岩土工程结构可靠讲义

岩土工程结构可靠讲义第1页/共248页《岩土工程结构可靠度》课程：32学时:9-16周，每周2次课（4学时）2学分:选修课程教材：《岩土工程结构可靠度》邓建编著成绩：平时成绩30%：适当的作业和到课考试成绩70%：开卷教学计划与管理第2页/共248页所需专业背景知识《概率论与数理统计》《结构设计原理与方法》《岩石力学》《土力学》《其它与岩土工程、地下工程的相关设计等》《Matlab程序设计》第3页/共248页第一章：绪论1.1引言1.2岩土工程中的不确定性1.3可靠度理论与实践的发展1.4可靠度分析的目的和程序第4页/共248页岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区别与共同点

可靠度是“产品或系统在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率”。

可靠性理论侧重于产品或一个系统的可靠度，主要是一些基础理论；岩土工程结构可靠度侧重于工程领域应用。岩土工程自身也是一系统，其可靠度的计算远比单个或一批产品的可靠度计算复杂。1.1引言第5页/共248页岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区别与共同点

产品失效率有浴盆曲线特征；岩土工程结构失效也有浴盆曲线特征，只不过其中间段(偶然失效期)一般比较长，特征不明显而已。第6页/共248页岩土工程结构可靠度与可靠性理论的区别与共同点彩色电视机的平均寿命为15000小时，假设其服从指数分布，如果我们每天使用2小时，5年的可靠度和10年的可靠度各为多少？解产品可靠度计算一土坡工程，得出状态函数：已知正压力均值为100KPa，标准差20KPa，土的磨擦角均值为35度，标准差5度，土的粘结力均值50KPa，标准差10KPa。求该土坡的安全度。岩土工程可靠度计算第7页/共248页传统工程结构设计

早期的工程结构设计一般采用容许应力法。容许应力法是按照结构构件的截面计算应力不大于规定的材料容许应力的原则，它要求在荷载作用下，结构或构件某截面应力不超过材料的容许应力。

随着工程结构分析方法的发展，出现了破损(或破坏)阶段设计法。破损阶段设计法与容许应力法的主要区别在于考虑材料的塑性性质，计算截面或构件在塑性状态下的承载能力。安全系数法第8页/共248页工程结构设计容许应力法破损阶段设计法应力-应变模型Mazars损伤模型应力-应变模型Loland损伤模型安全系数法第9页/共248页安全系数法优缺点

通常认为安全系数大于1，结构安全；安全系数小于1，结构将产生失稳。安全系数法由于使用方便，应用时间较长、应用范围也比较广。

但长时间的实践也证明，安全系数法具有局限性，表现在：

(1)由于安全系数是根据经验确定的数值，使结构设计非常粗糙。

(2)安全系数法不能作为度量结构可靠度的统一尺度。例如：强度均值相同，方差不同的材料，计算的安全系数一样，但安全度不会一样。

(3)加大结构的安全系数，不一定能按比例地增加结构的安全度。第10页/共248页安全系数法固有缺限

传统的安全系数法设计没有考虑到如下的事实：材料性能、构件尺寸以及结构的荷载都是随机的几何量或物理量，而不是确定的单值量。如岩土的强度测试离散性很大(如果正态分布，方差很大)，结构构件尺寸测量，各次测量的结果肯定有误差。安全系数法只是把这些不确定量用一个笼统的安全系数掩盖起来。

为克服这些缺点，人们发展一门新的学科——工程结构可靠度。第11页/共248页工程结构可靠度定义

工程结构可靠度是在规定的时间内、在规定的条件下，工程结构完成预定功能的能力。可靠度是从概率的角度对可靠性的定量描述。可靠度设计是以承认结构有失效(或破坏)的可能性为前提的。(1)半经验半概率法--对影响结构可靠度的某些参数进行数理统计分析，并与经验相结合，然后引入某些经验系数。该法对结构可靠度还不能作出定量的估计。(2)近似概率法--一次二阶矩法，它采用概率论的方法对结构可靠度进行计算，不过不是采用精确的计算方法，而是采用近似的方法计算结构的可靠度，是目前结构可靠度实际计算中应用最多的方法。(3)全概率法--是完全基于概率论的结构可靠度精确分析法。计算比较复杂，目前还很少直接使用该方法。工程结构设计方法第12页/共248页1.2岩土工程中的不确定性

岩土工程的介质很复杂。以岩体为例，岩体是地质体的一部分，这种地质体中存在着大量的结构面，如节理，裂隙，断层等，具有非常复杂的力学特性；以土介质为例，土体的含水率不同，内部孔隙及结构各异，所表现的力学性质(如强度)千差万别。岩土工程地质条件及岩体性质参数具有不确定性，岩土工程中的不确定性主要表现在三个方面：

(1)岩土本身固有的不均匀性；

(2)统计所带来的不确定性；

(3)模型不准确引起的不确定性。第13页/共248页(1)岩土自身固有的不均匀性

岩土介质与其它材料介质的最根本区别是它的性质和结构的不均匀性。

a、岩体中裂隙分布的不确定性：岩体中存在着大量结构面(断层和节理)。(照片)(in2)节理裂隙调查(in3)b、岩体力学性质的不确定性：岩体是非均质的各向异性体，各点间的性质往往有较大差异，同一试样在相同试验条件下测定其强度，结果也表现出一定的离散性。(岩石力学试验in4)

(岩石力学试验结果in5)c、所受载荷的不确定性：地下岩体工程的结构所受的载荷是多种多样的，同时也具有不确定性，如岩石容重、地应力、地下水、地震、爆破震动、降雨等，这些载荷很难用确定性指标描述，它们都是随机变量第14页/共248页(2)统计所带来的不确定性

