广东省惠州市惠东县燕岭学校2023年数学高一下期末经典试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．湖南卫视《爸爸去哪儿》节目组为热心观众给予奖励，要从2014名小观众中抽取50名幸运小观众．先用简单随机抽样从2014人中剔除14人，剩下的2000人再按系统抽样方法抽取50人，则在2014人中，每个人被抽取的可能性()A．均不相等 B．不全相等C．都相等，且为 D．都相等，且为2．已知等差数列中，，.若公差为某一自然数,则n的所有可能取值为()A．3,23,69 B．4,24,70 C．4,23,70 D．3,24,703．若关于x，y的方程组无解，则（）A． B． C．2 D．4．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（）A． B． C． D．5．若是的重心，，，分别是角的对边，若，则角（）A． B． C． D．6．在等差数列an中，a1+a2A．2n B．2n+1 C．2n-1 D．2n+27．已知，且，则（）A． B． C． D．8．若点，关于直线l对称，则l的方程为（）A． B．C． D．9．函数是().A．周期为的偶函数 B．周期为的奇函数C．周期为的偶函数 D．周期为奇函数10．已知数列是首项为，公差为的等差数列，若，则（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若，，则___________.12．在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为__________.13．若直线与圆相切，则________.14．已知,，与的夹角为钝角，则的取值范围是_____;15．方程的解集是___________16．若三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，则的取值范围为______.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数（1）求函数的定义域：（2）求函数的单调递减区间：（3）求函数了在区间上的最大值和最小值.18．已知公差不为零的等差数列{an}和等比数列{bn}满足：a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；（2）令cn＝an•bn，求数列{cn}的前n项和Sn．19．已知三棱柱（如图所示），底面为边长为2的正三角形，侧棱底面，，为的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面；（3）求三棱锥的体积.20．已知数列满足，令（1）求证数列为等比数列，并求通项公式；（2）求数列的前n项和.21．如图，在三棱锥中，，分别为，的中点，且.（1）证明：平面；（2）若平面平面，证明：.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由题意可得，先用简单随机抽样的方法从2014人中剔除14人，则剩下的再分组，按系统抽样抽取.在剔除过程中，每个个体被剔除的机会相等，所以每个个体被抽到的机会相等，均为故选C2、B【解析】试题分析：由等差数列的通项公式得，公差，所以，可能为，的所有可能取值为选.考点：1.等差数列及其通项公式；2.数的整除性.3、A【解析】

由题可知直线与平行,再根据平行公式求解即可.【详解】由题,直线与平行,故.故选：A【点睛】本题主要考查了二元一次方程组与直线间的位置关系,属于基础题.4、D【解析】

以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，则cosθ＝＝＝,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．故选D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.5、D【解析】试题分析：由于是的重心，，，代入得，整理得，，因此，故答案为D.考点：1、平面向量基本定理；2、余弦定理的应用.6、C【解析】

直接利用等差数列公式解方程组得到答案.【详解】aaa1故答案选C【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，属于基础题型.7、D【解析】

首先根据，求得，结合角的范围，利用平方关系，求得，利用题的条件，求得，之后将角进行配凑，使得，利用正弦的和角公式求得结果.【详解】因为，所以，因为，所以.因为，，所以，所以，故选D.【点睛】该题考查的是有关三角函数化简求值问题，涉及到的知识点有同角三角函数关系式，正弦函数的和角公式，在解题的过程中，注意时刻关注角的范围.8、A【解析】

根据A，B关于直线l对称，直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，可得l的方程.【详解】由题意可知AB中点坐标是，，因为A，B关于直线l对称，所以直线l经过AB中点且直线l和AB垂直，所以直线l的斜率为，所以直线l的方程为，即，故选：A.【点睛】本题考查直线位置关系的应用，垂直关系利用斜率之积为求解，属于简单题.9、B【解析】因，故是奇函数，且最小正周期是，即，应选答案B．点睛：解答本题时充分运用题设条件，先借助二倍角的余弦公式的变形，将函数的形式进行化简，然后再验证函数的奇偶性与周期性，从而获得问题的答案．10、C【解析】

本题首先可根据首项为以及公差为求出数列的通项公式，然后根据以及数列的通项公式即可求出答案．【详解】因为数列为首项，公差的等差数列，所以，因为所以，，故选C．【点睛】本题考查如何判断实数为数列中的哪一项，主要考查等差数列的通项公式的求法，等差数列的通项公式为，考查计算能力，是简单题．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

