九年级数学上册单元测试题(北师大版)

九年级数学上册单元测试题全套（北师大版）第一章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(来源·内江)下列命题中，真命题是(C)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．(来源·西宁)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM＝3，BC＝10，则OB的长为(D)A．5B．4C.eq\f(\r(34),2)D.eq\r(34)3．(来源·河北)关于▱ABCD的叙述，正确的是(C)A．若AB⊥BC，则▱ABCD是菱形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形,第4题图),第5题图),第6题图)4．如图，两张对边平行且宽度相等的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中，不一定成立的是(D)A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCDB．AB＝BCC．AB＝CD，AD＝BCD．∠DAB＋∠BCD＝180°5．(来源·衡阳)如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M、N的坐标分别是(A)A．M(5，0)，N(8，4)B．M(4，0)，N(8，4)C．M(5，0)，N(7，4)D．M(4，0)，N(7，4)6．(来源·陕西)如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD的中点，若M、N是边AD上的两点，连接MO、NO，并分别延长交边BC于点M′、N′，则图中的全等三角形共有(C)A．2对B．3对C．4对D．5对7．(来源·广东)如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连接EF为边的正方形EFGH的周长为(B)A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C.eq\r(2)＋1D．2eq\r(2)＋18．(来源·葫芦岛)如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为(D)A.eq\f(10,3)B．4C．4.5D．5,第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)9．(来源·广州)将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B＝90°时，如图1，测得AC＝2，当∠B＝60°时，如图2，AC＝(A)A.eq\r(2)B．2C.eq\r(6)D．2eq\r(2)10．(来源·宜宾)如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是(A)A．4.8B．5C．6D．7.2二、填空题(每小题3分，共18分)11．(来源·成都)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，对角线AC，BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则AD的长为__3eq\r(3)__.12．(来源·青岛)如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，E为对角线AC的中点，连接BE，ED，BD.若∠BAD＝58°，则∠EBD的度数为__32__度．,第11题图),第12题图),第14题图),第16题图)13．(来源·兰州)在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，要使四边形ABCD是正方形，还需添加一组条件．下面给出了四组条件：①AB⊥AD，且AB＝AD；②AB＝BD，且AB⊥BD；③OB＝OC，且OB⊥OC；④AB＝AD，且AC＝BD.其中正确的序号是__①③④__.14．(来源·江西)如图，矩形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，连接DE和BF，分别取DE、BF的中点M、N，连接AM，CN，MN，若AB＝2eq\r(2)，BC＝2eq\r(3)，则图中阴影部分的面积为__2eq\r(6)__.15．(来源·哈尔滨)在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝4，点E，F在直线AD上，且四边形BCFE为菱形．若线段EF的中点为点M，则线段AM的长为__5.5或0.5__.16．已知，如图，∠MON＝45°，OA1＝1，作正方形A1B1C1A2，周长记作C1；再作第二个正方形A2B2C2A3，周长记作C2；继续作第三个正方形A3B3C3A4，周长记作C3；点A1、A2、A3、A4…在射线ON上，点B1、B2、B3、B4…在射线OM上，…依此类推，则第n个正方形的周长Cn＝__2n＋1__.三、解答题(共72分)17．(6分)已知：如图，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，若点E是AO的中点，点F是OD的中点．求证：BE＝CF.证明：易证△OBE≌△OCF(SAS)，∴BE＝CF18．(7分)(来源·怀化)如图，四边形ABCD是正方形，△EBC是等边三角形．(1)求证：△ABE≌△DCE；(2)求∠AED的度数．(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，△ABC是等边三角形，∴BA＝BC＝CD＝BE＝CE，∠ABC＝∠BCD＝90°，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠ECD＝30°，在△ABE和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝DC，,∠ABE＝∠DCE，,BE＝CE，))∴△ABE≌△DCE(SAS)(2)∵BA＝BE，∠ABE＝30°，∴∠BAE＝eq\f(1,2)(180°－30°)＝75°，∵∠BAD＝90°，∴∠EAD＝90°－75°＝15°，同理可得∠ADE＝15°，∴∠AED＝180°－15°－15°＝150°19．(7分)(来源·贺州)如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，AC⊥BD，垂足为点O.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若CD＝3，BD＝2eq\r(5)，求四边形ABCD的面积．(1)证明：易证△AOD≌△COB(ASA)，∴AO＝OC，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是菱形(2)解：∵四边形ABCD是菱形，∴OD＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(5)，∴OC＝eq\r(CD2－OD2)＝2，∴AC＝2OC＝4，∴S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝4eq\r(5)20．(7分)(来源·上海)已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E是对角线BD上一点，且EA＝EC.(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)如果BE＝BC，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD是正方形．证明：(1)在△ADE与△CDE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AD＝CD,DE＝DE,EA＝EC))，∴△ADE≌△CDE，∴∠ADE＝∠CDE，∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD，∴∠CDE＝∠CBD，∴BC＝CD，∵AD＝CD，∴BC＝AD，∴四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC，∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180×eq\f(2,2＋3＋3)＝45°，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°，∴∠ABC＝90°，∴四边形ABCD是正方形21．