2020年上海市黄浦区九年级(上)第一次月考数学试卷

月考数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）东海大桥全长35千米，如果东海大桥在某张地图上的长为7厘米，那么该地图上距离与实际距离的比为（）A.1：500000 B.1：50000 C.1：5000 D.1：500下列命题中，真命题的个数是（）

（1）等腰三角形都相似；（2）直角三角形都相似；（3）等腰直角三角形都相似A.0 B.1 C.2 D.3如图，已知AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，那么下列结论正确的是（）

A.AC：AE=2：5 B.AB：CD=2：5 C.CD：EF=2：5 D.CE：EA=5：7如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上的一点，CE交AD于点F，下列各式中错误的是（）A.

B.

C.

D.

如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是（）A.

B.

C.

D.

如图，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子CD的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子EF的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度AB等于（）A.4.5米 B.6米 C.7.2米 D.8米二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=9，c=4，那么b=______．若，则的值等于______．△ABC和△EBD中，===，若△ABC与△EBD的周长之差为12cm，则△ABC的周长是______cm．如图，DE∥BC，=，BC=6，那么ED=______．

如图，△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，若AC=6，BC=9，则DE=______．

如图，点D、E分别在△ABC的边上AB、AC上，且∠AED=∠ABC，若DE=3，BC=6，AB=7，则AE的长为______．

已知线段AB=6，C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，则AC的长度为______．如果两个相似三角形的对应边的比为1：9，那么它们的面积比等于______．在△ABC中，若AB=AC=10cm，BC=16cm，则这个三角形的重心G到BC的距离是______cm．如图，在△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D在腰AC上，且BD=BC，那么CD=______．

如图，△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，F是BC的中点，EF⊥BC交AB于E，若BE：AB=3：4，则BD：DC=______．

如图，将边长为6的正方形ABCD折叠，使点D落在AB边的中点E处，折痕为FH，点C落在点Q处，EQ与BC交于点G，则△EBG的周长是______cm．

三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）已知，2x=3y=5z，求的值．

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=3，BC=5，E、F是两腰上的点，且EF∥AD，AE：EB=1：2，试求EF的长．

已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图一）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图二）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？

如图，点D、F是△ABC的AB边上的两点，满足AD2=AF•AB，联结CD，过点F作EF∥DC，交边AC于E，联结DE．

（1）求证：DE∥BC；

（2）△DBC的面积为3，△DEC的面积为2，求△ABC的面积．

已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD=BC•BE

（1）求证：DE•AB=AC•BE；

（2）如果AC2=AD•AB，求证：AE=AC．

如图，AB=16cm，AC=12cm，动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动，其中点P从点A出发，沿AC边一直移到点C为止，点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止，（点P到达点C后，点Q继续运动）

（1）请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长，并写出定义域．

（2）当t等于何值时，△APQ与△ABC相似？

已知△ABC，AB=AC=5，BC=8，∠PDQ的顶点D在BC边上，DP交AB边于点E，DQ交AB边于点O且交CA的延长线于点F（点F与点A不重合），设∠PDQ=∠B，BD=3．

（1）求证：△BDE∽△CFD；

（2）设BE=x，OA=y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；

（3）当△AOF是等腰三角形时，求BE的长．

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：35千米=3.5×106cm．则该地图上距离与实际距离的比为7：3.5×106=1：500000．

故选：A．

该地图上距离与实际距离的比，就是东海大桥地图上的长度与实际长度的比值

此题是对比例尺定义的考查，在求比值时注意对单位进行统一，是解决本题的关键．

2.【答案】B

【解析】解：A、没有指明角相等或边对应成比例，所以不能判定其相似，故不正确；

B、没有指明角相等或对应边成比例，所以不能判定其相似，故不正确；

C、等腰直角三角形有三组角对应相等，故可判定相似，故正确；

所以B为真命题，故选B．

根据相似三角形的判定方法及各三角形的性质进行分析，从而得到答案．

此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．

3.【答案】D

【解析】解：∵AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，

∴=，

∵AE=AC+CE，

∴CE：EA=5：7．

故选：D．

由AB∥CD∥EF，BD：DF=2：5，根据平行线分线段成比例定理，即可求得=，又由AE=AC+CE，即可求得答案．

此题考查了平行线分线段成比例定理．此题比较简单，解题的关键是注意对应线段．

4.【答案】D

【解析】解：∵AD∥BC

∴

∵CD∥BE

∴△CDF∽△EBC

∴，

∴

∵AD∥BC

∴△AEF∽△EBC

∴

∴D错误．

故选：D．

根据平行四边形的性质和相似三角形的性质求解．

此题主要考查了平行四边形、相似三角形的性质．

5.【答案】B

【解析】解：设网格的边长是1，

则AB==，

BC==，

AC==2，

∴AB：AC：BC=：2：=1：2：，

A、三边之比是，2：：3≠1：2：，故本选项错误；

B、三边之比是，2：4：2=1：2：，故本选项正确；

C、三边之比是，2：3：≠1：2：，故本选项错误；

D、三边之比是，：：4≠1：2：，故本选项错误．

故选：B．

根据网格的特点，利用勾股定理求出△ABC各边的长度，求出三边的比，然后结合四个选项即可得解．

本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，网格图形的性质，分别求出各图形的三角形的三边之比是解题的关键，难度不大，但计算比较复杂．