目前人们对岩体性质参数的掌握主要方法是通过现场取样，实验室测试，然后统计推断而得到，使得结果不可避免地带有不确定性。具体表现在：

(a)岩体本身固有的性质和结构的不均匀性，使得少量的试验难以得出岩体力学参数，由此产生不确定性；

(b)取样和测试过程中，测试环境条件的变化以及测试方法的不一致等，都使结果有差异；

(c)从实验室试验的力学参数，推断岩体力学参数，这就使结果具有很大的不确定性。不同的人，不同的单位对同一工程进行力学计算，所计算的结果有很大的差异，这完全不奇怪。第15页/共248页(3)模型不准确引起的不确定性

岩土工程的设计和分析是通过数学模型或模拟(例如公式、方程、算法、计算模拟程序等)来实现一组输入变量或基本变量与所要求的输出量之间的联系。岩体力学模型可以采用弹性力学模型；损伤力学模型；弹塑性力学模型；流变力学模型等。采用有限元进行力学计算是通过输入岩体的弹性模型参数、体重、粘结力参数、内摩擦角参数、抗压强度等，得出工程岩体的变形量，应力分布，工程中各点的安全系数等结果。采用不同的模型进行计算，结果肯定不同。第16页/共248页(4)岩土工程可靠度研究的必要性

岩土工程中存在的不确定性，使人们对用安全系数来表示安全程度产生了疑问。岩土工程中的不确定性导致了目前岩土力学分析难以满足工程实际要求。鉴于复杂岩土具有不确定性，以往沿用的“确定”参数和安全系数概念已不完全适用，确定性模型不足以概括复杂的岩石力学特性，可靠性理论有可能为岩石力学提供更合适的分析手段。可靠度分析方法对现有数据资料进行概率统计分析，使许多不确定性因素定量化。

以上分析说明：采用可靠性理论研究岩土工程无疑具有重要的意义。以随机可靠性理论为基础对工程结构进行极限状态设计是工程结构设计理论的一个重大发展。第17页/共248页1.3可靠度理论及可靠度标准的发展

可靠度的研究早在1930年代就开始，当时主要是围绕飞机失效进行研究。可靠度在工程结构设计中的应用大概从1940年代开始。在我国，结构可靠性问题的研究始于1950年代中期。于1984年提出的《建筑结构设计统一标准》采用国际上正在发展和推行的以概率统计理论为基础的极限状态设计方法。1985年建筑科学研究院会同建工、铁道、公路、港工、水工等五大部门，开始编制全国的“工程结构可靠度设计统一标准”。同时，铁路工程结构、公路工程结构、港口工程结构、水利水电工程结构可靠度设计统一标准陆续开始编制。《建筑结构可靠度设计统一标准》(GB50068-2001)、《公路工程结构可靠度设计统一标准》(GB/T50283-1999)、《港口工程结构可靠度设计统一标准》(GB50158-92)、《水利水电工程结构可靠度设计统一标准》(GB50199-94)和《铁路工程结构可靠度设计统一标准》(CB50216-94)相继建立，使工程结构可靠度设计有据可依。第18页/共248页岩土工程可靠度理论与实践的发展岩土工程的可靠性问题研究明显落后于结构工程。岩土工程可靠度分析有许多应用领域，如边坡、采矿、隧道、挡土墙、地基、桩基、大坝等。我国岩土工程可靠性研究开始于70年代末80年代初，主要集中在土坡、地基、桩基、隧道等工程。第19页/共248页1.4工程结构可靠度研究目的及研究步骤

工程结构可靠度分析的目的大概可分为三类：(1)已知结构尺寸、荷载、材料特性以及目标可靠指标，校核结构的可靠度；(2)校核现行规范，给出规范中有关系数所对应的安全水准；(3)在给定目标可靠指标下，计算现行规范设计式中的系数，得出具有新的分项系数下的设计表达式，以供设计使用。工程结构可靠度分析步骤具体包括：(1)确定工程的可靠度分析模式；(2)基本变量数据的搜集；(3)基本变量的概率模型及统计参数；(4)建立工程极限状态方程；(5)计算可靠度与可靠指标，并进行决策。第20页/共248页第21页/共248页第二章：工程随机数据的采集与处理工程随机数据的采集随机变量及其概率分布随机过程及其最大值分布工程随机数据的处理方法第22页/共248页

工程结构的可靠性分析，首先需要确定工程结构基本变量和参数展现出来的随机信息，对基本变量和参数建立起适宜的概率模型，方可用于可靠性分析。

可靠性分析过程是基本变量的随机信息采集、处理、模拟和应用过程。随机信息采集、处理、模拟和应用过程第23页/共248页2.1工程随机数据的采集

1、试验与观测方法

(1)真实情况的实测与观察这是利用近现代的各种测量与观察工具来获得随机变量样本数据的一种方法。例如深部的地应力可通过实测获得。当所需的样本容量较大时，将花费大量的人力和财力，有时需要作破坏性的试验。

(2)标准试件的试验这是在实验室进行的一种专门试验。例如对某种岩石的标准试件做单轴抗压试验，以确定岩石单轴抗压强度的概率分布。

(3)模拟实验这是基于相似原理的一种试验方法。用这种实验方法所获得的数据真实性较差。由于对一些复杂产品及大型工程系统难以进行现场测试，就可以采用这种方法，它具有良好的经济性。模拟实验可分为物理模拟和数学模拟(数值模拟或计算机模拟)两种。第24页/共248页2.1工程随机数据的采集2、工程估计方法

(1)当测试结果近似正态分布，且均值为μx时，根据经验选取随机变量的变异系数δx，用“3σ”原则，可估算出该随机变量的标准差σx、最小值xmin和最大值xmax

(2)如果已给出数据的偏差，x±△x，可用“3σ”原则，可估算出该随机变量的均值μx和标准差σx

(3)如果已知数据的变动范围[xmin，xmax]，可估算出该随机变量的均值μx和标准差σx第25页/共248页2.1工程机数据的采集2、工程估计方法

(4)如果已知数据最小值为xmin，变异系数为δx，数据小于xmin的概率为p，可估算出该随机变量的均值μx第26页/共248页1随机变量的类型

在实际问题中，常用的随机变量有离散型随机变量和连续型随机变量两种类型：

(1)如果随机变量所可能取的值能够一一列出来，即它的取值是有限个或无限个但可列出来，则称X为离散型随机变量。如掷骰子，出现的点数X是能够一一列出来的(X=1，X=2，…，X=6)，X是一个离散型随机变量。

