工学空间力系

工学空间力系第1页/共94页第四章空间力系第2页/共94页空间力系实例1---车床主轴第三章空间力系第3页/共94页空间力系实例2---高压输电线塔第4章空间力系第4页/共94页空间力系实例3---发动机曲轴第4章空间力系第5页/共94页空间力系：若作用于物体的力系中各力的作用线不在同一平面内，此力系称为空间力系。空间力系空间汇交力系空间力偶系空间平行力系空间任意力系第4章空间力系第6页/共94页§3–1空间汇交力系空间汇交力系：当空间力系中各力的作用线汇交于一点时，称其为空间汇交力系。第7页/共94页思考：平面汇交力系合成的力多边形法则对空间汇交力系是否适用？对空间多个汇交力是否好用？用解析法空间汇交力系第8页/共94页一、力在直角坐标轴上的投影

1．一次投影法（直接投影法）已知：空间力及其与三个轴的夹角空间汇交力系第9页/共94页

2.二次投影法（间接投影法）第一次投影：第二次投影：一、力在直角坐标轴上的投影已知：空间力F、力与z轴的夹角及力在xoy平面上的投影与x轴的夹角空间汇交力系第10页/共94页

圆柱斜齿轮，受啮合力F的作用。已知斜齿轮的齿倾角（螺旋角）β和压力角α，求力F

在x、y、z轴上的投影。例3-1空间汇交力系第11页/共94页解：根据已知条件，采用二次投影法。（1）将力F向z轴和Oxy平面投影，得（2）将力F向x、y轴投影，得例3-1空间汇交力系第12页/共94页二、空间汇交力系的合成与平衡1．空间汇交力系的合成a.几何法

空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过力系的汇交点。b.解析法求合力由合力投影定理，有空间汇交力系第13页/共94页所以，合力的大小为：二、空间汇交力系的合成与平衡1．空间汇交力系的合成合力的方向为：空间汇交力系第14页/共94页2．空间汇交力系的平衡空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的合力等于零。空间汇交力系平衡的解析条件是：力系中所有各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。二、空间汇交力系的合成与平衡空间汇交力系的平衡方程三个独立的平衡方程，可以求解三个未知量。空间汇交力系第15页/共94页例3-3已知：物重P=10kN，CE=EB=DE；求：杆受力及绳拉力解：1、取B点为研究对象

2、受力分析

3、列平衡方程空间汇交力系第16页/共94页1.回顾力对点的矩力F对点O的矩MO(F)，大小为：

|MO(F)|=Fh

nhrFOABzxyMO(F)§3–2力对点的矩和力对轴的矩2.空间中力矩作用面不同，把力对点的矩仍作为代数量不能全面反映物体实际的转动效果。3.为了反映转动效应的方位，为对点的矩必须用矢量表示。力对点的矩矢等于矩心到力的作用点的矢径与该力的的矢量积。第17页/共94页一、力对点的矩以矢量表示——力矩矢1．力矩矢的概念具有大小、转向和方位三个要素的力对点之矩用矢量来描述，称为力矩矢，用MO（F）表示。2．力矩矢的描述力矩矢通过矩心O，垂直于力矩作用面。方向按右手法则确定。其大小即矢量的模。转向为力绕矩心转动的方向。力对点的矩和力对轴的矩第18页/共94页3．力矩矢的表达式

力对点的矩和力对轴的矩|r×F|=F·rsinα=F·h方向与力矩矢的方位相同

结论：力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。一、力对点的矩以矢量表示（3）作用面：力矩作用面（2）方向：转动方向(1）大小：力F与力臂的乘积力矩矢与o点的选择有关!定位矢量第19页/共94页∵代入可得

力对点的矩和力对轴的矩4．力矩矢的解析表达式一、力对点的矩以矢量表示第20页/共94页力矩矢在三个坐标轴上的投影

力对点的矩和力对轴的矩4．力矩矢的解析表达式一、力对点的矩以矢量表示第21页/共94页二、力对轴的矩

力对点的矩和力对轴的矩

力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该轴的矩为零.第22页/共94页

力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量；1．力对轴的矩的定义OzFFxyFzABhFxyFxyFzFxyFxyFzFxy

力对点的矩和力对轴的矩二、力对轴的矩其大小等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩；其正负号由右手法则给定：以右手四指表示力使物体绕轴转动的方向，若拇指的指向与轴的正向相同则取正号，反之取负号。