6.【答案】B

【解析】解：如图，GC⊥BC，AB⊥BC，

∴GC∥AB，

∴△GCD∽△ABD（两个角对应相等的两个三角形相似），

∴，

设BC=x，则，

同理，得，

∴，

∴x=3，

∴，

∴AB=6．

故选：B．

由于人和地面是垂直的，即和路灯到地面的垂线平行，构成两组相似．根据对应边成比例，列方程解答即可．

本题考查相似三角形性质的应用．在解答相似三角形的有关问题时，遇到有公共边的两对相似三角形，往往会用到中介比，它是解题的桥梁，如该题中的“”．

7.【答案】6

【解析】解：若b是a、c的比例中项，

即b2=ac．则b===6

根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．

本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．

8.【答案】-5

【解析】解：设==k，则a=2k，b=3k，

∴===-5．

故答案为-5．

由于=，则不妨是它们的比值为k，则a=2k，b=3k，然后把a=2k，b=3k代入中，分别计算分子与分母，再约分即可．

本题考查了比例的性质：若=，则ad=bc．

9.【答案】30

【解析】解：设△ABC的周长为xcm，则△EBD的周长为（x-12）cm，

∵△ABC和△EBD中，===，

∴△ABC∽△EBD，

∴=，

即=，

解得：x=30，

即△ABC的周长为30cm，

故答案为：30．

设△ABC的周长为xcm，则△EBD的周长为（x-12）cm，证明△ABC∽△EBD，由相似三角形的性质得出=，即=，解得x=30即可．

本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定方法，熟记相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．

10.【答案】2

【解析】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴==，

∴ED=BC=×6=2；

故答案为：2．

由平行线得出△ADE∽△ABC，得出==，即可得出答案．

本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．

11.【答案】

【解析】解：∵DE∥BC，

∴∠EDC=∠BCD，

∵CD平分∠ACB，

∴∠BCD=∠ECD，

∴∠ECD=∠EDC，

∴ED=EC，

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，

∴，

∴，

∴DE=，

故答案为：．

由平行线的性质和角平分线的性质可得∠ECD=∠EDC，可得ED=EC，通过证明△ADE∽△ABC，可得，即可求解．

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的性质，证明△ADE∽△ABC是本题的关键．

12.【答案】

【解析】解：∵∠AED=∠ABC，∠A=∠A，

∴△ADE∽△ACB，

∴=，即=，

解得：AE=，

故答案为：．

根据已知∠AED=∠ABC，∠A=∠A，证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质，列出比例式，代入已知数据求出AE的长．

本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握由两个角对应相等的三角形相似是解题的关键．

13.【答案】9-3

【解析】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＜CB，

∴CB=AB=×6=3-3，

∴AC=AB-CB=6-（3-3）=9-3．

故答案为9-3．

利用黄金分割的定义得到CB=AB，把AB=6代入计算，然后计算AB-CB即可．

本题考查了黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．

14.【答案】1：81

【解析】解：∵两个相似三角形的对应边的比为1：9，

∴它们的面积比等于1：81；

故答案为：1：81．

根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解决问题；

本题考查对相似三角形性质．熟记相似三角形的面积比等于相似比的平分是解题的关键．

15.【答案】2

【解析】解：∵AB=AC=10cm，

∴△ABC是等腰三角形，

∴三角形的重心G在BC边的高，

设该高为a，

根据勾股定理，a2+82=102

则a=6cm，

根据三角形的重心性质得，G到BC的距离是：6×=2cm，

故答案为：2．

根据等腰三角形的性质得到三角形的重心G在BC边的高，根据勾股定理求出高，根据重心的性质计算即可．

本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．

16.【答案】

【解析】解：∵AB=AC，BD=BC，

∴△ABC，△BCD为等腰三角形，

又∵底角∠BCA=∠BCD，

∴△ABC∽△BCD，

∴，即=，

解得CD=．

故答案为；．

依题意可证△ABC∽△BCD，利用相似比求CD即可．

本题考查了等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．关键是判断两个等腰三角形公共底角．

17.【答案】2：1

【解析】解：∵EF⊥BC，AD⊥BC，

∴EF∥AD，

∴==，

设BF=3a，则BD=4a，DF=a，

又∵F是BC的中点，

∴CF=BF=3a，

∴CD=2a，

∴BD：DC=4a：2a=2：1，

故答案为：2：1．

结合图形，已知F是BC的中点，根据平行线分线段成比例定理，即可得出BD和DC之间的比例关系．

本题主要考查了平行线分线段成比例定理的应用，掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．

18.【答案】12

【解析】解：由翻折的性质得，DF=EF，

设EF=x，则AF=6-x，

∵点E是AB的中点，

∴AE=BE=×6=3，

在Rt△AEF中，AE2+AF2=EF2，

即32+（6-x）2=x2，

解得x=，

∴AF=6-=，

∵∠FEG=∠D=90°，

∴∠AEF+∠BEG=90°，

∵∠AEF+∠AFE=90°，

∴∠AFE=∠BEG，

又∵∠A=∠B=90°，

∴△AEF∽△BGE，

∴==，

即==，

解得BG=4，EG=5，

∴△EBG的周长=3+4+5=12．

故答案为：12．

根据翻折的性质可得DF=EF，设EF=x，表示出AF，然后利用勾股定理列方程求出x，从而得到AF、EF的长，再求出△AEF和△BGE相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出BG、EG，然后根据三角形周长的定义列式计算即可得解．