(2)如果随机变量X的所有可能取值充满某个区间(a,b）。a可以是-∞，b可以是+∞

，则称X为连续型随机变量。如一批零件的测量直径，规定其偏差不超过1mm，则偏差是一个连续型随机变量。2.2随机变量及其概率分布第27页/共248页2离散型随机变量的概率分布

(1)分布律

对于离散型随机变量X，其概率分布就是指它的概率分布律，简称分布律。离散型随机变量X的一个可能取值，它取该值的概率为pi，则X的分布律可用下式表示：离散型随机变量X的分布律满足以下两条性质：(1)X的每个取值的概率A非负；(2)X的所有可能取值对应的概率之和为1，即∑pi=1。判断离散型随机变量的条件2.2随机变量及其概率分布第28页/共248页

(2)累积分布函数或分布函数累积分布函数定义：X取值不大于x的概率为累积分布函数或分布函数，离散型随机变量X的分布函数可表示为：离散型随机变量的分布函数F(x)具有以下三条性质：

(1)F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数；

(2)F(-∞)=0，F(+∞)=1;(3)0≤F(x)≤1。例如：2.2随机变量及其概率分布第29页/共248页3连续型随机变量的概率分布

(1)分布密度函数

连续型随机变量的取值充满某个区间(a，b)，可以证明：连续型随机变量取任一确定值的概率为0，即P(X=c)=0，c∈(a,b)。因此连续型随机变量的概率分布就不能用分布律来描述。实际上，我们只有知道X在任一区间上取值的概率，才能掌握其概率分布规律，所以必须引入分布密度函数的概念。2.2随机变量及其概率分布第30页/共248页

连续型分布密度函数的性质

分布密度函数f(x)在任一点xo处的函数值f(xo)不是概率而是分布密度。随机变量X落在一个区间[a,b]上的概率等于分布密度函数f(x)在该区间上的定积分，即2.2随机变量及其概率分布第31页/共248页(2)连续型随机变量分布函数

由右图不难得出：2.2随机变量及其概率分布分布函数F(x)具有以下性质：F(x)是一个单调不减的函数；0≤F(x)≤1;F(x)是右连续函数第32页/共248页例某种晶体管的寿命（h)是随机变量X，其密度求1、常数k.2、该晶体管不能工作150h

的概率。3、一台仪器中装有4只此种晶体管，至少有1只失效的概率。工作150h后，解

1、3、设Ai“第i只晶体管150h失效”第33页/共248页由于相互独立，则所求的概率为第34页/共248页2.3离散型随机变量常用的分布(1)0-1分布或两点分布即：P(X=1)=p，P(X=0)=1-p0<p<1第35页/共248页(2)二项分布

二项分布所解决的问题：

二项分布适用于一次试验中只能出现两种结果的场合，如成功与失败，或命中与未命中，次品与合格品等，这两种结果的事件分别用A与表示，设它们发生的概率分别为P(A)=p，P()=1-p，现在独立地重复做n次试验，那么在n次试验中事件A恰好发生k次的概率是多少?2.3离散型随机变量常用的分布(注：p+q=1)第36页/共248页例如第37页/共248页

如果用X表示在n次重复试验中事件A发生的次数，显然，X是一个随机变量，X的可能取值为0,1,2,…n，则随机变量X的分布律为：随机变量X的取值不大于k次的累积分布函数为：

二项分布是一种离散型分布，广泛应用于可靠性和质量控制领域。如检验一批产品是否合格常用二项分布来计算。第38页/共248页(3)泊松分布随机变量X的取值不大于k次的累积分布函数为：第39页/共248页例题0~5次的累积分布函数第40页/共248页(1)均匀分布2.4连续型随机变量常用的分布第41页/共248页(1)均匀分布2.4连续型随机变量常用的分布标准差/均值第42页/共248页(2)正态分布μ实际上就是随机变量均值，σ为标准差。如果对一个随机变量进行试验，得出了该随机变量的均值μ和标准差σ，用上式即可得出随机变量的分布密度函数。由式：可得出该随机变量的分布函数。μ

2.4连续型随机变量常用的分布第43页/共248页(2)正态分布2.4连续型随机变量常用的分布正态分布的数学期望是：E(X)=μ，方差为：D(X)=σ2

第44页/共248页分布密度函数：分布函数：(2)正态分布2.4连续型随机变量常用的分布第45页/共248页由正态分布变成标准正态分布

在正态分布公式中令z=(t-μ)/σ，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量z服从标准正态分布。则：t=μ+σz(2)正态分布2.4连续型随机变量常用的分布

由于标准正态分布曲线是唯一的，通常将一般正态分布进行标准化后，查标准正态分布表，即可得出正态分布的概率。第46页/共248页例题由标准正态表Ø(z)=0.95反查得z=1.64485Z=(x-μ)/σx=μ+σz第47页/共248页(2)正态分布的特征2.4连续型随机变量常用的分布第48页/共248页(2)正态分布的特征2.4连续型随机变量常用的分布第49页/共248页(2)正态分布的特征2.4连续型随机变量常用的分布第50页/共248页(2)正态分布的特征2.4连续型随机变量常用的分布第51页/共248页(2)正态分布的特征2.4连续型随机变量常用的分布标准正态分布的近似计算(a)由x计算Φ(x)第52页/共248页(2)正态分布的特征2.4连续型随机变量常用的分布标准正态分布的近似计算(a)由Φ(x)计算x，即：Φ(x)的值求x第53页/共248页例题

