高考数学：平面解析几何

平面解析几何一、选择题和填空题1．（海淀·理科·题13）已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形．若，双曲线的离心率的取值范围为．则该椭圆的离心率的取值范围是．；如图，设椭圆的半长轴长，半焦距分别为，双曲线的半实轴长，半焦距分别为，，则，问题转化为已知，求的取值范围．设，则，．∵，∴，即．2．（海淀·文科·题8）直线与圆相交于，两点（其中是实数），且是直角三角形（是坐标原点），则点与点之间距离的最大值为（）A．B．C．D．A；圆的圆心到直线的距离为，∴，即．因此所求距离为椭圆上点到焦点的距离，其最大值为．3．（海淀·文科·题10）已知动点到定点的距离和它到定直线的距离相等，则点的轨迹方程为________．；由已知，该轨迹为，定点为，对称轴为轴的抛物线，即．4．（丰台·文科·题4）直线截圆所得劣弧所对圆心角为（）A．B．C．D．D；弦心距为，圆的半径为，于是，．5．（丰台·文科·题14）已知点，点，点是直线上动点，当的值最小时，点的坐标是．；连结与直线交于点，则当点移动到点位置时，的值最小．直线的方程为，即．解方程组，得．于是当的值最小时，点的坐标为．6．（石景山·理·题5）（石景山·文·题5）经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为（）A． B．C． D．A；设圆心为，则垂直于，，故，选A．7．（西城·理·题13）（西城·文·题7）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为_________．；，设，，又，故，于是，当时，取到最小值．8．（东城·理·题13）直线过双曲线的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，若原点在以为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是．；，要使原点在以为直径的圆外，只需原点到直线的距离大于半径即可，于是，，故．9．（东城·文·题7）已知圆与抛物线的准线相切，则的值等于（）A．B．C．D．D；抛物线的准线为，将圆化为标准方程，圆心到直线的距离为．10．（东城·文·题10）经过点且与直线垂直的直线方程为．；直线的斜率为，故所求直线的斜率为，从而所求直线方程为．11．（东城·文·题14）点是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，且的内切圆半径为，当在第一象限时，点的纵坐标为．；，．12．（宣武·理·题6）若椭圆与双曲线均为正数）有共同的焦点，，是两曲线的一个公共点，则等于（）A． B． C． D．C；由题设可知，再由椭圆和双曲线的定义有及，两个式子分别平方再相减即可得．13．（宣武·文·题8）设圆的圆心在双曲线的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆被直线截得的弦长等于，则的值为（）A． B． C． D．A；圆的圆心，双曲线的渐近线方程为，到渐近线的距离为，故圆方程．由被圆截得的弦长是及圆的半径为可知，圆心到直线的距离为，即．14．（崇文·文·题4）若直线与圆相切，则的值为（）A．B．C．D．B；．15．（朝阳·理·题6）已知点是双曲线渐近线上的一点，是左、右两个焦点，若，则双曲线方程为（）A． B． C． D．C；不妨设，于是有．于是．排除A，B．又由D中双曲线的渐近线方程为，点不在其上．排除D．16．（朝阳·理·题10）（朝阳·文·题13）圆被直线截得的劣弧所对的圆心角的大小为．．圆心到直线的距离为．不妨设劣弧所对的圆心角为，于是．解得．17．（朝阳·文·题10）在抛物线上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则的值为．2；由抛物线的几何性质，有．二、解答题18．（海淀·理科·题19）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，，且，点在椭圆上．⑴求椭圆的方程；⑵过的直线与椭圆相交于、两点，且的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．⑴设椭圆的方程为，由题意可得：椭圆两焦点坐标分别为，．∴．∴，又，，故椭圆的方程为．⑵当直线轴，计算得到：，，，不符合题意．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去y得．显然成立，设，，则，．又即，又圆的半径．所以，化简，得，即，解得．所以，．故圆的方程为：．