第23页/共94页①

力与轴平行(Fxy=0)；力对轴之矩等于零的情况

②力与轴相交(h=0)总之：只要力与轴在同一平面内,力对轴之矩等于零。1．力对轴的矩的定义二、力对轴的矩

力对点的矩和力对轴的矩力对轴之矩的单位为N•m。第24页/共94页yxOzFxyXYZFA(x,y,z)力作用点A的坐标为x，y，z;A(x,y,z)A(x,y,z)根据定义及合力矩定理：Mz(F)=M

O(Fxy)=MO(Fx

)+MO(Fy)=x

Fy－yFxXYZFxFyFz２.力对轴的矩的解析表达式yx力对轴之矩的解析表达式Fxy二、力对轴的矩

力对点的矩和力对轴的矩第25页/共94页

力对点的矩和力对轴的矩

合力矩定理：合力对某轴的矩等于各个分力对该轴的矩的代数和。３.合力矩定理的推广二、力对轴的矩小结：求力对轴的矩的三种方法定义法用合力矩定理用解析表达式第26页/共94页已知：手柄ABCE在平面xAy内，在D处作用一个力F，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为θ。若CD=a，BC∥x轴，CE∥y轴，AB=BC=l。求力F对x、y和z三轴的矩。

力对点的矩和力对轴的矩解法１：根据力对轴之矩的定义计算。例3-４第27页/共94页

力对点的矩和力对轴的矩例3-４解法2：

将力F沿坐标轴分解为Fx和Fz。根据合力矩定理的推广式计算。第28页/共94页

力对点的矩和力对轴的矩例3-４解法3：力在x、y、z轴的投影为：根据力对轴之矩的解析表达式计算。力F作用点D的坐标为：第29页/共94页三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系力对点之矩在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴之矩。

力对点的矩和力对轴的矩力矩矢的投影

力对轴的矩的解析表达式第30页/共94页如果力对通过O点的直角坐标轴x、y、z

的矩是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为：

力对点的矩和力对轴的矩三、力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系第31页/共94页§3–3空间力偶一、力偶矩以矢量表示---力偶矩矢空间力偶的三要素：大小、转向、作用面的方位用力偶矩矢来度量，用M表示。第32页/共94页

空间力偶

1．力偶矩矢三要素的确定a.大小：力与力偶臂的乘积b.转向：力偶的转动方向；c.作用面的方位：力偶作用面的法线方向。右手法则判断。一、力偶矩矢第33页/共94页空间力偶

2．力偶矩矢的性质一、力偶矩矢力偶对任意点取矩都等于力偶矩，不因矩心的改变而改变。力偶中两力在任意坐标轴上投影的代数和为零。力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡。第34页/共94页只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力偶臂的长短，对刚体的作用效果不变。===

2．力偶矩矢的性质一、力偶矩矢空间力偶第35页/共94页只要保持力偶矩不变，力偶可从其所在平面移至另一与此平面平行的任一平面，对刚体的作用效果不变。====

2．力偶矩矢的性质一、力偶矩矢空间力偶第36页/共94页定位矢量力偶矩矢是自由矢量自由矢量滑移矢量空间力偶二、空间力偶等效定理空间力偶等效定理：作用在同一刚体上的两个空间力偶，如果其力偶矩矢相等，则它们彼此等效。第37页/共94页

空间力偶三．空间力偶系的合成与平衡条件1．空间力偶系的合成==空间力偶系可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。第38页/共94页

空间力偶三．空间力偶系的合成与平衡条件1．空间力偶系的合成合力偶矩矢在x、y、z轴的投影等于各分力偶矩矢在相应轴上投影的代数和。合力偶矩矢的大小和方向余弦第39页/共94页

空间力偶

空间力偶系平衡的充要条件是：力偶系中所有各力偶矩矢的矢量和等于零。

空间力偶系的平衡方程

空间力偶系平衡的解析条件：该力偶系中所有各力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。

三．空间力偶系的合成与平衡条件2．空间力偶系的平衡第40页/共94页已知：在工件四个面上同时钻5个孔，每个孔所受切削力偶矩均为80N·m。求：工件所受合力偶矩在轴上的投影解：把力偶用力偶矩矢表示，平行移到点A

。

空间力偶例3-5第41页/共94页求:轴承A，B处的约束力。例3-6已知：两圆盘半径均为200mm，AB=800mm，圆盘面O1垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力偶，F1=3N，F2=5N，构件自重不计。解：1.取整体为研究对象