一结构体支承在A、B、C三个点上，虽然能精确计算由结构体传至三个支点上的荷载，但在A、B和C点的土壤情况却不清楚。假设A、B和C三点的沉降量ρA、ρB、ρC

为独立的正态变量，经测得其均值分别为2、2.5和3cm，其变异系数分别为20%、20%和25%。求该结构体最大沉降超过4cm的概率是多少?第54页/共248页注意：μ、σ是随机变量的对数的均值和标准差。注意：μ、σ是对数的均值和标准差。该分布的意义是通过对数变换，可以使较大的数缩小为较小的数，常用于把几个数量级的数据用对数分布去拟合分析。注意其与正态分布的区别(3)对数正态分布2.4连续型随机变量常用的分布第55页/共248页(3)对数正态分布2.4连续型随机变量常用的分布F(x)第56页/共248页(3)对数正态分布2.4连续型随机变量常用的分布第57页/共248页例题设一个蓄水池处，年总降雨量服从均值为7.28，标准差为0.25的对数正态分布，统计单位为mm。求：(1)在今后年代里，年降雨量在1000mm至1750mm的概率是多少？(2)年降雨量至少为750mm的概率是多少？第58页/共248页(4)指数分布2.4连续型随机变量常用的分布例题第59页/共248页2.5极值型分布

在结构可靠度分析中，极值随机变量的概率分布及其统计参数特别有用，比如对结构抗力要研究其极小值的概率分布，对于结构荷载则要研究其在设计基准内最大值的概率分布，如结构材料的最小强度值，桥可能承载的最大载荷。第60页/共248页(1)极值型随机变量的确切分布2.5极值型分布相互独立第61页/共248页(1)极值型随机变量的确切分布2.5极值型分布相互独立第62页/共248页(1)极值型随机变量的渐进分布2.5极值型分布a、指数型原始分布—极值I型分布指数型分布的概率密度函数的导数满足条件

指数分布、正态分布、对数正态分布等都是指数型分布第63页/共248页(1)极值型随机变量的渐进分布2.5极值型分布a、指数型原始分布—极值I型分布极值I型分布的分布函数为：第64页/共248页(1)极值型随机变量的渐进分布2.5极值型分布b、哥西型原始分布—极值II型分布第65页/共248页(1)极值型随机变量的渐进分布2.5极值型分布c、有界型原始分布—极值III型分布第66页/共248页(1)极值型随机变量的渐进分布2.5极值型分布极值I型、极值II型和极值III型分布的相互转换第67页/共248页

设办公楼楼面活载荷的统计参数分别为μ=38620KPa，σ=17810KPa。经检验，此活荷载服从极值I型分布，求其分布函数。例题第68页/共248页练习题

对某地抽样的结果表明，考生的外语成绩（按百分制计）近似服从正态分布，平均72分，且96分以上的考生数占2.3%，求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率。第69页/共248页

随机变量的分布函数完整地描述了随机变量的统计规律，然而在一些实际问题中要确定一个随机变量的分布函数却是非常困难的，而且有一些实际问题，并不要求全面考察随机变量的统计规律，而只需知道它的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数．

随机变量往往可以用一个或几个数字来描述其分布的性态，这种数字称为随机变量的数字特征(或统计参数)。数字特征虽不能完整地描述它的统计规律，但已反映出随机变量在某些方面的重要特征，它们在理论和实践上都具有重要的意义．常用的数字特征有期望，方差、标准差、变异系数、偏度系数，峰度系数和矩。2.6随机变量的数字特征第70页/共248页1、期望(均值)2.6随机变量的数字特征第71页/共248页2、方差2.6随机变量的数字特征第72页/共248页一些常见分布的数学期望与方差（2）若则则（3）若则（5）若则（4）若

则（1）若第73页/共248页3、标准差2.6随机变量的数字特征4、变异系数方差、标准差和变异系数均反应随机变量的离散程度。第74页/共248页5、矩2.6随机变量的数字特征第75页/共248页6、偏度系数和峰度系数2.6随机变量的数字特征第76页/共248页7、协方差和相关系数2.6随机变量的数字特征若X与Y相互独立，则有E[X-E(X)][Y-E(Y)]=0第77页/共248页7、协方差和相关系数2.6随机变量的数字特征当(X,Y)是离散型随机变量，分布律P(X=xi,Y=yj)=Pij，协方差为：第78页/共248页8、多维随机变量的数字特征2.6随机变量的数字特征第79页/共248页8、多维随机变量的数字特征2.6随机变量的数字特征第80页/共248页8、多维随机变量的数字特征2.6随机变量的数字特征第81页/共248页设随机变量X1、X2、X3相互独立，其中X1在[0,6]上服从均匀分布，X2服从λ=0.5的指数分布，X3服从λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3，求D(Y)。例题第82页/共248页设随机变量X服从均值为1，方差为4的正态分布，且Y=1-3X，求E(Y)和D(Y)。习题1经室内试验，测定某工程岩石抗拉强度分别为：10.315.28.412.218.57.811.213.6求该批岩石抗拉强度的均值，方差，标准差，变异系数，2阶原点矩，偏度系数和峰度系数。习题2第83页/共248页

研究某个随机事件，所有能观测的结果的全体称为总体或母体。由观察得到总体指标X的一组数值(x1，x2，…，xn)，其中xi为第i次观察结果，并称(x1，x2，...，xn)为总体X的一组容量为n的样本观察值。随机数据处理的基本问题是，通过已获得的样本观察值来了解和判断总体(随机事件)的统计特征，其中最主要的是确定它的概率分布(概率密度函数或概率分布函数)和数字特征值。对两个或两个以上的相关随机事件，还要确定它们之间的相关性。2.7工程随机数据的处理方法第84页/共248页2.7.1以数值形式定义分布的方法