⑵另解：设直线的方程为，由，消去得，恒成立，设，，则，．所以．又圆的半径为．所以，解得，所以．故圆的方程为：．19．（海淀·文科·题19）已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，离心率为，且点0在该椭圆上．⑴求椭圆的方程；⑵过椭圆的左焦点的直线与椭圆相交于、两点，若的面积为，求圆心在原点且与直线相切的圆的方程．⑴设椭圆C的方程为，由题意可得，又，所以因为椭圆经过，代入椭圆方程有，解得所以，故椭圆的方程为．⑵解法一：当直线轴时，计算得到：，，，不符合题意．当直线与轴不垂直时，设直线的方程为：，由，消去，得显然成立，设，，则，又即又圆的半径所以化简，得，即，解得，（舍）所以，故圆的方程为．⑵解法二：设直线的方程为，由，消去，得因为恒成立，设，，则所以所以化简得到，即，解得（舍）又圆的半径为所以，故圆的方程为：20．（丰台·理科·题19）在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是与轴的负半轴交于点，不过点的直线与轨迹交于不同的两点和．⑴求轨迹的方程；⑵当时，求与的关系，并证明直线过定点．⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦中为的椭圆，其方程为．⑵将，代入曲线的方程，整理得因为直线与曲线交于不同的两点和，所以①设，，则，②且显然，曲线与轴的负半轴交于点，所以，．由，得．将②、③代入上式，整理得．所以，即或．经检验，都符合条件①当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点．即直线经过点，与题意不符．当时，直线的方程为．显然，此时直线经过定点点，且不过点．综上，与的关系是：，且直线经过定点点．21．（丰台·文科·题19）在直角坐标系中，点到点，的距离之和是，点的轨迹是，直线与轨迹交于不同的两点和．⑴求轨迹的方程；⑵是否存在常数，？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．⑴∵点到，的距离之和是，∴的轨迹是长轴为，焦点在轴上焦距为的椭圆，其方程为．⑵将，代入曲线的方程，整理得①设，由方程①，得，②又③若，得将②、③代入上式，解得．又因的取值应满足，即（*），将代入（*）式知符合题意．22．（石景山·理·题19）已知椭圆的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为，直线交椭圆于不同的两点，．⑴求椭圆的方程；⑵若，且，求的值（点为坐标原点）；⑶若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．⑴设椭圆的半焦距为，依题意，解得．由，得∴所求椭圆方程为⑵∵，∴．设，其坐标满足方程，消去并整理得，则故．∵，∴∴，经检验满足式．⑶由已知，，可得将代入椭圆方程，整理得∴．∴当且仅当，即时等号成立．经检验，满足（*）式．当时，综上可知，所以，当最大时，的面积取得最大值．23．（石景山·文·题19）已知椭圆的离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点，．⑴求椭圆的方程；⑵若，且，求的值（点为坐标原点）；⑶若坐标原点到直线的距离为，求面积的最大值．⑴设椭圆的半焦距为，依题意，解得．由，得∴所求椭圆方程为⑵∵，∴．设，其坐标满足方程，消去并整理得，则，解得故．∵，∴∴．⑶由已知，可得．将代入椭圆方程，整理得∴∴．当且仅当，即时等号成立．经检验，满足式．当时，综上可知∴当最大时，的面积取最大值．24．（西城·理·题18）椭圆：的离心率为，长轴端点与短轴端点间的距离为．⑴求椭圆的方程；⑵设过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若为直角三角形，求直线的斜率．⑴由已知，又，解得，所以椭圆的方程为；⑵根据题意，过点满足题意的直线斜率存在，设，联立，消去y得，，令，解得．设、两点的坐标分别为，ⅰ）当为直角时，则，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得．ⅱ）当或为直角时，不妨设为直角，此时，，所以，即……①又…………②将①代入②，消去得，解得或（舍去），将代入①，得所以，经检验，所求k值均符合题意，综上，k的值为和．25．（西城·文·题18）椭圆：的离心率为，且过点．⑴求椭圆的方程；⑵设直线：与椭圆交于两点，为坐标原点，若直角三角形，求的值．⑴已知，所以，又，所以，所以椭圆C的方程为．⑵联立，消去y得，，令，即，解得．