人教A版（2019）高中数学选择性必修第三册第六章计数原理单元检测及参考答案

第六章计数原理一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（

）种排法？A．72 B．36 C．24 D．122.已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（

）A． B．C． D．3.若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．3．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种4．有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（

）A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．5．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）杨辉三角A．在第10行中第5个数最大B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等C．D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数6．设(2x+1)6=aA．aB．aC．a1，a2，a3，…，D．当x=999时，(2x+1)67．2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲､乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（

）A．10 B．14 C．16 D．128．在3x+x−23n的二项展开式中，Cnr3n−rxn−A．若n=8，则二项展开式中系数最大的项是C8B．已知x>0，若n=9，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x的取值范围是0<x≤4C．若n=10，则二项展开式中的常数项是C10D．若n=27，则二项展开式中x的幂指数是负数的项一共有12项．二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．下列给出的式子中正确的有（

）.A．B．C．D．10．某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（

）A．甲乙都不选的方案共有432种B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲乙都选的方案共有96种D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种11.若3x−22023=aA．a0=2C．a1+a12．某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天.（

）A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有A5B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有A3C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有A3D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有C5三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）13．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．14．某工艺品如图所示分成五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种（用数学作答）.15．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．16．在的展开式中，含的系数是_______；若对任意的，恒成立，则实数λ的最小值是_______．四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17．已知某圆上的10个不同的点.(1)过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？(2)过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？18．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(1)分成三组，一组3本，一组2本，一组1本；(2)分给三个人，一人3本，一人2本，一人1本；(3)平均分成三个组每组两本．19．已知.(1)求；(2)求.20．（1）已知的展开式中的“二项式系数之和”比“各项系数之和”大255，求的值；（2）求展开式所有的有理项；（3）求展开式中系数最大的项.21．在中，把称为三项式的系数．(1)当时，写出三项式的系数的值；(2)类比的二项式展开式(杨辉三角)的规律，当时，写出三项式的(杨辉三角)数字表，并求出时的；(3)求（用组合数表示）．22．已知展开式的各项依次记为.设函数.（1）若的系数依次成等差数列，求正整数的值；（2）求证：，恒有答案解析一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．某晚会有三个唱歌节目，两个舞蹈节目，要求舞蹈节目不能相邻，有（

）种排法？A．72 B．36 C．24 D．12【答案】A【详解】先排三个唱歌节目这有：种情况，然后四个空排两个舞蹈节目这有：种情况，所以舞蹈节目不能相邻的情况有：情况.故选：A.2.已知，下列排列组合公式中，不一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】对于A，由组合数的性质知，成立，A正确；对于B，因为，因此成立，B正确；对于C，，而与不一定相等，则与不一定相等，C不一定正确；对于D，，D正确．故选：C．3.若二项式的展开式中的各项系数之和为，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【详解】令，得二项式的展开式中的各项系数之和为，所以，解得，故选：D3．甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同的排队方法共有（

）A．24种 B．48种 C．72种 D．96种【详解】先安排甲，可从中间两个位置中任选一个安排有种方法，而甲站好后一边有2个位置，另一边有3个位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相邻，可分为两类：安排在甲有2个位置的一侧有种方法；安排在甲有3个位置的一侧有种方法，最后安排其余3人有种方法，综上，不同的排队方法有：种.故选：C.4．有3名男生，4名女生，在下列不同条件下，错误的是（

）A．任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有70种B．全体站成一排，男生互不相邻有1440种C．全体站成一排，女生必须站在一起有144种D．全体站成一排，甲不站排头，乙不站排尾有3720种．【解答过程】对于A：任选其中3人相互调整座位，其余4人座位不变，则不同的调整方案有C7对于B：先排女生，将4名女生全排列，有A4再安排男生，由于男生互不相邻，可以在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A35种方法，故共有对于C：将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，有A4再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列，有A4故共有A4对于D：若甲站在排尾则有A66种排法，若甲不站在排尾则有故有A6故选：C.5．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（

）杨辉三角A．在第10行中第5个数最大B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等C．D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数【详解】A选项，第10行，10是偶数，所以在时取得最大值，也就是在第10行中第6个数最大，故选项A错误；B选项，第2023行是奇数，中间两项最大，即和，也就是第2023行中第1012个数和第1013个数相等，故选项B错误；C选项，由可得，故选项C错误；D选项，，故选项D正确.故选：D.6．设(2x+1)6=aA．aB．aC．a1，a2，a3，…，D．当x=999时，(2x+1)6【详解】在(2x+1)6令x=−2，得36=因为(2x+1)6=(−2x−1)6=−2(x+1)+16=所以a0=1，a1=−2C61=−12，a2所以a2由以上可知，a1，a2，a3，…，a当x=999时，x+1=1000，a1(x+1),a2(x+1)2,⋯,故选：C.7．2023年贺岁档共有七部电影，根据猫眼专业版数据显示，截止到2023年1月29日13时，2023年度大盘票房（含预售）突破了90亿元大关．其中历史题材的轻喜剧《满江红》位列第一，总票房已经达到了30亿+，科幻题材的《流浪地球2》也拥有近25亿元的票房，现有编号为1，2，3，4的4张电影票，要分给甲､乙两个人，每人至少分得一张，那么不同分法种数为（