以数值形式定义已知样本数据的概率分布的方法有：直方图法和经验分布法。用数值形式定义的分布属于一种无参数的概率密度函数。

(1)、直方图密度估计概率密度估计方法的直方图法可描述如下：将整个实轴分成m个小区间[ai，ai+1)，i=1,2,...,m。设在区间[ai，ai+1)内有ni个样本，即(x1，x2，…，xn)中有ni个落在区间[ai，ai+1)内。根据频率逼近概率的思想，可用ni/n去估计总体分布在区间[ai，ai+1)上的概率，而在区间[ai，ai+1)上的概率密度估计2.7工程随机数据的处理方法第85页/共248页1、以数值形式定义分布的方法(1)、直方图密度估计2.7工程随机数据的处理方法第86页/共248页移0.5避免落在边界上例题：如何根据试验得出系统分布密度函数第87页/共248页例题：如何根据试验得出系统分布密度函数(续)第88页/共248页(2)、经验分布法在某些情况下，如果我们不能求得足以拟合实测数据的理论分布，但可以用所获得的原始实测数据直接确定其概率分布函数(累积分布函数)。这种函数称为经验分布函数。将已知的样本数据由小到大的次序排列，即计算随机变量的阶梯形分布函数Fn(x)，2.7工程随机数据的处理方法离散型随机变量的分布函数F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数。第89页/共248页(1)、经验分布法2.7工程随机数据的处理方法离散型随机变量的分布函数F(x)具有以下三条性质：

(1)F(x)是不连续的，是一个非减的跳跃函数；

(2)F(-∞)=0，F(+∞)=1;(3)0≤F(x)≤1。首先划分区间第90页/共248页例题：如何根据试验得出系统分布函数累积频率0.50.77780.88890.94451.0000第91页/共248页2.7.2、以理论解析模型拟合概率分布的方法

以理论解析模型拟合概率分布的方法，就是统计推断法。

(1)分布类型的初选分布类型的初选有经验法和统计法两种。经验法的主要依据是有关该随机变量的物理知识，或者以往对同类随机事件已使用证明正确的理论分布来推断。例如岩石的摩擦角、粘结力、节理组倾角、不连续面的起伏角等多服从正态分布，不连续面间距、长度等多服从指数分布，等间隔时间内最大地震震级、最高洪水位等可能服从极值分布。

统计法是根据以往大量的同类性质的试验(或观测)业已证明完全适用的理论分布。2.7工程随机数据的处理方法第92页/共248页

(2)分布参数点估计参数估计，就是要从样本出发去构造一个统计量作为总体中某未知参数的一个估计量，若总体X的分布函数的形式为已知，但它的一个或多个参数未知，则由总体X的一个样本去估计总体未知参数值的问题就是参数的点估计问题。分布参数的点估计方法主要有矩法和极大似然法。点估计值应具有无偏性、一致性、有效性和充分性。

(a)矩法矩法是基于替换的一种方法，即用样本矩去近似总体矩。矩是由随机变量的分布唯一确定，而样本来源于总体，样本矩在一定程度上反映总体矩的特征，用样本矩来估计总体矩的估计方法称为矩估计法。2.7工程随机数据的处理方法2.7.2以理论解析模型拟合概率分布的方法

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(2)、分布参数点估计

(一)矩法

2.7工程随机数据的处理方法r=1,2,…,k2.7.2、以理论解析模型拟合概率分布的方法

第94页/共248页2.7工程随机数据的处理方法2.7.2、以理论解析模型拟合概率分布的方法

方法：总体k阶矩=样本的k阶矩得到k个方程组。第95页/共248页矩法计算与分析步骤：(a)、计算样本的1阶矩，2阶矩，3阶矩,……，分布函数中有多少个θi未知数，则计算多少阶矩。(b)、计算总体的1阶矩，2阶矩，3阶矩,……，分布函数中有多少个θi未知数，则计算多少阶矩。(c)、令总体的1阶矩，2阶矩，3阶矩,……，分别等于样本的1阶矩，2阶矩，3阶矩,……，即得相应有多少未知数的方程。(d)、解方程组，即得θi未知数。2.7工程随机数据的处理方法2.7.2、以理论解析模型拟合概率分布的方法

第96页/共248页例题：矩法解：令总体的一阶矩和二阶矩分别等于样本的一阶矩和二阶矩，样本的一阶矩和二阶矩为：总体的一阶矩m1即为总体的数学期望α，总体的二阶矩m2为：α2+σ2(因：σ2=E(X2)-[E(X)]2)，有：解方程组，得α和σ的矩估计值：对样本值进行计算，得α和σ：

设总体X存在前二阶矩，从该总体抽取容量为6的样本，其观察值为-1.2,-0.85,-0.30,0.45,0.82,0.12。试求总体数学期望α和方差σ的矩估计值。第97页/共248页例题：矩法解：均匀分布的一阶矩和二阶矩分别为，即：D(X)=E(X2)-[E(X)]2)解方程组，得θ1和θ2的矩估计值：令总体的一阶矩和二阶矩分别等于样本的一阶矩和二阶矩，即：

设总体X服从均匀分布U(θ1，θ2)，-∞<θ1<θ2<+∞，其中θ1和θ2未知，X1，X2，…，Xn为从该总体抽取的样本，试求θ1和θ2的矩估计值。S为样本的方差第98页/共248页

极大似然法的基本思想

先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.(二)极大似然法第99页/共248页

你就会想，只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的.

这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的基本思想.第100页/共248页极大似然估计n个样本数据联合密度函数第101页/共248页思路：对似然函数或其对数函数分别求偏导数，得到k个方程组，解方程组，得出未知数。第102页/共248页极大似然法计算步骤(2)对似然函数取对数：(1)根据总体分布律或分布密度函数，得出似然函数(3)对似然函数或取对数的似然函数分别求θ1，θ2，…，θk的偏导数，得出k个方程组。(4)解出方程组，得θ1，θ2，…，θkk个未知数。或(不取对数时)第103页/共248页例题：极大似然法解：似然函数为：解方程，得p的极大似然估计值为：对数似然函数为：

设总体X服从几何分布，其概率密度函数为f(x,p)=P(X=x)=p(1-p)x-1，x=1,2,….，0<p<1，其中p为未知，并设X1X2，…，Xn为从该总体抽取的样本，试求p的极大似然估计值。似然方程为：第104页/共248页例题：极大似然法解：似然函数为：解方程，得β的极大似然估计值为：

节理间距实测数据(单位m)如下：0.80，2.36,0.35,3.50,0.51,0.12,1.22,1.70，设其服从指数分布，即：试求平均间距β的最大似然估计。似然方程为：第105页/共248页习题3