(7分)(来源·遵义)如图，矩形ABCD中，延长AB至E，延长CD至F，BE＝DF，连接EF，与BC、AD分别相交于P、Q两点．(1)求证：CP＝AQ；(2)若BP＝1，PQ＝2eq\r(2)，∠AEF＝45°，求矩形ABCD的面积．(1)证明：易证△CFP≌△AEQ(ASA)，∴CP＝AQ(2)解：∵AD∥BC，∴∠PBE＝∠A＝90°，∵∠AEF＝45°，∴△BEP、△AEQ是等腰直角三角形，∴BE＝BP＝1，AQ＝AE，∴PE＝eq\r(2)BP＝eq\r(2)，∴EQ＝PE＋PQ＝eq\r(2)＋2eq\r(2)＝3eq\r(2)，∴AQ＝AE＝3，∴AB＝AE－BE＝2，∵CP＝AQ，AD＝BC，∴DQ＝BP＝1，∴AD＝AQ＋DQ＝3＋1＝4，∴矩形ABCD的面积＝AB·AD＝2×4＝822．(8分)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，分别延长OA，OC到点E，F，使AE＝CF，依次连接B，F，D，E各点．(1)求证：△BAE≌△BCF；(2)若∠ABC＝40°，求当∠EBA为多少度时，四边形BFDE是正方形．(1)证明：易证△BAE≌△BCF(SAS)(2)解：若∠ABC＝40°，则当∠EBA＝25°时，四边形BFDE是正方形．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABO＝eq\f(1,2)∠ABC＝20°，∵AE＝CF，∴OE＝OF，∴四边形BFDE是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴四边形BFDE是菱形，∵∠EBA＝25°，∴∠OBE＝25°＋20°＝45°，∴△OBE是等腰直角三角形，∴OB＝OE，∴BD＝EF，∴菱形BFDE是正方形23．(8分)(来源·云南)如图，△ABC是以BC为底的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E、F分别是AB、AC的中点．(1)求证：四边形AEDF是菱形；(2)如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形AEDF的面积S.解：(1)∵AD⊥BC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴Rt△ABD中，DE＝eq\f(1,2)AB＝AE，Rt△ACD中，DF＝eq\f(1,2)AC＝AF，又∵AB＝AC，点E、F分别是AB、AC的中点，∴AE＝AF，∴AE＝AF＝DE＝DF，∴四边形AEDF是菱形(2)如图，∵菱形AEDF的周长为12，∴AE＝3，设EF＝x，AD＝y，则x＋y＝7，∴x2＋2xy＋y2＝49①，∵AD⊥EF于O，∴Rt△AOE中，AO2＋EO2＝AE2，∴(eq\f(1,2)y)2＋(eq\f(1,2)x)2＝32，即x2＋y2＝36②，把②代入①，可得2xy＝13，∴xy＝eq\f(13,2)，∴菱形AEDF的面积S＝eq\f(1,2)xy＝eq\f(13,4)24．(10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，交直线MN于E，垂足为F，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D在AB中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD(2)四边形CDBE是菱形，理由：∵D为AB中点，∴AD＝BD.∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°，∴AC＝BC.∵D为AB中点，∴CD⊥AB，∴∠CDB＝90°.∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形，即当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形25．(12分)(1)如图1，正方形ABCD中，点P为线段BC上一个动点，若线段MN垂直AP于点E，交线段AB于M，交线段CD于N，证明：AP＝MN；(2)如图2，正方形ABCD中，点P为线段BC上一动点，若线段MN垂直平分线段AP，分别交AB、AP、BD、DC于点M、E、F、N.求证：EF＝ME＋FN；(3)若正方形ABCD的边长为2，求线段EF的最大值与最小值．(1)证明：过B点作BH∥MN交CD于H，∵BM∥NH，BH∥MN，∴四边形MBHN为平行四边形．∴BH＝MN.∵MN⊥AP，∴∠BAP＋∠ABH＝90°.又∵∠ABH＋∠CBH＝90°，∴∠BAP＝∠CBH.在△ABP与△BCH中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠BAP＝∠CBH,AB＝BC,∠ABP＝∠BCH))∴△ABP≌△BCH.∴AP＝BH.∴AP＝MN(2)连接FA，FP，FC.∵正方形ABCD是轴对称图形，F为对角线BD上一点，∴FA＝FC.又∵FE垂直平分AP，∴FA＝FP.∴FP＝FC.∴∠FPC＝∠FCP.∵∠FAB＝∠FCP，∴∠FAB＝∠FPC.又∵∠FPC＋∠FPB＝180°，∴∠FAB＋∠FPB＝180°.∴∠ABC＋∠AFP＝180°.∴∠AFP＝90°.∴FE＝eq\f(1,2)AP.又∵AP＝MN，∴ME＋EF＋FN＝AP.∴EF＝ME＋FN(3)由(2)有EF＝eq\f(1,2)MN，∵AC，BD是正方形的对角线，∴BD＝2eq\r(2).当点P和点B重合时，EF最小＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(1,2)AB＝1.当点P和点C重合时，EF最大＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(1,2)BD＝eq\r(2)第二章检测题(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(来源·朝阳)方程2x2＝3x的解为(D)A．0B.eq\f(3,2)C．－eq\f(3,2)D．0，eq\f(3,2)2．(来源·泰安)一元二次方程x2－6x－6＝0配方后化为(A)A．(x－3)2＝15B．(x－3)2＝3C．(x＋3)2＝15D．(x＋3)2＝33．(来源·上海)下列方程中，没有实数根的是(D)A．x2－2x＝0B．x2－2x－1＝0C．x2－2x＋1＝0D．x2－2x＋2＝04．根据下面表格中的对应值：x3.233.243.253.26ax2＋bx＋c－0.06－0.020.030.09判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是(C)A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.265．(来源·咸宁)已知a、b、c为常数，点P(a，c)在第二象限，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是(B)A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断6．对于方程(x－1)(x－2)＝x－2，下面给出的说法不正确的是(B)A．与方程x2＋4＝4x的解相同B．两边都除以x－2，得x－1＝1，可以解得x＝2C．方程有两个相等的实数根D．移项、分解因式，得(x－2)2＝0，可以解得x1＝x2＝27．(来源·呼和浩特)关于x的一元二次方程x2＋(a2－2a)x＋a－1＝0的两个实数根互为相反数，则a的值为(B)A．2B．0C．1D．2或08．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶上一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5000cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么满足的方程是(C)A．x2＋130x－1400＝0B．x2－130x－1400＝0C．x2＋65x－250＝0D．x2－65x－250＝09．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是(A)A．