C于P、Q，（P在上方，Q在下方，且均不与B，D点重合）两点，直线PB，QD的斜率分别为，，且，求面积的最大值．2022—2023学年度（下）六校协作体三月联考数学试题参考答案一、单项选择题1--5BCACA6--8BAD二、多项选择题9、ACD10、AD11、AC12、ABD三、填空题13、14、①②④15、16、四、解答题17.（1）因为直线的方程为，所以，由得，，所以直线恒过定点，………2分因为，所以点在圆内，故直线与圆相交；………5分（2）因为圆的方程为，所以点的坐标为，半径为2，因为点A、B分圆周得两段弧长之比为1：2，故,所以，故圆心到直线的距离，直线斜率不存在时，直线的方程为，因为点到直线的距离为1，所以直线满足条件，即直线的方程可能为，当直线斜率存在时，设直线方程为，则圆心到直线的距离，解得，所以直线的方程为，故直线的方程为或.………10分18.（1）依题意可得：，又a，b，c成等差数列，所以且，解得：所以.………4分（2）因为，设中位数为，则，所以，解得：，即中位数约为，平均数为.………6分（3）由题意可知：得分在区间内概率为，根据条件可知：的所有可能值为，且，所以.………12分19.（1）∵，∴，则，所以为等比数列，又，得，所以，………2分由知是等差数列，且，，∴，得，．∴.………………6分（2）因为，，所以，所以则上面两式作差得…………9分，∴………12分20.（1）根据散点图判断，更适宜作为5G经济收入y关于月份x的回归方程类型；………2分（2）因为，所以两边同时取常用对数，得，设，所以，因为，所以所以.所以，即，所以.令，得，故预测该公司7月份的5G经济收入大约为65.35百万元.…………………6分（3）前6个月的收入中，收入超过20百万元的有3个，所以X的取值为0，1，2，所以X的分布列为：012P所以.………12分21.（1）∵ADBC，Q为AD的中点，BC=AD，∴BCQD，BC=QD，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴BQCD.∵∠ADC=90°，∴BC⊥BQ.∵PA=PD，AQ=QD，∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q，∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB.………………6分（2）由（1）可知PQ⊥平面ABCD.如图，以Q为原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则Q(0，0，0)，D(-1，0，0)，P(0，0，)，B(0，，0)，C(-1，，0)，∴=(0，，0)，=(0，，0)，=(1，0，)，=(-1，，-)，PC=.设=λ，则=(-λ，λ，-λ)，且0<λ<1，得M(-λ，λ，λ)，∴=(-λ，λ，(1-λ)).设平面MBQ的法向量为=(x，y，z)，则，即令x=，则y=0，z=，∴平面MBQ的一个法向量为=，0，.设平面PDC的法向量为=(x'，y'，z')，则，即令x'=3，则y'=0，z'=-，∴平