设总体X服从均匀分布U(0，θ)，其中θ未知，X1,X2,…,Xn是从该总体中抽取的样本，求θ的极大似然估计值和矩估计值。第106页/共248页本章自学内容分布参数的区间估计拟合良好的检验工程近似法小结：（1）观测值只有或少于5个时，采用工程近似法（2）观测值在5~30个时，属于小容量样本，可以试用几种理论分布，并用拟合良好性的检验选择最优（3）观测值大于30个时，可用直方图来拟合概率密度函数，然后用理论分布来拟合，并对拟合良好进行检验第107页/共248页第108页/共248页第三章：工程结构可靠度分析方法

可靠度基本概念

一次可靠度分析法

蒙特卡罗模拟

结构体系可靠度均值一次二阶矩法改进的一次二阶矩法JC法第109页/共248页第三章：工程结构可靠度分析方法

3.1可靠度基本概念

3.1.1极限状态

1、工程结构的功能函数无论是房屋、桥梁、隧道等工程结构设计时，应使其在使用期内，力求在经济合理前提下满足下列各项要求：

(1)能承受正常施工和正常使用期间可能出现的各种作用(包括荷载及外加变形或约束变形)—结构的安全性；

(2)在正常使用时具有良好的性能—结构的适用性；

(3)在正常使用时具有足够的耐久性—结构的耐久性；

(4)在偶然事件发生时或发生后，能保证必要的整体稳定性—结构的安全性。结构的安全性、适用性和耐久性三者总称为结构的可靠性。可靠性的数量描述一般用可靠度。安全性的数量描述则用安全度。可靠度比安全度的含义更广泛，更能反映结构的可靠程度。第110页/共248页

3.1.1极限状态

1、工程结构的功能函数工程的可靠性通常受各种荷载、介质强度、几何尺寸、计算公式准确性等因素的影响，这些因素均具有随机不确定性，称影响工程可靠度的随机因素为基本变量。设X1,X2,…,Xn表示影响工程结构某一功能的基本变量，则与此功能对应的功能函数可表为：3.1可靠度基本概念

考虑结构功能仅与荷载效应S(荷载引起的内力)和结构抗力R(结构承受荷载效应的能力，如强度、刚度、抗裂度等)两个基本变量有关的最简单情况，结构的功能函数为：第111页/共248页

3.1.1极限状态

2、工程结构极限状态

工程结构的可靠状态：工程结构处于满足其功能要求的状态。用功能函数来描述：3.1可靠度基本概念

工程结构的失稳状态：工程结构处于未能满足其功能要求的状态。用功能函数来描述：

工程结构的极限状态：介于可靠状态与失稳状态之间的状态，即为工程结构极限状态。用功能函数表示为：第112页/共248页

3.1.1极限状态

2、工程结构极限状态

3.1可靠度基本概念

用荷载效应S和抗力R表示的结构极限状态方程为：

结构极限状态是结构由可靠状态转向失稳状态的一个临界状态，是判别结构是否满足预定功能要求的标志。第113页/共248页

3.1.1极限状态

3、工程结构极限状态分类

3.1可靠度基本概念

根据结构的不同功能要求，极限状态可划分为三类：

(1)承载能力极限状态若结构或结构构件达到最大承载能力或达到不适于继续承载的变形，则认为其达到承载能力极限状态。如：结构失去平衡(倾覆)；结构受力超过材料强度或过度变形而不适于继续承载；结构或结构构件丧失稳定。

(2)正常使用极限状态若结构或结构构件达到正常使用或耐久性能的某项规定限值，则认为其达到正常使用极限状态。如：影响正常使用或外观的变形；影响正常使用或耐久性能的局部损坏。

(3)整体性极限状态(抗连续破坏极限状态)

结构由于局部损坏而达到其余部分将发生连续破坏(或连续倒塌)状态限值。第114页/共248页

3.1.1极限状态

3、工程结构极限状态分类

3.1可靠度基本概念

根据结构极限状态被超越后结构的状况，结构的极限状态可划分为两类：

(1)不可逆极限状态当产生超越极限状态的作用被移掉后，仍将永久地保持超越效应的极限状态。即因超越极限状态而产生的结构的损坏或功能失常将一直保持，除非结构被重新修复。承载能力极限状态一般可认为是不可逆极限状态。

(2)可逆极限状态产生超越极限状态的作用被移掉后将不再保持超越效应的极限状态。即产生超越的原因消失结构将从不期望状态(g(x)<0)转化到期望状态(g(z)>0)。可逆极限状态的概率设计法尚处于研究中，尚未能进入工程实践。第115页/共248页

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

可靠度是在规定的时间内、规定的条件下，完成预定功能的概率。工程结构的可靠性是在规定的时间内，工程结构在规定的条件下，完成预定功能能力。可靠度是从概率的角度对可靠性的定量描述。

“规定的时间”一般是指结构设计基本准期，不同的工程结构，规定的时间要求不同。普通建筑结构的设计基准期为50年。由于荷载效应一般随设计基准期增长而增大，而影响结构抗力的材料性能指标则随设计基准期的增大而减小，因此“规定的时间”越长，结构的可靠度越低。

“规定的条件”指正常设计、正常施工、正常使用。不考虑人为错误或过失因素。

“预定功能”是指结构在经济合理的前提下，在安全性、适用性与耐久性方面的要求。第116页/共248页

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

设工程结构的功能函数为：

结构破坏的概率Pf为：X1,X2,…,Xn表示影响工程结构某一功能的随机变量，Z函数也为随机变量，则可靠度可Ps表示为：

有下列关系式：第117页/共248页

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

若已知结构荷载效应S和抗力R的概率密度函数分别为fs(x)及fR(y)，由于S与R相互独立：第118页/共248页

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念上面两式是由分布函数和密度函数计算系统可靠度。第119页/共248页