a＝cB．a＝bC．b＝cD．a＝b＝c10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始运动．点P的速度为1cm/s，点Q的速度为2cm/s，点P运动到点B停止，点Q运动到点C后停止．经过多长时间，能使△PBQ的面积为15cm2.(B)A．2sB．3sC．4sD．5s二、填空题(每小题3分，共18分)11．方程2x2＋4x＋1＝0的解是x1＝__eq\f(－2＋\r(2),2)__；x2＝eq\f(－2－\r(2),2)__.12．(来源·南京)已知关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根为－3和－1，则p＝__4__，q＝__3__．13．(来源·梅州)用一条长40cm的绳子围成一个面积为64cm2的矩形．设矩形的一边长为xcm，则可列方程为__x(20－x)＝64__．14．(来源·岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝2eq\r(3)，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为__2__．15．(来源·白银)若关于x的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是__k≤5且k≠1__.16．定义新运算“*”，规则：a*b＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a≥b）,b（a＜b）))，如1*2＝2，(－eq\r(5))*eq\r(2)＝eq\r(2).若x2＋x－1＝0的两根为x1，x2，则x1*x2＝__eq\f(－1＋\r(5),2)__．三、解答题(共72分)17．(10分)用适当的方法解下列方程：(1)x(x－2)＋x－2＝0;(2)x2－4x－192＝0；解：x1＝2，x2＝－1解：x1＝16，x2＝－12(3)3x2－5x＋1＝0;(4)4x2－3＝12x.解：x1＝eq\f(5＋\r(13),6)，x2＝eq\f(5－\r(13),6)解：x1＝eq\f(3＋2\r(3),2)，x2＝eq\f(3－2\r(3),2)18．(6分)已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6，求a的值和方程的另一个根．解：根据题意得62－6a－3a＝0，即36－9a＝0，解得a＝4；则方程为x2－4x－12＝0，解得x1＝－2，x2＝6，即方程的另一根是－219．(6分)先化简，再求值：eq\f(m－3,3m2－6m)÷(m＋2－eq\f(5,m－2))，其中m是方程x2＋3x－1＝0的根．解：原式＝eq\f(m－3,3m（m－2）)÷eq\f(m2－9,m－2)＝eq\f(m－3,3m（m－2）)·eq\f(m－2,（m＋3）（m－3）)＝eq\f(1,3m（m＋3）)＝eq\f(1,3（m2＋3m）)，∵m是方程x2＋3x－1＝0的根．∴m2＋3m－1＝0，即m2＋3m＝1，∴原式＝eq\f(1,3)20．(7分)一张长为30cm，宽为20cm的矩形纸片，如图1所示，将这张纸片的四个角各剪去一个边长相同的正方形后，把剩余部分折成一个无盖的长方体纸盒，如图2所示，如果折成的长方体纸盒的底面积为264cm2，求剪掉的正方形纸片的边长．解：设剪掉的正方形纸片的边长为xcm.由题意得：(30－2x)(20－2x)＝264.整理得：x2－25x＋84＝0.解方程得：x1＝4，x2＝21(不符合题意，舍去)．答：剪掉的正方形的边长为4cm21．(7分)(来源·十堰)已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；(2)若x1，x2满足x12＋x22＝16＋x1x2，求实数k的值．解：(1)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴Δ＝(2k－1)2－4(k2－1)＝－4k＋5≥0，解得：k≤eq\f(5,4)，∴实数k的取值范围为k≤eq\f(5,4)(2)∵关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2，∴x1＋x2＝1－2k，x1·x2＝k2－1.∵x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝16＋x1·x2，∴(1－2k)2－2×(k2－1)＝16＋(k2－1)，即k2－4k－12＝0，解得：k＝－2或k＝6(不符合题意，舍去)．∴实数k的值为－222．(8分)阅读下列内容，并答题：我们知道，计算n边形的对角线条数公式为：eq\f(1,2)n(n－3)．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程eq\f(1,2)n(n－3)＝20.整理得n2－3n－40＝0；解得n＝8或n＝－5，∵n为大于等于3的整数，∴n＝－5不合题意，舍去．∴n＝8，即多边形是八边形．根据以上内容，问：(1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多边形的边数；(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线”，你认为A同学说法正确吗？为什么？解：(1)根据题意得：eq\f(1,2)n(n－3)＝14，整理得：n2－3n－28＝0，解得：n＝7或n＝－4.∵n为大于等于3的整数，∴n＝－4不合题意，舍去．∴n＝7，即多边形是七边形(2)A同学说法是不正确的，理由如下：当eq\f(1,2)n(n－3)＝10时，整理得：n2－3n－20＝0，解得：n＝eq\f(3±\r(89),2)，∴符合方程n2－3n－20＝0的正整数n不存在，∴多边形的对角线不可能有10条23．(8分)(来源·眉山)某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润10元．调查表明：生产每提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元．(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属第几档次产品；(2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次)．答：此批次蛋糕属第三档次产品(2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意得：(2x＋8)×(76＋4－4x)＝1080，整理得：x2－16x＋55＝0，解得：x1＝5，x2＝11(不合题意，舍去)．答：该烘焙店生产的是第五档次的产品24．(10分)(来源·烟台)今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，来源年单价为162元．(1)求2015年到来源年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；(2)选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案，试问去哪个商场购买足球更优惠？解：(1)设2015年到来源年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x，根据题意得：200×(1－x)2＝162，解得：x＝0.1＝10%或x＝1.9(舍去)．答：2015年到来源年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为10%(2)100×eq\f(10,11)＝eq\f(1000,11)≈90.91(个)，在A商城需要的费用为162×91＝14742(元)，在B商城需要的费用为162×100×eq\f(9,10)＝14580(元)．14742＞14580.答：去B商场购买足球更优惠25．(10分)某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为__26.8__万元；(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)解：(1)26.8(2)设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为：28－[27－0.1(x－1)]＝(0.1x＋0.9)(万元)，当0≤x≤10，根据题意，得x·(0.1x＋0.9)＋0.5x＝12，整理，得x2＋14x－120＝0，解这个方程，得x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6，当x＞10时，根据题意，得x·(0.1x＋0.9)＋x＝12，整理，得x2＋19x－120＝0，解这个方程，得x1＝－24(不合题意，舍去)，x2＝5，因为5＜10，所以x2＝5舍去．