空间力偶2.受力分析3.列平衡方程第42页/共94页§3–4空间任意力系向一点简化主矢和主矩1、空间任意力系向一点的简化及主矢和主矩主矢：空间汇交力系的合力主矩：空间力偶系的合力偶矩第43页/共94页空间任意力系向一点简化主矢和主矩结论：空间任意力系向一点简化，一般可得一力和一力偶。该力作用于简化中心，等于力系中各力的矢量和，称为力系的主矢；该力偶的力偶矩矢等于力系中各力对简化中心的矩矢的矢量和，称为力系的主矩。a.主矢的计算b.主矩的计算第44页/共94页空间任意力系向一点简化主矢和主矩2、空间任意力系的简化结果分析四种情况：1）FR’=0，MO=0，力系平衡；2）FR’=0，MO≠0，力系合成为一合力偶；3）FR’≠0，MO=0，力系可合成为一合力；4）FR’≠0，MO≠0，有三种可能：a．FR’⊥MO，力系可进一步合成为一合力；第45页/共94页合力矩定理R=∑Fi

，d=|MO|/R∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R对O点的矩，即

MO

=MO(R)，而又有MO=∑MO(F)∴得关系式 MO(R)=∑MO(F)即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于各分力对同一点的矩的矢量和。将上式向任意轴投影（如z

轴）得：

Mz(R)=∑M

z(F

)OdOdOMOR’R’RR”RMOMOMO第46页/共94页空间任意力系向一点简化主矢和主矩b．FR’∥MO，力系合成为力螺旋；力螺旋：由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶的作用面。力螺旋是由静力学的两个基本要素力和力偶组成的最简单的力系，不能再进一步合成。符合右手螺旋法则的称为右螺旋，符合左手螺旋法则的称为左螺旋。力螺旋的力作用线称为该力螺旋的中心轴。第47页/共94页c．FR’和MO成任意角α，进一步合成为力螺旋。空间任意力系向一点简化主矢和主矩一般情形下空间任意力系可合成为力螺旋。第48页/共94页§3–5空间任意力系的平衡一、空间任意力系的平衡条件与平衡方程空间任意力系平衡的充要条件：该力系的主矢和对于任一点的主矩分别为零。空间任意力系平衡的解析条件：所有各力在三个坐标轴上投影的代数和分别等零，这些力对于三个坐标轴之矩的代数和也分别等于零。空间任意力系的平衡方程第49页/共94页空间任意力系的平衡方程空间平行力系的平衡方程：一、空间任意力系的平衡条件与平衡方程第50页/共94页力系类型平衡方程个数备注平面力系共线力系力偶系平行力系汇交力系任意力系空间力系汇交力系力偶系平行力系任意力系

空间任意力系的平衡方程附：各种力系平衡方程一览表一、平衡条件与平衡方程第51页/共94页力系类型平衡方程个数备注平面力系共线力系1平行力系的特殊情况力偶系1平行力系2汇交力系2任意力系3空间力系汇交力系3力偶系3平行力系3任意力系6空间任意力系的平衡方程附：各种力系平衡方程一览表一、平衡条件与平衡方程第52页/共94页二、空间约束的类型举例空间任意力系的平衡方程

空间结构的约束类型，其约束力的未知量可能有1个到6个。

物体在空间有6个独立位移。约束力的个数：被约束物体有几个位移被阻碍，就有几个约束力。

阻碍移动的是约束力；阻碍转动的是约束力偶。

第53页/共94页约束反力未知量约束类型AFAAFAzFAyA径向轴承圆柱铰链铁轨蝶铰链空间任意力系的平衡方程二、空间约束的类型举例第54页/共94页约束反力未知量约束类型AFAyFAxFAzAFAyFAxFAzMAyMAzFAyFAzAMAy球形铰链止推轴承导向轴承万向接头空间任意力系的平衡方程二、空间约束的类型举例第55页/共94页1-套筒2-十字轴3-传动轴叉4-卡环5-轴承外圈6-套筒叉5.5空间任意力系的平衡第56页/共94页约束反力未知量约束类型AFAyFAxFAzMAyMAzMAxAFAyFAxFAzMAzMAxFAyFAzMAzMAxAMAy带有销子的夹板导轨空间的固定端支座空间任意力系的平衡方程二、空间约束的类型举例第57页/共94页三、空间力系平衡举例1）确定研究对象，做受力图；2）选取适当的坐标系；3）列写平衡方程，求解未知量。空间任意力系的平衡方程求解空间平衡问题的步骤：第58页/共94页例3-7已知：P=8kN,各尺寸如图求：A、B、C