）A．10 B．14 C．16 D．12【详解】符合题目要求的分类方法共：“甲3张乙1张”，“甲2张乙2张”，“甲1张乙3张”，三类①“甲3张乙1张”的基本事件为：甲123乙4；甲124乙3，甲134乙2，甲234乙1，共4种；②“甲2张乙2张”的基本事件为：甲12乙34；甲13乙24，甲14乙23，甲23乙14，甲24乙13，甲34乙12，共6种；③“甲1张乙3张”的基本事件为：乙123甲4；乙124甲3，乙134甲2，乙234甲1，共4种；所以不同分法总数为：种.故选：B．8．在3x+x−23n的二项展开式中，Cnr3n−rxn−A．若n=8，则二项展开式中系数最大的项是C8B．已知x>0，若n=9，则二项展开式中第2项不大于第3项的实数x的取值范围是0<x≤4C．若n=10，则二项展开式中的常数项是C10D．若n=27，则二项展开式中x的幂指数是负数的项一共有12项．【详解】A选项：令C8r38−r>B选项：C9138x223≤C92C选项：令10−53r=0，解得r=6D选项：令27−5r3<0，解得r>815故选：D.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．（2023·全国·高二专题练习）下列给出的式子中正确的有（

）.A．B．C．D．【详解】∵，∴A错误；∵，∴B正确；∵，∴C正确，∵，∴D正确.故选：BCD10．（2023春·全国·高二专题练习）某单位从6男4女共10名员工中，选出3男2女共5名员工，安排在周一到周五的5个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班，其中男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则（

）A．甲乙都不选的方案共有432种B．选甲不选乙的方案共有216种C．甲乙都选的方案共有96种D．这个单位安排夜晚值班的方案共有1440种【详解】男员工丙必须被选且必须安排在星期五值班，则原题可理解为从5男4女共9名员工中，选出2男2女共4名员工，安排在周一到周四的4个夜晚值班，每名员工值一个夜班且不重复值班，其中女员工甲不能安排在星期一、星期二值班，男员工乙不能安排在星期二值班甲乙都不选的方案共有种，A正确选甲不选乙的方案共有种，B正确甲乙都选，则分两种情况：乙排星期一或乙不排星期一乙排星期一的方案共有种乙不排星期一的方案共有种∴甲乙都选的方案共有96种，C正确这个单位安排夜晚值班分为四种情况：甲乙都不选、选甲不选乙、选乙不选甲和甲乙都选选乙不选甲的方案共有种∴这个单位安排夜晚值班的方案共有432+216+216+96=960种，D错误故选：ABC．11.若3x−22023=aA．a0=2C．a1+a【详解】令x=0时，a0x=1时，a0x=−1所以，a0a1令x=13，可得故a1故选：BD．某校计划安排五位老师（包含甲、乙、丙）担任四月三日至四月五日的值班工作，每天都有老师值班，且每人最多值班一天.（

）A．若每天安排一人值班，则不同的安排方法共有A5B．若甲、乙、丙三人只有一人安排了值班，则不同的安排方法共有A3C．若甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班，则不同的安排方法共有A3D．若五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班，则不同的安排方法共有C512.【详解】对于选项A，每天安排一人值班，则不同的安排方法共有A5对于选项B，安排甲、乙、丙三人只有一人安排了值班的安排方法可分为两步完成，第一步，从甲，乙，丙三人中选出一人，有A31种选法，再将所选之人与余下两人分别安排到四月三日至四月五日，有A3对于选项C，安排甲、乙两位老师安排在同一天值班，丙没有值班等价于将甲，乙视为一个整体，与除甲，乙，丙外的两人一起分别安排到四月三日至四月五日值班，不同的安排方法共有A3选项D，安排五位老师都值班了一天，且每天最多安排两位老师值班可分为两步完成，先将5人分为2人，2人，1人三个小组，再将3个小组分别安排到四月三日至四月五日，完成第一步的方法有C52C32故选：AC.三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分．）13．的展开式中含项的系数为30，则实数a的值为___________．【详解】的展开式的通项为，令，则，令，则（舍去），所以的展开式中含项的系数为，所以.故答案为：.14．某工艺品如图所示分成五个区域.现对此工艺品进行着色，要求相邻区域不能使用同一种颜色.现有5种颜色可供选择，则不同的着色方法共有________种（用数学作答）.【详解】第一类：先涂A，有5种情况，涂B，有4种情况，涂C，有3种情况，D与B同色，涂E，有3种情况，共有种.第二类：先涂A，有5种情况，涂B，有4种情况，涂C，有3种情况，D与B不同色，有2种情况，涂E，有2种情况，共有种.综上共有420种.故答案为：42015．在数学中，有一个被称为自然常数（又叫欧拉数）的常数．小明在设置银行卡的数字密码时，打算将自然常数的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，那么小明可以设置的不同密码共有______个．【详解】如果排列时要求两个2相邻，两个8不相邻，两个2捆绑看作一个元素与7，1全排列，排好后有4个空位，两个8插入其中的2个空位中，注意到两个2，两个8均为相同元素，那么小明可以设置的不同密码共有．故答案为：36.16．在的展开式中，含的系数是_______；若对任意的，恒成立，则实数λ的最小值是_______．【详解】∵的展开式中含的项的系数为，∴∴，∴，∵对任意的，恒成立，∴

对任意的，恒成立，设，∵，∴当时，，即当时，，即当时，，即∴

当或时，取最大值，最大值为，∴，∴

λ的最小值是，故答案为：；.四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．）17．已知某圆上的10个不同的点.(1)过每2个点画一条弦，一共可画多少条弦？(2)过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画多少个圆内接三角形？【详解】（1）2点可以确定一条直线从10个点任选2个点取法故一共可画条弦（2）不共线的三点确定一个圆从10个点任选3个点取法有故一共可画个圆内接三角形18．现有6本不同的书，如果满足下列要求，分别求分法种数．(