河北省石家庄市精英中学2022-2023学年数学高一第二学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知，且，则（）A． B． C． D．22．向量，，，满足条件．，则A． B． C． D．3．设，则下列不等式恒成立的是A． B．C． D．4．公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项,，则等于（）A．18 B．24 C．60 D．905．空间中可以确定一个平面的条件是（）A．三个点 B．四个点 C．三角形 D．四边形6．为数列的前n项和,若,则的值为()A．-7 B．-4 C．-2 D．07．若实数满足，则的最大值是（）A． B． C． D．8．若直线过两点，，则的斜率为（）A． B． C．2 D．9．已知则（）A． B． C． D．10．设函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A．－4 B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知数列是等差数列，若，，则________．12．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦的长为___．13．已知函数一个周期的图象（如下图），则这个函数的解析式为__________．14．分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦.B.曼德尔布罗特在20世纪70年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路，下图是按照一定的分形规律生长成一个数形图，则第13行的实心圆点的个数是________15．对于下列数排成的数阵：它的第10行所有数的和为________16．若数列满足，则_____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，角，，的对边分别为，，，已知向量，，且．（1）求角的值；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．18．设等差数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若等比数列满足，求数列的前项和.19．已知数列中，，前项的和为，且满足数列是公差为的等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）若恒成立，求的取值范围.20．如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点.（1）证明:；（2）求三棱锥的体积．21．已知.（1）求；（2）求向量与的夹角的余弦值.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

由平方关系得出的值，最后由商数关系求解即可.【详解】，故选：A【点睛】本题主要考查了利用平方关系以及商数关系化简求值，属于基础题.2、C【解析】向量，则，故解得.故答案为：C。3、C【解析】

利用不等式的性质，合理推理，即可求解，得到答案.【详解】因为，所以，所以A项不正确；因为，所以，，则，所以B不正确；因为，则，所以，又因为，则，所以等号不成立，所以C正确；由，所以，所以D错误.【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，其中解答中熟记不等式的性质，合理运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4、C【解析】

由等比中项的定义可得，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出和，进而求出.【详解】因为是与的等比中项，所以，即，整理得，又因为，所以，故，故选C.【点睛】该题考查的是有关等差数列求和问题，涉及到的知识点有等差数列的通项，等比中项的定义，等差数列的求和公式，正确应用相关公式是解题的关键.5、C【解析】

根据公理2即可得出答案．【详解】在A中，不共线的三个点能确定一个平面，共线的三个点不能确定一个平面，故A错误；在B中，不共线的四个点最多能确定四个平面，故B错误；在C中，由于三角形的三个顶点不共线，因此三角形能确定一个平面，故C正确；在D中，四边形有空间四边形和平面四边形，空间四边形不能确定一个平面，故D错误.【点睛】本题对公理2进行了考查，确定一个平面关键是对过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面的理解．6、A【解析】

依次求得的值，进而求得的值.【详解】当时，；当时，，；当时，；故.故选：A.【点睛】本小题主要考查根据递推关系式求数列每一项，属于基础题.7、B【解析】

根据，将等式转化为不等式，求的最大值.【详解】,，，解得，，的最大值是.故选B.【点睛】本题考查了基本不等式求最值，属于基础题型.8、C【解析】

直接运用斜率计算公式求解.【详解】因为直线过两点，，所以直线的斜率，故本题选C.【点睛】本题考查了斜率的计算公式，考查了数学运算能力、识记公式的能力.9、B【解析】

根据条件式,判断出,,且.由不等式性质、基本不等式性质或特殊值即可判断选项.【详解】因为所以可得,,且对于A,由对数函数的图像与性质可知,,所以A错误;对于B,由基本不等式可知,即由于,则,所以B正确;对于C,由条件可得,所以C错误;对于D,当时满足条件,但,所以D错误.综上可知,B为正确选项故选:B【点睛】本题考查了不等式性质的综合应用,根据基本不等式求最值,属于基础题.10、A【解析】