将等式和等式都平方，再将所得两个等式相加，并利用两角和的正弦公式可求出的值.【详解】若，，将上述两等式平方得，①，②，①＋②可得，求得，故答案为．【点睛】本题考查利用两角和的正弦公式求值，解题的关键就是将等式进行平方，结合等式结构进行变形计算，考查运算求解能力，属于中等题.12、【解析】

根据余弦定理，可得，然后利用均值不等式，可得结果.【详解】在中，，由，所以又，当且仅当时取等号故故的最小值为故答案为：【点睛】本题考查余弦定理以及均值不等式，属基础题.13、1【解析】

利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值.【详解】由于直线和圆相切，所以圆心到直线的距离，即，由于，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，属于基础题.14、【解析】

与的夹角为钝角，即数量积小于0.【详解】因为与的夹角为钝角，所以与的数量积小于0且不平行.且所以【点睛】本题考查两向量的夹角为钝角的坐标表示，一定注意数量积小于0包括平角．15、或【解析】

方程的根等价于或，分别求两个三角方程的根可得答案.【详解】方程或，所以或，所以或.故答案为：或.【点睛】本题考查三角方程的求解，求解时可利用单位圆中的三角函数线，注意终边相同角的表示，考查运算求解能力和数形结合思想的运用.16、【解析】

由三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，若5是最大边，则，解得范围，若是最大边，则，解得范围，即可得出．【详解】解：由三边长分别为3，5，的三角形是锐角三角形，若5是最大边，则，解得．若是最大边，则，解得．综上可得：的取值范围为．故答案为：．【点睛】本题考查了不等式的性质与解法、余弦定理、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）.（2）,.（3）,.【解析】

（1）根据分母不等于求出函数的定义域.（2）化简函数的表达式,利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可.（3）通过满足求出相位的范围,利用正弦函数的值域,求解函数的最大值和最小值.【详解】解：（1）函数的定义域为：,即,（2）,令且,解得：,即所以的单调递减区间：,.（3）由,可得：,当,即：时,当,即：时,【点睛】本题考查三角函数的最值以及三角函数的化简与应用,两角和与差的三角函数的应用考查计算能力.18、(1)an＝2n+1；bn＝3n；(2)Sn＝n•3n+1．【解析】

（1）利用基本元的思想，结合等差数列、等比数列的通项公式、等比中项的性质列方程，解方程求得的值，从而求得数列的通项公式.（2）利用错位相减求和法求得数列的前项和.【详解】（1）公差d不为零的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}，a1＝b1＝3，b2＝a4，且a1，a4，a13成等比数列，可得3q＝3+3d，a1a13＝a42，即（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝2，q＝3，可得an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；bn＝3n；（2）cn＝an•bn＝（2n+1）•3n，前n项和Sn＝3•3+5•32+7•33+…+（2n+1）•3n，3Sn＝3•32+5•33+7•34+…+（2n+1）•3n+1，两式相减可得﹣2Sn＝9+2（32+33+…+3n）﹣（2n+1）•3n+1＝9+2•（2n+1）•3n+1，化简可得Sn＝n•3n+1．【点睛】本小题主要考查等差数列，等比数列通项公式，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.19、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】

（1）在平面找一条直线平行即可．（2）在平面内找两条相交直线垂直即可．（3）三棱锥即可【详解】（1）连接，因为直棱柱，则为矩形，则为的中点连接，在中，为中位线，则平面（2）连接，底面底面底面①为正边的中点②由①②及平面（3）因为取的中点，连接，则平面，即为高，【点睛】本题主要考查了直线与平面平行，直线与平面垂直的证明，以及三棱锥的体积公式，证明直线与平面平行往往转化成证明直线与直线平行．属于中等题．20、（1）；（2）【解析】

（1）由变形可得，即，于是可得数列为等比数列，进而得到通项公式；（2）由（1）得，然后分为奇数、偶数两种情况，将转化为数列的求和问题解决．【详解】（1）∵，∴，∵，∴．又，∴数列是首项为8，公比为3的等比数列，∴．（2）当为正偶数时，．当为正奇数时，．∴．【点睛】（1）证明数列为等比数列时，在运用定义证明的同时还