3.1.2可靠度3.1可靠度基本概念

由结构失效率可知结构的可靠度。由于结构失效一般为小概率事件，工程结构可靠度分析一般计算结构失效概率。无论功能函数是线性的还是非线性的，理论上均可求取结构失效概率Pf或可靠度Ps。这必须要求功能函数中的随机变量为独立变量，且关于各随机变量的概率分布密度函数可以获得的前提下，用精确表达式计算可靠度才可能。但在实际工程中，这些要求常常难以满足。通常计算结构可靠度的方法是近似法，常用的近似法有一次可靠度分析法、蒙特卡罗模拟、统计矩法等．

由于：第120页/共248页

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念

1、R和S服从正态分布假设R和S分别服从正态分布N(μR，σR)，N(μS，σS)，则功能函数Z也服从正态分布，有：

考虑工程结构功能函数仅由荷载效应S和结构抗力R组成的简单情况。第121页/共248页

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念计算出β后，查正态分布表，得可靠度Ps，Pf=1-Ps第122页/共248页

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念2、R和S服从对数正态分布

考虑工程结构功能函数仅由荷载效应S和结构抗力R组成的简单情况。第123页/共248页

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念2、R和S服从对数正态分布

P29页X服从对数正态分布，Y服从正态分布。第124页/共248页

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念3、可靠指标与安全系数之间的关系

传统的设计原则是抗力不小于荷载效应，其可靠性用安全系数来表示。中值安全系数为：

当功能函数为Z=R-S，R和S分别服从正态分布时，中值安全系数k0与可靠指标的关系为：第125页/共248页

3.1.3可靠指标3.1可靠度基本概念3、可靠指标与安全系数之间的关系

当功能函数为Z=R-S，R和S分别服从对数正态分布时，中值安全系数k0与可靠指标的关系为：

中值安全系数只与基本变量的平均值有关，而可靠指标不但与基本变量的平均值有关，而且与基本变量的标准差或变异系数相关，即与基本变量跟均值的离散程度相关。安全系数没有概率意义。第126页/共248页例题：解：甲厂：乙厂：

为边坡加固选购锚索。甲厂生产的锚索抗力R和荷载效应S服从正态分布，R~N(907.2KN，136KN)，S~N(544.3KN，113.4KN)；乙厂生产的锚索抗力R和荷载效应S服从正态分布，R~N(907.20KN，90.7KN)，S~N(544.3KN，113.4KN)，问甲乙两厂锚索的破坏概率各为多少？两者虽然中值安全系数相同，但乙厂锚索破坏概率小。第127页/共248页3.2一次可靠度分析法

一次可靠度分析法(FirstOrderReliabilityMethod,FORM)计算结构构件可靠度的基本思路是：首先将结构构件功能函数Z=g(Xl，X2，…，Xn)展开成Taylor级数，忽略高阶项，仅保留线性项，再利用基本随机变量X=(Xl,X2,…,Xn)的一阶矩、二阶矩求取Z的均值μz与标准差σz，从而确定结构构件可靠指标。根据功能函数线性化点的取法不同以及是否考虑基本随机变量的分布类型，一次可靠度分析法分为：均值一次二阶矩法(中心点法)，改进的一次二阶矩法(验算点法)和JC法。第128页/共248页3.2一次可靠度分析法

泰勒(Taylor)中值定理(一元):

如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a，b)内具有直到(n+1)阶导数，则当x在(a，b)时，f(x)可表示为(x-x0)的一个n次多项式与一个余项Rn(x)之和：一元函数第129页/共248页3.2一次可靠度分析法

泰勒公式(二元):

设z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内连续且有直到(n+1)阶导数，有：一次可靠度分析常取前面两项。即线性项。可以推广至有n元情况第130页/共248页

3.2.1均值一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法1、均值一次二阶矩法(中心点法)

当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量

X=(Xl,X2,…,Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。随机变量标准差与其函数标准差的近似表达,见书P37公式2.2.79-80。第131页/共248页

3.2.1均值一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法1、均值一次二阶矩法(中心点法)

计算步骤：

当功能函数包含有多个相互独立的正态随机变量

X=(Xl,X2,…,Xn)，状态函数为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)。

(1)用各随机变量的均值代入功能函数，得出功能函数的均值μZ；

(2)求功能函数的标准差σZ；

(3)求β和Pf。将随机变量的均值代入

第132页/共248页例题：可靠度分析解：结构基本变量为fy和d，荷载极限状态方程：右图所示圆截面直杆，承受拉力P=100KN，已知材料的强度设计值fy的均值μfy=290MPa，标准差σfy=25MPa，杆直径d的均值μd=30mm，标准差σd=3mm，求此杆的可靠指标。第133页/共248页例题：可靠度分析解：结构基本变量为fy和d，应力极限状态方程：右图所示圆截面直杆，承受拉力P=100KN，已知材料的强度设计值fy的均值μfy=290MPa，标准差σfy=25MPa，杆直径d的均值μd=30mm，标准差σd=3mm，求此杆的可靠指标。

均值一次二阶矩法简单，使用方便。但存在缺陷：其一是对同样条件下的同一结构，若采用不同的功能函数来描述结构的同一功能要求，将得出不同的β值；其二是选取基本随机变量均值点作为功能函数的线性化点来求取β将产生较大误差。第134页/共248页

3.2.1均值一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法2、可靠指标β的几何意义

设Z=g(Xl，X2，…，Xn)是线性函数，极限状态方程为：D(AX+BY)=A2D(X)+B2D(Y)第135页/共248页

3.2.1均值一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法2、可靠指标β的几何意义

将Xl，X2，…，Xn作标准化变换：Ui在Ω空间的均值为零，标准差为1。有：原结构极限状态方程：在Ω空间极限状态方程：第136页/共248页

3.2.1均值一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法2、可靠指标β的几何意义

该方程表示U空间中的一个超平面。由解析几何知识可知，在U空间中坐标原点(即中心点M)到此极限状态超平面的距离为：在Ω空间极限状态方程：两维情况：Z=R-S第137页/共248页

3.2.1均值一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法2、可靠指标β的几何意义

上式说明了可靠指标β的几何意义：指在经过标准化变换得到的U空间中，从坐标原点(即中心点O)到相应的极限状态超平面的距离。当结构的功能函数为非线性函数时，可以得出相同的结论。中心点在可靠区内，它离开极限状态超平面越远，表明结果越可靠。第138页/共248页习题4