由奇函数的性质可得:即可求出【详解】因为是定义在上的奇函数，所以又因为当时，，所以，所以，选A.【点睛】本题主要考查了函数的性质中的奇偶性。其中奇函数主要有以下几点性质：1、图形关于原点对称。2、在定义域上满足。3、若定义域包含0，一定有。二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

求出公差，利用通项公式即可求解.【详解】设公差为，则所以故答案为：【点睛】本题主要考查了等差数列基本量的计算，属于基础题.12、【解析】

两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长．【详解】圆与圆的方程相减得：，由圆的圆心，半径r为2，且圆心到直线的距离，则公共弦长为．故答案为．【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．13、【解析】

由函数的图象可得T=﹣，解得：T==π，解得ω=1．图象经过（，1），可得：1=sin（1×+φ），解得：φ=1kπ+，k∈Z，由于：|φ|＜，可得：φ=，故f（x）的解析式为：f（x）=．故答案为f（x）=．14、【解析】

观察图像可知每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.再利用规律找到行与行之间的递推关系即可.【详解】由图像可得每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为前两行之和.即.故第1到第13行中实心圆点的个数分别为：.故答案为：【点睛】本题主要考查了递推数列的实际运用,需要观察求得行与行之间的实心圆点的递推关系,属于中等题型.15、【解析】

由题意得第10行的第一个数的绝对值为，第10行的最后一个数的绝对值为，再根据奇数为负数，偶数为正数，得到第10行的各个数，由此能求出第10行所有数的和．【详解】第1行1个数，第2行2个数，则第9行9个数，故第10行的第一个数的绝对值为，第10行的最后一个数的绝对值为，且奇数为负数，偶数为正数，故第10行所有数的和为，故答案为：．【点睛】本题以数阵为背景，观察数列中项的特点，求数列通项和前项和，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时要注意等差数列性质的合理运用．16、【解析】

由递推公式逐步求出.【详解】.故答案为：【点睛】本题考查数列的递推公式，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）根据和正弦定理余弦定理求得.(2)先利用正弦定理求出R=1,再把化成，再利用三角函数的图像和性质求解.【详解】（1）因为，所以，由正弦定理化角为边可得，即，由余弦定理可得，又，所以．（2）由（1）可得，设的外接圆的半径为，因为，，所以，则，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以，故的取值范围为．【点睛】(1)本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)对于复合函数的问题自然是利用复合函数的性质解答，求复合函数的最值，一般从复合函数的定义域入手，结合三角函数的图像一步一步地推出函数的最值.18、（1）（2）【解析】

（1）求出公差，由公式得通项公式；（2）由（1）求出，计算公比，再由等比数列前项和公式得和．【详解】（1）在等差数列中，，故设的公差为，则，即，所以，所以.（2）设数列的公比为，则，所以.【点睛】本题考查等差数列与等比数列的基本量法．求出数列的首项和公差（或公比），则数列的通项公式与前项和随之而定．19、（1）；（2）.【解析】

（1）根据题意求出数列的通项公式，可解出，从而得出数列的通项公式；（2）将数列的通项公式裂项，利用裂项法求出，由得出，然后利用定义法判断出数列的单调性，求出数列的最小项，从而得出实数的取值范围.【详解】（1）因为，所以，又因为数列是公差为的等差数列，所以，即；（2）因为，所以.于是，即为，整理可得.设，则.令，解得，，所以，，故数列的最大项的值为，故，因此，实数的取值范围是.【点睛】本题考查数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法以及数列不等式恒成立求参数，解题时利用参变量分离法转化为新数列的最值问题求解，同时也考查利用定义法判断数列的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.20、（1）见解析；（2）【解析】

（1）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出BE，DC的方向向量，根据•＝0，可得BE⊥DC；（2）由点为棱的中点，且底面，利用等体积法得．【详解】（1）∵底面，，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，∵，，点为棱的中点．∴（1，0，0），（2，2，0），（0，2，0），（0，0，2），（1，1，1）