答：需要售出6部汽车第三章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(来源·大连)同时抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币全部正面向上的概率为(A)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)2．一天晚上，小丽在清洗两只颜色分别为粉色和白色的有盖茶杯时，突然停电了，小丽只好把杯盖和茶杯随机搭配在一起，则其颜色搭配一致的概率是(B)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4)D．13．在一个不透明的袋子中装有1个白球，1个黄球，2个红球，这4个球大小形状质地等完全相同，从袋中摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)4．(来源·恩施州)小明和他的爸爸妈妈共3人站成一排拍照，他的爸爸妈妈相邻的概率是(D)A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(2,3)5．某超市举行购物“翻牌抽奖”活动，如图所示，四张牌分别对应价值5，10，15，20(单位：元)的四件奖品，如果随机翻两张牌，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，则所获奖品总价值不低于30元的概率为(C)A.eq\f(1,2)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(3,4)6．忽如一夜春风来，千树万树梨花开，在清明假期期间，小梅和小北姐弟二人准备一起去采摘园赏梨花，但因家中临时有事，必须留下一人在家，于是姐弟二人采用游戏的方式来确定谁去赏梨花，游戏规则：在不透明的口袋中分别放入2个白色和1个黄色的乒乓球，它们除颜色外其余都相同，游戏时先由小梅从中任意摸出1个乒乓球记下颜色后放回并摇匀，再由小北从口袋中摸出1个乒乓球，记下颜色，如果姐弟二人摸到的乒乓球颜色相同，则小梅赢，否则小北赢．则小北赢的概率是(D)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9)D.eq\f(4,9)7．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色，下列说法正确的是(D)A．两个转盘转出蓝色的概率一样大B．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性变小了C．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同D．游戏者配成紫色的概率为eq\f(1,6),第5题图),第7题图),第10题图)8．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有(D)A．16个B．15个C．13个D．12个9．一项“过关游戏”规定：在过第n关时要将一颗质地均匀的骰子(六个面上分别刻有1到6的点数)抛掷n次，若n次抛掷所出现的点数之和大于eq\f(5,4)n2，则算过关；否则不算过关，则能过第二关的概率是(A)A.eq\f(13,18)B.eq\f(5,18)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,9)10．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2在x轴上，点B1，B2在y轴上，其坐标分别为A1(1，0)，A2(2，0)，B1(0，1)，B2(0，2)，分别以A1、A2、B1、B2其中的任意两点与点O为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是(D)A.eq\f(3,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)二、填空题(每小题3分，共18分)11．(来源·深圳)在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是__eq\f(2,3)__．12．如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是__eq\f(1,2)__．13．(来源·青海)有两个不透明的盒子，第一个盒子中有3张卡片，上面的数字分别为1，2，2；第二个盒子中有5张卡片，上面的数字分别为1，2，2，3，3.这些卡片除了数字不同外，其它都相同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为__eq\f(4,15)__．14．在一个不透明的袋子里装有黄色、白色乒乓球共40个，除颜色外其他完全相同．小明从这个袋子中随机摸出一球，放回．通过多次摸球实验后发现，摸到黄色球的概率稳定在15%附近，则袋中黄色球可能有__6__个．15．(来源·山西)如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”，“2”，“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数(当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域)，则两次指针指向的数都是奇数的概率为__eq\f(4,9)__.16．已知a、b可以取－2、－1、1、2中任意一个值(a≠b)，则直线y＝ax＋b的图象不经过第四象限的概率是__eq\f(1,6)__.三、解答题(共72分)17．(6分)(来源·长春)一个不透明的口袋中有一个小球，上面分别标有字母a，b，c，每个小球除字母不同外其余均相同，小园同学从口袋中随机摸出一个小球，记下字母后放回且搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球记下字母．用画树状图(或列表)的方法，求小园同学两次摸出的小球上的字母相同的概率．eq\a\vs4\al(解：列表如下：,,,,,)abca(a，a)(b，a)(c，a)b(a，b)(b，b)(c，b)c(a，c)(b，c)(c，c)所有等可能的情况有9种，其中两次摸出的小球的标号相同的情况有3种，则P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)18．(6分)如图，甲、乙用4张扑克牌玩游戏，他俩将扑克牌洗匀后背面朝上，放置在桌面上，每人抽一张，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回．甲、乙约定：只有甲抽到的牌面数字比乙大时甲胜；否则乙胜．请你用树状图或列表法说明甲、乙获胜的机会是否相同．解：画树状图略，共有12种等可能的结果，甲抽到的牌面数字比乙大的有5种情况，小于等于乙的有7种情况，∴P(甲胜)＝eq\f(5,12)，P(乙胜)＝eq\f(7,12)，∴甲、乙获胜的机会不相同19．(7分)(来源·日照)若n是一个两位正整数，且n的个位数字大于十位数字，则称n为“两位递增数”(如13，35，56等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从由数字1，2，3，4，5，6构成的所有的“两位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．(1)写出所有个位数字是5的“两位递增数”；(2)请用列表法或树状图，求抽取的“两位递增数”的个位数字与十位数字之积能被10整除的概率．解：(1)根据题意所有个位数字是5的“两位递增数”是15、25、35、45这4个(2)画树状图为：共有15种等可能的结果数，其中个位数字与十位数字之积能被10整除的结果数为3，所以个位数字与十位数字之积能被10整除的概率＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5)20．