黑龙江省齐齐哈尔市“四校联盟”2023年数学高一下期末学业水平测试试题含解析

2022-2023学年高一下数学期末模拟试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若直线：与直线：平行，则的值为()A．-1 B．0 C．1 D．-1或12．在等差数列中，，则数列前项和取最大值时，的值等于（）A．12 B．11 C．10 D．93．已知向量，若，则（）A． B． C． D．4．为了得到函数y=sin(2x-πA．向右平移π6个单位 B．向右平移πC．向左平移π6个单位 D．向左平移π5．已知向量a→=（2，0），|b→|＝1，a→⋅A．2π3 B．π3 C．π6．如图为某班35名学生的投篮成绩（每人投一次）的条形统计图，其中上面部分数据破损导致数据不完全。已知该班学生投篮成绩的中位数是5，则根据统计图，则下列说法错误的是（）A．3球以下（含3球）的人数为10B．4球以下（含4球）的人数为17C．5球以下（含5球）的人数无法确定D．5球的人数和6球的人数一样多7．某校进行了一次消防安全知识竞赛，参赛学生的得分经统计得到如图的频率分布直方图，若得分在的有60人，则参赛学生的总人数为（）A．100 B．120 C．150 D．2008．已知向量，，，的夹角为45°，若，则（）A． B． C．2 D．39．已知点，点满足线性约束条件O为坐标原点，那么的最小值是A． B． C． D．10．在中，内角，，的对边分别为，，，若，，，则的最小角为（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知二面角为60°，动点P、Q分别在面、内，P到的距离为，Q到的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为．12．在三棱锥中，平面，是边长为2的正三角形，，则三棱锥的外接球的表面积为__________．13．已知数列的通项公式为，则该数列的前1025项的和___________.14．已知向量，的夹角为°，，，则______．15．已知数列满足，，则______．16．数列满足，则________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．如图，在三棱柱中，各个侧面均是边长为的正方形，为线段的中点.(1)求证:直线平面；(2)求直线与平面所成角的余弦值；(3)设为线段上任意一点，在内的平面区域(包括边界)是否存在点，使，并说明理由.18．正方体的棱长为点分别是棱的中点（1）证明：四边形是一个梯形：（2）求几何体的表面积和体积19．已知数列，.(1)记，证明:是等比数列；(2)当是奇数时，证明:；(3)证明:.20．已知动点P与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比值为2，点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的轨迹方程（2）过点（﹣1，0）作直线与曲线C交于A，B两点，设点M坐标为（4，0），求△ABM面积的最大值．21．设函数.（1）求不等式的解集；（2）若对于，恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

两直线平行表示两直线斜率相等，写出斜率即可算出答案．【详解】显然，，．所以，解得，又时两直线重合，所以．故选C【点睛】此题考查直线平行表示直线斜率相等，属于简单题．2、C【解析】试题分析：最大，考点：数列单调性点评：求解本题的关键是由已知得到数列是递减数列，进而转化为寻找最小的正数项3、A【解析】

先根据向量的平行求出的值，再根据向量的加法运算求出答案．【详解】向量，，

解得，

∴，

故选A．【点睛】本题考查了向量的平行和向量的坐标运算，属于基础题．4、A【解析】

根据函数平移变换的方法，由2x→2x-π3即2x→2(x-π【详解】根据函数平移变换,由y=sin2x变换为只需将y=sin2x的图象向右平移π6【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移变换，解题关键是看自变量上的变化量，属于中档题.5、A【解析】

直接利用向量夹角公式得到答案.【详解】解：向量a→=（2，0），|b→|＝1，a可得cos＜a→则a→与b的夹角为：2π故选：A．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量的夹角的求法，是基本知识的考查．6、D【解析】

据投篮成绩的条形统计图，结合中位数的定义，对选项中的命题分析、判断即可．【详解】根据投篮成绩的条形统计图，3球以下（含3球）的人数为，6球以下（含6球）的人数为，结合中位数是5知4球以下（含4球）的人数为不多于17，而由条形统计图得4球以下（含4球）的人数不少于，因此4球以下（含4球）的人数为17所以5球的人数和6球的人数一共是17，显然5球的人数和6球的人数不一样多，故选D.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查条形统计图、中位数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7、C【解析】

根据频率分布直方图求出得分在的频率，即可得解.【详解】根据频率分布直方图可得：得分在的频率0.35，得分在的频率0.3，得分在的频率0.2，得分在的频率0.1，所以得分在的频率0.05，得分在的频率为0.4，有60人，所以参赛学生的总人数为60÷0.4=150人.故选：C【点睛】此题考查根据频率分布直方图求某组的频率，根据频率分布直方图的特征计算小矩形的面积，根据总面积之和为1计算未知数，结合频率频数计算总人数.8、C【解析】

利用向量乘法公式得到答案.【详解】向量，，，的夹角为45°故答案选C【点睛】本题考查了向量的运算，意在考查学生的计算能力.9、D【解析】

点满足线性约束条件∵令目标函数画出可行域如图所示，联立方程解得在点处取得最小值：故选D【点睛】此题主要考查简单的线性规划问题以及向量的内积的问题，解决此题的关键是能够找出目标函数.10、A【解析】

由三角形大边对大角可知所求角为角，利用余弦定理可求得，进而得到结果.【详解】的最小角为角，则故选：【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形的问题，关键是明确三角形中大边对大角的特点，进而根据余弦定理求得所求角的余弦值.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

如图

分别作于A,于C,于B,于D,

连CQ,BD则,,

又

当且仅当,即点A与点P重合时取最小值.