处约束力解：1.研究对象：小车3.列平衡方程空间任意力系的平衡方程2.受力分析第59页/共94页例3-8已知：求：及A、B处约束力解：1.研究对象：曲轴空间任意力系的平衡方程2.受力分析第60页/共94页空间任意力系的平衡方程3.列平衡方程例3-8第61页/共94页空间任意力系的平衡方程例3-8第62页/共94页空间任意力系的平衡方程例3-8第63页/共94页空间任意力系的平衡方程第64页/共94页例3-9已知：各尺寸如图求：（2）A、B处约束力（3）O处约束力(1)空间任意力系的平衡方程第65页/共94页解：研究对象1：主轴及工件，受力分析例3-9第66页/共94页又：研究对象2：工件，受力分析列平衡方程空间任意力系的平衡方程例3-9第67页/共94页空间任意力系的平衡方程例3-9第68页/共94页例3-10已知：F、P及各尺寸。求：杆内力解：研究对象，长方板列平衡方程空间任意力系的平衡方程第69页/共94页如图所示均质矩形平板，其重力W=800N，用三条绳索悬挂在水平位置，一绳系在一边的中点A处，另两绳分别系在其对边距各端点均为边长四分之一的B、C点上。求各绳所受的拉力。空间任意力系的平衡第70页/共94页空间任意力系的平衡解：（1）确定研究对象，画受力图

以平板为研究对象，画受力图如图所示。（2）建立坐标系

以点C为坐标原点，建立坐标系Cxyz如图。（3）列平衡方程，求解未知数解得：

第71页/共94页（2）列平衡方程，求解未知数

传动轴AB上装有斜齿轮C和带轮D,如图所示。斜齿轮的节圆半径r=60mm，压力角α=20°，螺旋角β=15°；带轮的半径R=100mm，胶带拉力F1=2F2=1300N，胶带的紧边为水平，松边与水平线夹角θ=30°；两轮各与向心轴承A及向心推力轴承B相距a=b=100mm，c=150mm。设轴在带轮带动下作匀速转动，不计轮轴的重量。求斜齿轮所受的圆周力Ft及轴承A、B的约束力。空间任意力系的平衡第72页/共94页空间任意力系的平衡解：（1）取传动轴为研究对象，画受力图（2）选坐标系Axyz如图所示（3）列平衡方程，求解未知数第73页/共94页空间任意力系的平衡（1）（2）（3）（4）（5）（6）第74页/共94页由式（5）求得斜齿轮的圆周力空间任意力系的平衡根据斜齿轮中圆周力Ft、径向力Fr和轴向力Fa之间的关系，可得再由式（6）、（2）及（4）求得最后由式（1）和（3）得第75页/共94页第76页/共94页重力作用于物体内每一微小部分，是一个分布力系，可足够精确地视为空间平行力系。一般所谓重力，就是空间平行力系地合力。§3–6重心一、重心的概念重心：物体所受重力合力的作用点。可以证明不变形的物体（刚体）在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线都通过此物体上的一个确定的点，这一点就是物体的重心。重心可能在物体上，也可以在物体外，不会随物体在空间位置的改变而改变。重心位置：相对物体是一个确定点。第77页/共94页平行力系中心：平行力系合力通过的一个点。§3–6重心一、平行力系中心第78页/共94页

重心二、重心坐标的计算公式根据合力矩定理，对x轴取矩，有如果将物体分割为许多小体积（可以是有限的，也可以是无限的），每个小块体积为△Vi，所受重力为Pi，则整个物体的重量为:取空间直角坐标系对y轴取矩,有第79页/共94页

重心二、重心坐标的计算公式对x轴取矩，有为了求坐标zC，将物体连同直角坐标系Oxyz

一起绕

x轴逆时针旋转90°重力的方向并无改变重心的坐标公式第80页/共94页

重心对于均质物体（体积的重心）均质物体的重心位置完全决定于物体的几何形状，而与物体的重量无关。这时物体的重心就是物体几何形状的中心--形心。二、重心坐标的计算公式上式的极限为

对于均质薄板（面积的重心）第81页/共94页重心三、确定物体重心的方法1．简单形体的重心－查表法第82页/共94页重心三、确定物体重心的方法

２．组合形体的重心－组合法将组合形体分割成几个简单的形体，这些简单形体的重心一般都是已知的或易求的，然后应用相应的公式求组合形体的重心。当物体具有对称轴、对称面或对称中心时，它的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。a.分割法将复杂形状的物体看成为几个简单形状物体的相加，此种求重心的方法称为分割法。组合法分割法负面积（体积）法第83页/共94页