(7分)(来源·扬州)小明、小刚和小红打算各自随机选择本周日的上午或下午去扬州马可波罗花世界游玩．(1)小明和小刚都在本周日上午去游玩的概率为________；(2)求他们三人在同一个半天去游玩的概率．解：(1)eq\f(1,4)(2)由树状图可知，他们三人在同一个半天去游玩的结果有(上，上，上)、(下，下，下)这2种，∴他们三人在同一个半天去游玩的概率为eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)21．(8分)在3×3的方格纸中，点A、B、C、D、E、F分别位于如图所示的小正方形的顶点上．(1)从A、D、E、F四个点中任意取一点，以所取的这一点及点B、C为顶点画三角形，则所画三角形是等腰三角形的概率是______；(2)从A、D、E、F四个点中先后任意取两个不同的点，以所取的这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率(用树状图或列表法求解)．解：(1)eq\f(1,4)(2)用树状图列出所有可能的结果：∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率P＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)22．(10分)(来源·青海)某批彩色弹力球的质量检验结果如下表：抽取的彩色弹力球数n5001000150020002500优等品频数m471946142618982370优等品频率eq\f(m,n)0.9420.9460.9510.9490.948(1)请在图中完成这批彩色弹力球“优等品”频率的折线统计图；(2)这批彩色弹力球“优等品”概率的估计值大约是多少？(直接写出结果，精确到0.01)(3)从这批彩色弹力球中选择5个黄球、13个黑球、22个红球，它们除了颜色外都相同，将它们放入一个不透明的袋子中，求从袋子中摸出一个球是黄球的概率；(4)现从第(3)问所说的袋子中取出若干个黑球，并放入相同数量的黄球，搅拌均匀，使从袋子中摸出一个黄球的概率为eq\f(1,4)，求取出了多少个黑球？解：(1)如图(2)0.95(3)eq\f(1,8)(4)设取出了x个黑球，则放入了x个黄球，则eq\f(5＋x,5＋13＋22)＝eq\f(1,4)，解得x＝5.答：取出了5个黑球23．(8分)随机抛掷图中均匀的正四面体(正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字)，并且自由转动图中的转盘(转盘被分成面积相等的五个扇形区域)．(1)求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；(2)设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2＋3x＋eq\f(b,4)＝0有实数根的概率．解：(1)画树状图略，总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的有3种情况，故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为：eq\f(3,20)(2)∵方程ax2＋3x＋eq\f(b,4)＝0有实数根的条件为：9－ab≥0，∴满足ab≤9的结果共有14种：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，∴关于x的方程ax2＋3x＋eq\f(b,4)＝0有实数根的概率为：eq\f(14,20)＝eq\f(7,10)24．(10分)一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，4，5，x.甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：摸球总次数1020306090120180240330450“和为8”出现的频数210132430375882110150“和为8”出现的频率0.200.500.430.400.330.310.320.340.330.33解答下列问题：(1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________；(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是eq\f(1,3)，那么x的值可以取7吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果x的值不可以取7，请写出一个符合要求的x值．解：(1)0.33(2)当x＝7时，则两个小球上数字之和为9的概率是：eq\f(2,12)＝eq\f(1,6)，故x的值不可以取7，∵出现和为9的概率是三分之一，即有3种可能，∴3＋x＝9或5＋x＝9或4＋x＝9，解得x＝4，x＝5，x＝6，当x＝6时，出现和为8的概率为eq\f(1,6)，故x＝6舍去，故x的值可以为4，5其中一个25．(10分)小明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(除颜色外其余都相同)，其中红球2个(分别标有1号、2号)，蓝球1个．若从中任意摸出一个球，它是蓝球的概率为eq\f(1,4).(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次任意摸一个球(不放回)，第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格的方法，求两次摸到不同颜色球的概率；(3)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球(每次摸1个球，摸后放回)得20分，问小明有哪几种摸法？解：(1)1个(2)画树状图如图，所以两次摸到不同颜色球的概率为：P＝eq\f(10,12)＝eq\f(5,6)(3)设小明摸到红球x次，摸到黄球y次，则摸到红球有(6－x－y)次，由题意得5x＋3y＋(6－x－y)＝20，即2x＋y＝7，y＝7－2x.因为x、y、(6－x－y)均为自然数，所以当x＝1时，y＝5，6－x－y＝0；当x＝2时，y＝3，6－x－y＝1；当x＝3时，y＝1，6－x－y＝2；综上：小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次；或2次、2次、1次；或3次、1次、2次

期中检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．已知关于x的一元二次方程x2＋ax－3a＝0的一个根是2，则a等于(B)A．5B．4C．3D．22．(来源·益阳)下列判断错误的是(D)A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．四个内角都相等的四边形是矩形C．四条边都相等的四边形是菱形D．两条对角线垂直且平分的四边形是正方形3．(来源·遂宁)关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有两个实数根，则a的取值范围为(C)A．a≤2B．a＜2C．a≤2且a≠1D．a＜2且a≠14．菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是(6，0)，点A的纵坐标是1，则点B的坐标是(B)A．(3，1)B．(3，－1)C．(1，－3)D．(1，3)5．(来源·凉山州)若关于x的方程x2＋2x－3＝0与eq\f(2,x＋3)＝eq\f(1,x－a)有一个解相同，则a的值为(C)A．1B．1或－3C．－1D．－1或36．(来源·河北)如图是边长为10cm的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据(单位：cm)不正确的是(A)7．(来源·湖州)一个布袋里装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则两次摸到的球都是红球的概率是(D)A.eq\f(1,16)B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,8)D.eq\f(9,16)8．(来源·兰州)王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为(C)A．(80－x)(70－x)＝3000B．80×70－4x2＝3000C．(80－2x)(70－2x)＝3000D．80×70－4x2－(70＋80)x＝3000,第8题图),第9题图),第10题图)9．