代数方程模型

代数方程模型第1页，共19页，2023年，2月20日，星期三6.3

原子弹爆炸的能量估计1945年7月16日美国科学家在新墨西哥州阿拉莫戈多沙漠试爆了全球第一颗原子弹,震惊世界!当时资料是保密的,无法准确估计爆炸的威力.英国物理学家泰勒研究了两年后美国公开的录像带,利用数学模型估计这次爆炸释放的能量为19.2千吨.后来公布爆炸实际释放的能量21千吨第2页，共19页，2023年，2月20日，星期三t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)t(ms)r(m)0.1011.10.8034.21.5044.43.5361.115.0106.50.2419.90.9436.31.6546.03.8062.925.0130.00.3825.41.0838.91.7946.94.0764.334.0145.00.5228.81.2241.01.9348.74.3465.653.0175.00.6631.91.3642.83.2659.04.6167.362.0185.0泰勒测量：时刻t

所对应的“蘑菇云”的半径r原子弹爆炸的能量估计爆炸产生的冲击波以爆炸点为中心呈球面向四周传播,爆炸的能量越大，在一定时刻冲击波传播得越远.冲击波由爆炸形成的“蘑菇云”反映出来.泰勒用量纲分析方法建立数学模型,辅以小型试验,又利用测量数据对爆炸的能量进行估计.第3页，共19页，2023年，2月20日，星期三物理量的量纲长度

l的量纲记L=[l]质量

m的量纲记M=[m]时间t

的量纲记T=[t]动力学中基本量纲

L,M,T速度v的量纲[v]=LT-1导出量纲加速度a

的量纲[a]=LT-2力f

的量纲[f]=LMT-2引力常数

k

的量纲[k]对无量纲量，[]=1(=L0M0T0)量纲齐次原则=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系.第4页，共19页，2023年，2月20日，星期三量纲齐次原则等式两端的量纲一致量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系.例：单摆运动lmgm求摆动周期t

的表达式设物理量t,m,l,g

之间有关系式1,2,3

为待定系数，为无量纲量(1)的量纲表达式与对比第5页，共19页，2023年，2月20日，星期三对x,y,z的两组量测值x1,y1,z1

和x2,y2,z2,

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)为什么假设这种形式?设p=f(x,y,z)x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式为量纲齐次原则单摆运动第6页，共19页，2023年，2月20日，星期三单摆运动中t,m,l,g

的一般表达式y1~y4为待定常数,为无量纲量基本解第7页，共19页，2023年，2月20日，星期三设f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

与

f(q1,q2,,qm)=0

等价,F未定.Pi定理(Buckingham)是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2,Xn

是基本量纲,nm,q1,q2,qm

的量纲可表为量纲矩阵记作线性齐次方程组有m-r

个基本解，记作为m-r

个相互独立的无量纲量,且则第8页，共19页，2023年，2月20日，星期三记爆炸能量为E，将“蘑菇云”近似看成一个球形.时刻

t球的半径为

rt,E空气密度ρ,大气压强P基本量纲：L,M,T

原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模

r与哪些因素有关？

rt

E

ρ

P

LMT量纲矩阵

第9页，共19页，2023年，2月20日，星期三y=(1,-2/5,-1/5,1/5,0)

y=(0,6/5,-2/5,-3/5,1)T原子弹爆炸能量估计的量纲分析方法建模

有2个基本解两个无量纲量第10页，共19页，2023年，2月20日，星期三原子弹爆炸能量估计的数值计算时间t非常短能量E

非常大泰勒根据一些小型爆炸试验的数据建议用r,t

的实际数据做平均空气密度=1.25(kg/m3)1千吨(TNT能量)=4.184*1012焦尔

E=19.7957(千吨)E=8.2825×1013(焦耳)实际值21千吨第11页，共19页，2023年，2月20日，星期三泰勒的计算tr最小二乘法拟合r=atbE=8.0276×1013

(焦耳)即19.2千吨取y平均值得c=6.9038模型检验b=0.4058~2/5第12页，共19页，2023年，2月20日，星期三量纲分析法的评注物理量的选取基本量纲的选取基本解的构造结果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至关重要的.基本量纲个数n;选哪些基本量纲.有目的地构造Ay=0的基本解.方法的普适性函数F和无量纲量未定.不需要特定的专业知识.第13页，共19页，2023年，2月20日，星期三物理模拟示例：波浪对航船的阻力航船阻力f航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g.量纲分析在物理模拟中的应用物理模拟:按照一定的比例尺寸构造它的物理模型,通过对模型的研究得出原型的结果.量纲分析可以指导物理模拟中比例尺寸的确定.第14页，共19页，2023年，2月20日，星期三2.[g]=LT-2,[l]=L,[]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量纲分析示例：波浪对航船的阻力航船阻力fm=7,n=33.量纲矩阵航船速度v,船体尺寸l,浸没面积s,海水密度,重力加速度g。第15页，共19页，2023年，2月20日，星期三4.Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=r4.Ay=0有m-r个基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-r法1：利用初等变换法2：利用MATLABA=[1,1,-3,1,2,1;0,0,1,0,0,1;-2,0,0,-1,0,-2];B=A(:,1:3);C=A(:,4:6);x=rats(B\-C)第16页，共19页，2023年，2月20日，星期三4.Ay=0有m-r=3个基本解rankA=3rankA=r4.Ay=0有m-r个基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-r5.m-r

个无量纲量第17页，共19页，2023年，2月20日，星期三

6.F(1,2,3)=0与(g,l,,v,s,f