设A，B两点的坐标分别为，i）当为直角时，则，因为为直角，所以，即，所以，所以，解得；ii）当或为直角时，不妨设为直角，由直线的斜率为，可得直线的斜率为，所以，即，又，所以．，依题意，且，经检验，所求值均符合题意，综上，的值为和．26．（东城·理·题19）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆的方程；⑵设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．⑴由题意知，所以．即．又因为，所以，．故椭圆的方程为．⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为．由得．①设点，，则．直线的方程为．令，得．将，代入整理，得．②由①得，代入②整理，得．所以直线与轴相交于定点．⑶当过点直线的斜率存在时，设直线的方程为，且，在椭圆上．由得．易知．所以，，．则．因为，所以．所以．当过点直线的斜率不存在时，其方程为．解得，．此时．所以的取值范围是．27．（东城·文·题19）已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．⑴求椭圆C的方程；⑵设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；⑶在⑵的条件下，证明直线与轴相交于定点．⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．⑵由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为①联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．⑶设点，则，直线的方程为，令，得，将代入整理，得．②由得①代入②整理，得，所以直线与轴相交于定点．28．（宣武·理·题19）已知椭圆的离心率为．⑴若原点到直线的距离为，求椭圆的方程；⑵设过椭圆的右焦点且倾斜角为的直线和椭圆交于两点．i)当，求的值；ii)对于椭圆上任一点，若，求实数满足的关系式．⑴∵，∴．∵，∴．∵，∴，解得．椭圆的方程为．⑵i)∵，∴，椭圆的方程可化为…………①易知右焦点，据题意有：………②由①，②有：…………③设，∴ii)显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立．设，∵，∴又点在椭圆上，∴……………④由③有：则……………⑤又在椭圆上，故有…………⑥将⑥，⑤代入④可得：．29．（宣武·文·题19）已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是其左顶点，点在椭圆上且．⑴求椭圆的方程；⑵若平行于的直线和椭圆交于两个不同点，求面积的最大值，并求此时直线的方程．⑴设椭圆的标准方程为，∵左顶点．∴，又∵在椭圆上，∴，∴椭圆的标准方程为．⑵设∵的斜率为，∴设直线的方程为，代入，得．∴又到直线的距离，∴的面积，当且仅当时取等号，此时满足题中条件，∴直线的方程为． 30．（崇文·理·题19）已知抛物线，点关于轴的对称点为，直线过点交抛物线于两点．⑴证明：直线的斜率互为相反数；⑵求面积的最小值；⑶当点的坐标为，且．根据⑴⑵推测并回答下列问题（不必说明理由）：①直线的斜率是否互为相反数？②面积的最小值是多少？⑴设直线的方程为．由可得．设，则．∴∴．又当垂直于轴时，点关于轴，显然．综上，．----------------5分⑵=．当垂直于轴时，．∴面积的最小值等于．----------------10分⑶推测：①；②面积的最小值为．31．（崇文·文·题19）已知椭圆短轴的一个端点，离心率．过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点．⑴求椭圆的方程；⑵求的值．⑴由已知，．所以椭圆方程为．⑵设直线方程为．令，得．由方程组可得，即．所以，所以，．所以．直线的方程为．令，得．所以=．32．（朝阳·理·题19）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点，过点的直线与椭圆在第一象限相切于点．⑴求椭圆的方程；⑵求直线的方程以及点的坐标；⑶是否存过点的直线与椭圆相交于不同的两点，满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．⑴设椭圆的方程为，由题意得解得，故椭圆的方程为．⑵因为过点的直线与椭圆在第一象限相切，所以的斜率存在，故可设直线的方程为．由得．①因为直线与椭圆相切，所以． 整理，得．解得．所以直线的方程为．将代入①式，可以解得点横坐标为，故切点坐标为．⑶若存在直线满足条件的方程为，代入椭圆的方程得