(来源·郴州)如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是(C)A．7B．8C．7eq\r(2)D．7eq\r(3)10．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将△DEF沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N.有下列四个结论：①DF＝CF；②BF⊥EN；③△BEN是等边三角形；④S△BEF＝3S△DEF.其中，将正确结论的序号全部选对的是(B)A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④点拨：由折叠的性质、矩形的性质与角平分线的性质，可证得CF＝FM＝DF，①正确；易求得∠BFE＝∠BFN，则可得BF⊥EN，②正确；易证得△BEN是等腰三角形，但无法判定是等边三角形，③错误；易求得BM＝2EM＝2DE，即可得EB＝3EM，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，④正确二、填空题(每小题3分，共18分)11．(来源·贵阳)方程(x－3)(x－9)＝0的根是__x1＝3，x2＝9__．12．(来源·黑龙江)如图，在平行四边形ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB请你添加一个条件__EB＝DC(答案不唯一)__，使四边形DBCE是矩形．,第12题图),第13题图),第15题图),第16题图)13．(来源·绍兴)如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD，GF⊥BC，AD＝1500m，小敏行走的路线为B→A→G→E，小聪行走的路线为B→A→D→E→F.若小敏行走的路程为3100m，则小聪行走的路程为__4600__m.14．(来源·绵阳)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，则事件“两枚骰子的点数和小于8且为偶数”的概率是__eq\f(1,4)__．15．(来源·宿迁)如图，邻边不等的矩形花圃ABCD，它的一边AD利用已有的围墙，另外三边所围的栅栏的总长度是6m．若矩形的面积为4m2，则AB的长度是__1__m．(可利用的围墙长度超过6m)16．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE＋CF＝2，则线段EF长的最小值是__eq\r(3)__．三、解答题(共72分)17．(6分)解下列方程：(1)4x2－(3x＋1)2＝0;(2)x2－6x＋2＝0.解：x1＝－eq\f(1,5)，x2＝－1解：x1＝3＋eq\r(7)，x2＝3－eq\r(7)18．(6分)(来源·雅安)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，且AE＝CF.(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若正方形边长为4，AE＝eq\r(2)，求菱形BEDF的面积．(1)证明：连接BD交AC于点O，∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形(2)解：∵正方形边长为4，∴BD＝AC＝4eq\r(2)，∵AE＝CF＝eq\r(2)，∴EF＝2eq\r(2)，∴S菱形BEDF＝eq\f(1,2)BD·EF＝eq\f(1,2)×4eq\r(2)×2eq\r(2)＝819．(7分)(来源·巴中)某商店准备进一批季节性小家电，进价40元．经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个，定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个，商店若想获利2000元，则应进货多少个？定价为多少元？解：设每个商品的定价是x元，由题意得(x－40)[180－10(x－52)]＝2000，整理得x2－110x＋3000＝0，解得x1＝50，x2＝60.当x＝50时，进货180－10(50－52)＝200个＞180个，不符合题意，舍去；当x＝60时，进货180－10(60－52)＝100个＜180个，符合题意．答：当该商品每个定价为60元时，进货100个20．(7分)(来源·南充)已知关于x的一元二次方程x2－(m－3)x－m＝0(1)求证：方程有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两实根为x1、x2，且x12＋x22－x1x2＝7，求m的值．证明：(1)∵x2－(m－3)x－m＝0，∴Δ＝[－(m－3)]2－4×1×(－m)＝m2－2m＋9＝(m－1)2＋8＞0，∴方程有两个不相等的实数根(2)∵x2－(m－3)x－m＝0，方程的两实根为x1、x2，且x12＋x22－x1x2＝7，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝7，∴(m－3)2－3×(－m)＝7，解得m1＝1，m2＝2，即m的值是1或221．(8分)(来源·泰州)如图，正方形ABCD中，G为BC边上一点，BE⊥AG于E，DF⊥AG于F，连接DE.(1)求证：△ABE≌△DAF；(2)若AF＝1，四边形ABED的面积为6，求EF的长．证明：(1)易证△ABE≌△DAF(AAS)(2)设EF＝x，则AE＝DF＝x＋1，由题意2×eq\f(1,2)×(x＋1)×1＋eq\f(1,2)×x×(x＋1)＝6，解得x＝2或－5(舍去)，∴EF＝222．(8分)(来源·锦州)传统节日“端午节”的早晨，小文妈妈为小文准备了四个粽子作早点：一个枣馅粽，一个肉馅粽，两个花生馅粽，四个粽子除内部馅料不同外，其它一切均相同．(1)小文吃前两个粽子刚好都是花生馅粽的概率为__eq\f(1,6)__；(2)若妈妈在早点中给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性是否会增大？请说明理由．解：(1)eq\f(1,6)(2)会增大，理由：分别用A，B，C表示枣馅粽，肉馅粽，花生馅粽，画树状图得：∵共有20种等可能的结果，两个都是花生的有6种情况，∴都是花生的概率为：eq\f(6,20)＝eq\f(3,10)＞eq\f(1,6)；∴给小文再增加一个花生馅的粽子，则小文吃前两个粽子都是花生馅粽的可能性会增大23．(8分)(来源·重庆)为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．(1)筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？(2)经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%(其中a＞0)．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了eq\f(10,9)a%，求a的值．解：(1)设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有(30000－x)元，根据题意得30000－x≥3x，解得x≤7500.答：最多用7500元购买书桌、书架等设施(2)根据题意得200(1＋a%)×150(1－eq\f(10,9)a%)＝20000整理得a2＋10a－3000＝0，解得a＝50或a＝－60(舍去)，所以a的值是5024．(10分)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，E、P分别在AD、BC上，且DE＝BP＝1.(1)判断△BEC的形状，并说明理由？(2)判断四边形EFPH是什么特殊四边形？并证明你的判断；(3)求四边形EFPH的面积．解：(1)△BEC是直角三角形．