故答案选C.【点睛】12、【解析】

设三棱锥的外接球半径为，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用公式可计算出外接球半径，最后利用球体的表面积公式可计算出结果.【详解】由正弦定理可得，的外接圆直径为，，设三棱锥的外接球半径为，平面，，因此，三棱锥的外接球表面积为，故答案为.【点睛】本题考查多面体的外接球，考查球体表面积的计算，在求解直棱柱后直棱锥的外接球，若底面外接圆半径为，高为，可利用公式得出外接球的半径，解题时要熟悉这些结论的应用.13、2039【解析】

根据所给分段函数,依次列举出当时的值,即可求得的值.【详解】当时,,当时,,,共1个2.当时,,,共3个2.当时,,,共7个2.当时,,,共15个2.当时,,,共31个2.当时,,,共63个2.当时,,,共127个2.当时,,,共255个2.当时,,,共511个2.当时,,,共1个2.所以由以上可知故答案为:2039【点睛】本题考查了分段函数的应用,由所给式子列举出各个项,即可求和,属于中档题.14、1【解析】

把向量，的夹角为60°，且，，代入平面向量的数量积公式，即可得到答案．【详解】由向量，的夹角为°，且，，则.故答案为1【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示，直接考查公式本身的直接应用，属于基础题．15、1023【解析】

根据等比数列的定义以及前项和公式即可．【详解】因为所以，所以为首先为1公比为2的等比数列，所以【点睛】本题主要考查了等比数列的前项和：属于基础题．16、【解析】

根据题意可求得和的等式相加，求得，进而推出，判断出数列是以6为周期的数列，进而根据求出答案。【详解】将以上两式相加得数列是以6为周期的数列，故【点睛】对于递推式的使用，我们可以尝试让取或，又得一个递推式，将两个递推式相加或者相减来找规律，本题是一道中等难度题目。三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)见解析(2)（3）存在点，使，详见解析【解析】

(1)设与的交点为，证明进而证明直线平面.(2)先证明直线与平面所成角的为，再利用长度关系计算.(3)过点作，证明平面，即，所以存在.【详解】(1)设与的交点为，显然为中点，又点为线段的中点，所以，平面，平面，平面.(2)平面，平面,，，平面，平面，平面，点在平面上的投影为点，直线与平面所成角的为，，，，.(3)过点作，又因为平面，平面，所以，平面，平面，平面，，所以存在点，使.【点睛】本题考查了立体几何线面平行，线面夹角，动点问题，将线线垂直转化为线面垂直是解题的关键.18、（1）证明见解析（2）表面积为，体积为【解析】

（1）在正方体中，根据分别是棱的中点，由中位线得到且，又由，根据公理4平行关系的传递性得证.（2）几何体的表面积，上下底是直角三角形，三个侧面，有两个是全等的直角梯形，另一个是等腰梯形求解，体积按照棱台体积公式求解.【详解】（1）如图所示：在正方体中，因为分别是棱的中点，所以且，又因为，所以且，所以四边形是一个梯形.（2）几何体的表面积为：.体积为：.【点睛】本题主要考查几何体中的截面问题，还考查了空间想象，抽象概括，推理论证的能力，属于中档题.19、(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析【解析】

（1）对递推关系进行变形得，从而证明是等比数列；（2）由(1)得，代入所证式子，再利用放缩法进行证明；（3）由(2)可知，对分偶数和奇数计论，放缩法和等比数列求和，即可证明结论.【详解】(1)∵，∴，且所以，数列是首项为，公比为3的等比数列.(2)由(1)可知当k是奇数时，(3)由(2)可知，当为偶数时，当为奇数时，所以.【点睛】本题考查等比数列的定义证明、等比数列前项和、不等式的放缩法证明，考查转化与化归思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的突破口.20、（1）；（2）2【解析】

（1）设点，运用两点的距离公式，化简整理可得所求轨迹方程；（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，求得到直线的距离，以及弦长公式，和三角形的面积公式，运用换元法和二次函数的最值可得所求．【详解】（1）设点，,即，，即，曲线的方程为．（2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，由（1）可知，点是圆的圆心，点到直线的距离为，由得，即，又，所以，令，所以，，则，所以，当，即，此时，符合题意，即时取等号，所以面积的最大值为.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，直线和圆的位置关系，以及弦长公式和点到直线的距离公式的运用，考查推理与运算能力，试题综合性强，属于中档题．21、（1）见解析；（2）.【解析】

（1）由得，然后分、、三种情况来解不等式；（2）由恒成立，由参变量分离法