本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟记性质并求出△AEF的各边的长，然后利用相似三角形的性质求出△EBG的各边的长是解题的关键，也是本题的难点．

19.【答案】解：设2x=3y=5z=k，则x=k，y=k，z=k，

∴==．

【解析】设2x=3y=5z=k，则x=k，y=k，z=k，代入代数式化简计算即可．

本题主要考查了比例的基本性质，利用设k法是解决问题的关键．

20.【答案】解：作AM∥CD交BC、EF于M、N两点，（1分）

又AD∥BC，EF∥AD，

∴四边形ADCM与ADFE均为平行四边形．（2分）

∴CM=NF=AD=3，（1分）

∴BM=BC-CM=2．（1分）

又，（2分）

∴．（2分）

∴．（1分）

【解析】作AM∥CD交BC、EF于M、N两点，将问题转化到△ABM中，利用平行线分线段成比例定理求EN，由EF=EN+NF=EN+AD进行求解．

本题考查了将梯形问题转化为三角形的问题的方法，即平移一腰，是常用的作辅助线的方法之一．

21.【答案】解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，

可得HO∥BN，

则△AOH∽△ABN，

故=，

∵AB长为3米，BN长为1.5米，

∴=①，

同理可得：△BOH∽△BAM，

则=，

∵AB长为3米，AM长为1米，

∴=②，

由①和②可得：AO=1.2

答：跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为1.2米．

【解析】直接利用相似三角形的判定与性质分别得出=，=，即可得出答案．

此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式是解题关键．

22.【答案】（1）证明：∵AD2=AF•AB，

∴=，

∵EF∥DC，

∴=，

∴=，

∴DE∥BC；

（2）解：∵DE∥BC，△DBC的面积为3，△DEC的面积为2，

∴△ADE∽△ABC，=，

∴=（）2=，

即=，

解得：△ABC的面积=9．

【解析】（1）由AD2=AF•AB得出=，由平行线分线段成比例定理得出=，得出=，即可得出DE∥BC；

（2）由平行线得出△ADE∽△ABC，由三角形面积关系得出=，由相似三角形的性质得出=（）2=，即可得出答案．

本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理以及平行线的判定等知识；熟练掌握平行线分线段成比例定理，证明三角形相似是解题的关键．

23.【答案】证明：（1）∵BA•BD=BC•BE，

∴，

又∵∠B=∠B，

∴△ABC∽△EBD，

∴，

∴DE•AB=AC•BE；

（2）∵AC2=AD•AB，

∴，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△ADC∽△ACB，

∴∠ACD=∠B，

∵，∠B=∠B，

∴△BAE∽△BCD，

∴∠BAE=∠BCD，

∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD，

∴∠AEC=∠ACE，

∴AE=AC．

【解析】（1）由BA•BD=BC•BE得，结合∠B=∠B，证△ABC∽△EBD得，即可得证；

（2）先根据AC2=AD•AB证△ADC∽△ACB得∠ACD=∠B，再由证△BAE∽△BCD得∠BAE=∠BCD，根据∠AEC=∠B+∠BAE，∠ACE=∠ACD+∠BCD可得∠AEC=∠ACE，即可得证．

本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似是解题的关键．

24.【答案】解：（1）由题意得：y1=2t（0≤t≤6），y2=16-t（0≤t≤16）；

（2）当0≤t≤6时，

①若QP∥BC，则有△AQP∽△ABC，

∴=，

∵AB=16cm，AC=12cm，AP=2tcm，AQ=（16-t）cm，

∴=，

解得：t=，

②∵∠A=∠A，若∠AQP=∠C，

则有△AQP∽△ACB

∴=，

∴=，

解得：t=6.4（不符合题意，舍去）；

当6≤t≤16时，点P与C重合，

∵∠A=∠A，只有当∠AQC=∠ACB时，有△AQC∽△ACB，

∴=，

∴=，

解得：t=7，

综上所述：

在0≤t≤6中，当t=时，△AQP∽△ABC，

在6≤t≤16中，当t=7时，△AQC∽△ACB．

【解析】（1）本题可结合三角形的周长，根据路程=速度×时间求出AP的长y1和AQ的长y2关于时间t的函数；

（2）分0≤t≤6，6≤t≤16两种情况，根据相似三角形的性质求出所用的时间．

本题主要考查了路程问题，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（2）中，要根据P点、Q点的不同位置进行分类求解．

25.【答案】解：（1）∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵∠EDC=∠B+∠BED，

∴∠FDC+∠EDO=∠B+∠BED，

∵∠EDO=∠B，

∴∠BED=∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴△BDE∽