理由是：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，AB＝CD＝2，由勾股定理得：CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，同理BE＝2eq\r(5)，∴CE2＋BE2＝5＋20＝25，∵BC2＝52＝25，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形(2)四边形EFPH为矩形，证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP，∵AD＝BC，AD∥BC，DE＝BP，∴AE＝CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形，∵∠BEC＝90°，∴平行四边形EFPH是矩形(3)在Rt△PCD中，FC⊥PD，由三角形的面积公式得：PD·CF＝PC·CD，∴CF＝eq\f(4×2,2\r(5))＝eq\f(4,5)eq\r(5)，∴EF＝CE－CF＝eq\r(5)－eq\f(4,5)eq\r(5)＝eq\f(1,5)eq\r(5)，∵PF＝eq\r(PC2－CF2)＝eq\f(8,5)eq\r(5)，∴S矩形EFPH＝EF·PF＝eq\f(8,5)，答：四边形EFPH的面积是eq\f(8,5)25．(12分)(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE.求证：CE＝CF；(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用(1)的结论证明：GE＝BE＋GD；(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE＝10，求四边形ABCD的面积．(1)证明：易证△CBE≌△CDF(SAS)．∴CE＝CF(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF＝BE，连接CF.由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF.∴∠BCE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°，又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°.∵CE＝CF，GC＝GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE＝GF，∴GE＝GF＝DF＋GD＝BE＋GD(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.在四边形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°，又∵∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四边形ABCG为正方形．∴AG＝BC.∵∠DCE＝45°，根据(1)(2)可知，ED＝BE＋DG.∴10＝4＋DG，即DG＝6.设AB＝x，则AE＝x－4，AD＝x－6，在Rt△AED中，∵DE2＝AD2＋AE2，即102＝(x－6)2＋(x－4)2.解这个方程，得x＝12或x＝－2(舍去)．∴AB＝12.∴S梯形ABCD＝eq\f(1,2)(AD＋BC)·AB＝eq\f(1,2)×(6＋12)×12＝108.即梯形ABCD的面积为108第四章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．如果mn＝ab，那么下列比例式中错误的是(C)A.eq\f(a,m)＝eq\f(n,b)B.eq\f(a,n)＝eq\f(m,b)C.eq\f(m,a)＝eq\f(n,b)D.eq\f(m,a)＝eq\f(b,n)2．如图，AC∥BD，直线l1，l2与这两条平行线分别交于点A，B和点C，D，l1与l2交于点E，若eq\f(AE,BE)＝eq\f(1,2)，则eq\f(CE,CD)的值是(B)A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D．2,第2题图),第3题图),第6题图)3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，DE⊥BC，那么与△ABC相似的三角形的个数有(D)A．1个B．2个C．3个D．4个4．在中华经典美文阅读中，刘明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为20cm，则它的宽约为(A)A．12.36cmB．13.6cmC．32.36cmD．7.64cm5．(来源·通辽)某人要在报纸上刊登广告，一块10cm×5cm的矩形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他应付广告费(C)A．540元B．1080元C．1620元D．1800元6．(来源·永州)如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为(C)A．1B．2C．3D．47．(来源·眉山)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为(B)A．1.25尺B．57.5尺C．6.25尺D．56.5尺,第7题图),第8题图),第9题图),第10题图)8．如图所示，在矩形ABCD中，F是DC上一点，AE平分∠BAF交BC于点E，且DE⊥AF，垂足为点M，BE＝3，AE＝2eq\r(6)，则MD的长是(C)A.eq\r(15)B.eq\f(\r(15),10)C．1D.eq\f(\r(15),15)点拨：设DM＝a，证△AEM≌△AEB，△ADM≌△DEC，可得(a＋3)2＝a2＋(eq\r(15))29．如图，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，则点B的横坐标是(D)A．－eq\f(1,2)aB．－eq\f(1,2)(a＋1)C．－eq\f(1,2)(a－1)D．－eq\f(1,2)(a＋3)10．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E，点F是CD边上一点(不与点D重合)．点P为DE上一动点，PE＜PD，将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边交射线DA于H，G两点，有下列结论：①DH＝DE；②DP＝DG；③DG＋DF＝eq\r(,2)DP；④DP·DE＝DH·DC.其中一定正确的是(D)A．①②B．②③C．①④D．③④二、填空题(每小题3分，共18分)11．若x∶y＝1∶2，则eq\f(x－y,x＋y)＝__－eq\f(1,3)__．12．若△ABC∽△A′B′C′，且AB∶A′B′＝3∶4，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为__16_cm__.13．(来源·锦州)如图，E为▱ABCD的边AB延长线上的一点，且BE∶AB＝2∶3，连接DE交BC于点F，则CF∶AD＝__3∶5__．,第13题图),第14题图),第15题图),第16题图)14．(来源·阿坝州)如图，在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，D(3，0)，△ABC与△DEF位似，原点O是位似中心．若AB＝1.5，则DE＝__4.5__．15．如图，测量小玻璃管口径的量具ABC，AB的长为10cm，AC被分为60等份．如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB)，那么小玻璃管口径DE是__eq\f(20,3)__m.16．如图，在△ABC中，分别以AC，BC为边作等边△ACD和等边△BCE.设△ACD，△BCE，△ABC的面积分别是S1，S2，S3，现有如下结论：①S1∶S2＝AC2∶BC2；②连接AE，BD，则△BCD≌△ECA；③若AC⊥BC，则S1·S2＝eq\f(3,4)S32.其中结论正确的序号是__①②③__．三、解答题(共72分)17．(6分)如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l1，l2于点A，B，C和点D，E，F，如果AB＝6，BC＝8，DF＝21，求DE的长．解：设DE＝x，则EF＝21－x.∵AD∥BE∥CF，∴eq\f(AB,BC)＝eq\f(DE,EF)，即eq\f(6,8)＝eq\f(x,21－x)，解得x＝9.经检验，x＝9是原分式方程的解，∴DE＝918．(6分)(来源·凉山州)如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)、B(2，1)、C(4，5)．(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，并求出△A2B2C2的面积．解：(1)如图所示，△A1B1C1就是所求三角形(2)如图所示，△A2B2C2就是所求三角形．