粒状土承受剪切应力τ=50KPa，其剪切面法向应力w服从正态分布，均值为100KPa，标准差为20KPa，土的磨擦角φ服从正态分布，均值为35º，标准差为5º(=0.0873弧度)。w和φ相互独立，极限状态方程为：Z=wtanφ-τ=0，用中心点法计算β值和失效概率pf。第139页/共248页

3.2.2改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法-(改进一次二阶矩法)

针对均值一次二阶矩法将功能函数线性化点取作基本随机变量均值点带来的问题，改进的一次二阶矩法将功能函数线性化点取在设计验算点，从而提高了计算β的精度，并保证了对同一结构问题β的唯一性。改进的一次二阶矩法也称为验算点法。当极限状态方程中包含有多个相互独立的正态随机变量X=(Xl,X2,…,Xn)，假设方程为：Z=g(Xl，X2，…，Xn)=0，则此超曲面Z=0上距离中心点M=(μX1，μX2，…，μXn)最近的点P＊=(x1＊，x2＊，…，xn＊)为设计验算点，简称验算点。显然，xi＊(I=1，2，…，n)满足极限状态方程：第140页/共248页

3.2.2改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法偏导数在验算点的值第141页/共248页

3.2.2改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法结构可靠指标为：引入灵敏系数αi灵敏系数αi实际上是各基本变量的不定性对可靠度影响的“权”，有：于是有：上式展开：第142页/共248页

3.2.2改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法上式展开：g’(xi*)≠0，必有：有x1＊，x2＊，…，xn＊和β的方程组(n+1)：解方程组可得验算点P*=(x1＊，x2＊，…，xn＊)和β值。但这仅是理论上的结论，实际上求解此方程组是相当困难的。通常在给定Xi的统计参数μXi，σXi后，进行迭代运算，求出xi*和β的近似值。第143页/共248页

3.2.2改进的一次二阶矩法3.2一次可靠度分析法改进的一次二阶矩法迭代步骤：(第1步：假定β=3.0)；第2步：设验算点为xi*，i=1,2,…,n，第一步取基本变量平均值xi*=μXi；第3步：计算非正态随机变量的当量正态分布均值和标准差；第4步：计算偏导数在验算点xi*的值；第5步：计算灵敏系数αi在验算点xi*的值；第6步：计算验算点xi*新值

重复步骤3~6，直到灵敏系数αi收敛(前后两次的之差的绝对值小于0.005)。一旦αi

收敛，就把β作为未知参数。如果不检验β的收敛性，则删除第1步。第7步：将β视为未知数，把xi*值代入极限状态方程，解方程得出β值，并计算设计验算点xi*的新值。第8步：重复步骤2~7，直至前后两次算出的β值之差小于允许误差(一般±0.01)．代入当量标准差。代入当量均值。第144页/共248页

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法-JC法

1、当量正态化一次二阶矩法适用于结构功能函数所含随机变量为独立、正态变量情况。但在可靠性分析中，极限状态方程常常包含非正态分布的随机变量。

JC法的基本思路是：对非正态变量当量正态化，将其转换为等效正态随机变量，即可利用一次二阶矩法求结构可靠指标。

“当量正态化”的条件是：

(1)在设计验算点xi＊处，非正态变量Xi(其均值为μXi，标准差为σXi)的分布函数值FXi(xi＊)与当量正态变量X’i(其均值为μXi’，标准差为σXi’)的分布函数值Fxi’(xi＊)相等；

(2)在设计验算点xi＊处，非正态变量Xi的概率密度函数值fXi(xi＊)与当量正态变量X’i的概率密度函数值fXi’(xi＊)相等。根据以上两个条件可以计算出当量正态分布的均值和标准差。第145页/共248页

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

非正态分布函数当量正态分布函数第一个条件：分布函数相等。第146页/共248页

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

非正态分布密度函数当量正态分布密度函数第二个条件：分布密度函数相等。第147页/共248页

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

非正态分布密度函数当量正态分布密度函数第二个条件：分布密度函数相等。第148页/共248页

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

当量正态化分析步骤：(1)根据分布密度函数相等得出当量正态分布的标准差。(2)根据分布函数相等得出当量正态分布的均值。将验算点xi＊代入非正态分布函数，得一计算值，反查正态分布表，将该值代入标准正态分布密度函数得分子值。将验算点xi＊代入非正态分布密度函数，得分母值。(3)在极限状态方程中，非正态随机变量的当量正态的均值和标准差求得后，即将问题化为正态变量的情形。前提条件是必须得出非正态分布的分布函数和分布密度函数。第149页/共248页

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

对于对数正态分布变量Xi，其分布函数和分布密度函数为：分布密度函数：在正态分布公式中令z=(t-μ)/σ，可将随机变量X标准化，标准化后的随机变量z服从标准正态分布。对数正态分布的密度函数为：正态分布的密度函数为：第150页/共248页

3.2.3JC法3.2一次可靠度分析法

1、当量正态化

对于对数正态分布的分布函数和分布密度函数：由公式，当量标准差为：由公式，当量均值为：正态与对数正态分布转换P29页。关键的两个公式：第151页/共248页例题：当量正态化解：从前面的分析中得到如下公式：设某随机变量服从对数正态分布，其样本均值和方差分别为：试求其当量正态分布的均值μXi’

和标准差σXi’。

验算点xi＊即为均值点。题目已知的是样本的均值和方差，但公式中为样本取对数后的均值λX和方差ξX

。由P29页：解方程组，可得均值λX和标准差ξX

。第152页/共248页对数当量正态化公式μXi为样本的均值，δX为样本的变异系数xi＊为验算点，μXi’为当量正态分布的均值，σXi’为当量正态分布的标准差。第153页/共248页习题5已知流入某池塘的峰值流量Xi服从I型极值分布，其均值μXi=9146m3/d，变异系数δ=0.36