分别过点A2、C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E、F，∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2，∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)，∴S△A2B2C2＝8×10－eq\f(1,2)×6×2－eq\f(1,2)×4×8－eq\f(1,2)×6×10＝2819．(6分)九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆高度CD＝3m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6m，人与标杆CD的水平距离DF＝2m，则旗杆AB的高度．解：∵CD⊥FB，∴AB⊥FB，∴CD∥AB，∴△CGE∽△AHE，∴eq\f(CG,AH)＝eq\f(EG,EH)，即：eq\f(CD－EF,AH)＝eq\f(FD,FD＋BD)，∴eq\f(3－1.6,AH)＝eq\f(2,2＋15)，∴AH＝11.9，∴AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)20．(7分)如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，AD＝BC，E是DC延长线上的点，连接AE，交BC于点F.(1)求证：△ABF∽△ECF；(2)如果AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，求CE的长．(1)证明：∵DC∥AB，∴∠B＝∠ECF，∠BAF＝∠E，∴△ABF∽△ECF(2)解：∵AD＝BC，AD＝5cm，AB＝8cm，CF＝2cm，∴BF＝3cm.∵由(1)知，△ABF∽△ECF，∴eq\f(BA,CE)＝eq\f(BF,CF)，即eq\f(8,CE)＝eq\f(3,2).∴CE＝eq\f(16,3)(cm)21．(8分)如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，点G是BC、AE延长线的交点，AG与CD相交于点F.(1)求证：四边形ABCD是正方形；(2)当AE＝2EF时，判断FG与EF有何数量关系？并证明你的结论．(1)证明： 易证△ABE≌△CBE，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是正方形(2)解：当AE＝2EF时，FG＝3EF.证明如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE.∵AE＝2EF，∴BE∶DE＝AE∶EF＝2.∴BG∶AD＝BE∶DE＝2，即BG＝2AD.∵BC＝AD，∴CG＝AD.易证△ADF∽△GCF，∴FG＝AF，即FG＝AF＝AE＋EF＝3EF22．(8分)(来源·泰安)如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD.(1)证明：∠BDC＝∠PDC；(2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长．(1)证明：∵AB＝AD，AC平分∠BAD，∴AC⊥BD，∴∠ACD＋∠BDC＝90°，∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC，∴∠ADC＋∠BDC＝90°，∵PD⊥AD，∴∠ADC＋∠PDC＝90°，∴∠BDC＝∠PDC(2)解：过点C作CM⊥PD于点M，∵∠BDC＝∠PDC，∴CE＝CM，∵∠CMP＝∠ADP＝90°，∠P＝∠P，∴△CPM∽△APD，∴eq\f(CM,AD)＝eq\f(PC,PA)，设CM＝CE＝x，∵CE∶CP＝2∶3，∴PC＝eq\f(3,2)x，∵AB＝AD＝AC＝1，∴eq\f(x,1)＝eq\f(\f(3,2)x,\f(3,2)x＋1)，解得x＝eq\f(1,3)，故AE＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)23．(9分)晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE⊥NQ.请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．(结果精确到0.01米)解：由题意得：∠CAD＝∠MND＝90°，∠CDA＝∠MDN，∴△CAD∽△MND，∴eq\f(CA,MN)＝eq\f(AD,ND)，∴eq\f(1.6,MN)＝eq\f(1×0.8,（5＋1）×0.8)，∴MN＝9.6，又∵∠EBF＝∠MNF＝90°，∠EFB＝∠MFN，∴△EFB∽△MFN，∴eq\f(EB,MN)＝eq\f(BF,NF)，∴eq\f(EB,9.6)＝eq\f(2×0.8,（2＋9）×0.8)，∴EB≈1.75，∴小军身高约为1.75米24．(10分)如图(1)是一种广场三联漫步机，其侧面示意图如图(2)所示，其中AB＝AC＝120cm，BC＝80cm，AD＝30cm，∠DAC＝90°.(1)求点A到地面的距离；(2)求点D到地面的高度是多少？解：(1)过A作AF⊥BC，垂足为F，过点D作DH⊥AF，垂足为H.∵AF⊥BC，垂足为F，∴BF＝FC＝eq\f(1,2)BC＝40cm.根据勾股定理，得AF＝eq\r(AB2－BF2)＝eq\r(1202－402)＝80eq\r(2)(cm)(2)∵∠DHA＝∠DAC＝∠AFC＝90°，∴∠DAH＋∠FAC＝90°，∠C＋∠FAC＝90°，∴∠DAH＝∠C，∴△DAH∽△ACF，∴eq\f(AH,FC)＝eq\f(AD,AC)，∴eq\f(AH,40)＝eq\f(30,120)，∴AH＝10cm，∴HF＝(10＋80eq\r(2))cm.答：D到地面的高度为(10＋80eq\r(2))cm25．(12分)从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．(1)如图1，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；(2)在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；(3)如图2，在△ABC中，AC＝2，BC＝eq\r(,2)，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．解：(1)如图1中，∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝80°，∴△ABC不是等腰三角形，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝eq\f(1,2)∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形，∵∠DCB＝∠A＝40°，∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线(2)①当AD＝CD时，如图3，∠ACD＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝96°；②当AD＝AC时，如图4中，∠ACD＝∠ADC＝eq\f(180°－48°,2)＝66°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝114°；③当AC＝CD时，如图5中，∠ADC＝∠A＝48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∵∠ADC＞∠BCD，矛盾，舍弃．∴∠ACB＝96°或114°(3)由已知AC＝AD＝2，∵△BCD∽△BAC，∴eq\f(BC,BA)＝eq\f(BD,BC)，设BD＝x，∴(eq\r(,2))2＝x(x＋2)，∵x＞0，∴x＝eq\r(,3)－1，∵△BCD∽△BAC，∴eq\f(CD,AC)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(\r(,3)－1,\r(,2))，∴CD＝eq\f(\r(,3)－1,\r(,2))×2＝eq\r(,6)－eq\r(,2)第五章检测题(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列各种现象属于中心投