云南省曲靖市重点中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题及参考答案

曲靖市重点中学2023年春季学期高二年级月考试卷（二）数学本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.第I卷（选择题，共60分）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合，，，则（）A. B. C. D.2.在复平面内，复数满足，则（）A.1 B. C. D.3.已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（）A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项4.设函数，则（）A.7 B.6 C.5 D.45.已知等差数列的前项和为，若，则（）A.60 B.50 C.30 D.206.已知函数的导函数为，且满足，则（）A. B. C.1 D.7.为庆祝中国共产党成立100周年，树人中学举行“唱红歌”比赛.现有甲、乙、丙、丁共4人进人决赛，则甲必须在第一或第二个出场，且丁不能最后一个出场的方法有（）A.6种 B.8种 C.20种 D.24种8.某乡镇实现脱贫目标后，在奔小康的道路上，继续大步前进，依托本地区苹果种植的优势，经过3年的发展，苹果总产量翻了一番，统计苹果的品质得到了如图1所示的饼图：70，80是指苹果的外径，则以下说法中不正确的是（）A.80以上优质苹果所占比例增加B.经过3年的努力，80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标C.70~80的苹果产量翻了一番D.70以下次品苹果产量减少了一半二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.设向量，，则（）A. B.与同向的单位向量是C. D.与的夹角是10.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列说法中正确的是（）A.若，，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则11.设，则下列说法正确的是（）A.B.C.展开式中二项式系数最大的项是第5项D.12.已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A.若，则是等差数列B.若，则是等比数列C.若是等差数列，则D.若是等比数列，且，，则第II卷（非选择题，共90分）注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若正数，满足，则的最小值为______.14.经过两条直线：和：的交点，且与直线垂直的直线方程为______.15.在50件产品中，有48件合格品，2件次品，从这50件产品中任意抽出3件，抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有______种.16.已知，是双曲线的左、右焦点，是其左顶点.若双曲线上存在点满足，则该双曲线的离心率为______.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）在中，内角，，的对边分别为，，，且.（I）求角的大小；（II）若，，求的面积.18.（本小题满分12分）设等比数列的前项和为，且满足，.（I）求数列的通项公式；（II）设，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分12分）如图2，已知四棱锥中，平面，为等边三角形，，，是的中点.（I）求证：平面；（II）若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.20.（本小题满分12分）某市为了了解人们对传染病知识的了解程度，对不同年龄的人举办了一次“防疫抗疫”知识竞赛.现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图3所示的频率分布直方图，其中第一组有6人（I）求；（II）估计抽取的人的年龄的85%分位数；（III）采用样本量比例分配的分层随机抽样从第四、五组中抽取6人，并从这6人中任取2人，求这2人中至少有1人来自第四组的概率.21.（本小题满分12分）已知函数，若曲线在处的切线方程为.（I）求，的值；（II）求函数在上的最小值.22.（本小题满分12分）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，且过点.（I）求椭圆的方程；（II）已知点，过且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点，，求直线的方程.参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）题号12345678答案BDCACBBD【解析】1.∵，，∴，又，∴，故选B.2.，故选D.3.令，化为：，，解得，故选C.4.∵，∴，∴，故选A.5.∵数列为等差数列，∴，∴，故选C.6.函数，则，那么：，解得：，故选B.7.先排甲，再排丁，最后排乙、丙即可，则出场的方法共有，故选B.8.设原苹果总产量为，则经过3年的发展苹果总产量为，3年前80以上优质苹果所占比例50%，3年后80以上优质苹果所占比例60%，所占比例增加，故A正确；3年前80以上优质苹果的产量为，3年后80以上优质苹果的产量为，∴80以上优质苹果产量实现翻了一番的目标，故B正确；3年前70～80苹果的产量为，3年后70～80苹果的产量为，∴70～80的苹果产量翻了一番，故C正确；3年前70以下次品苹果的产量为，3后70以下次品苹果的产量为，∴70以下次品苹果的产量没变，故D错误，故选D.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）题号9101112答案CDACDABDBC【解析】9.根据题意，依次分析选项：对于A，∵，，∴，，，故选项A错误；对于B，令，则，由单位向量的定义知与同向的单位向量不可能是，故选项B错误；对于C，∵，，∴，故，∴，故选项C正确；对于D，∵，，∴，又∵，∴与的夹角为，故选项D正确，故选CD.10.对于A：若，，，则，根据线面平行的性质定理可知是正确的，故A正确；对于B：若，，则或，故B错误；对于C：若，，，则，如图1，在平面内取点，由向平面，的交线作垂线，垂足为，由向平面，的交线作垂线，垂足为，由面面垂直的性质可得，，从而得，，由线面垂直的判定定理可得，故C正确；对于D：根据线面垂直的性质定理“垂直于同一条直线的两个平面平行”可得，且，即可得，故D正确，故选ACD.11.令，得，故A正确，令，得，即，故B正确，展开式共11项，二项式系数最大的是第6项，故C错误，，则成立，故D正确，故选ABD.12.根据题意，依次分析选项：对于A，若，则，，，则不是等差数列，A错误；对于B，若，则，当时，，时，也满足，所以，则是等比数列，B正确；对于C，是等差数列，则，C正确；对于D，若是等比数列，，∴，故D错误，故选BC.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案1623043【解析】13.∵正数，满足，∴，当且仅当也即当时取“”.14.联立方程解得∴所求直线过点.又∵所求直线与直线垂直，∴所求直线的斜率为，∴所求直线方程为，即.15.根据题意，从这50件产品中任意抽出3件，有种取法，其中没有次品的取法有种，则至少有1件是次品的抽法有种.16.令，又，，，则，∴，故，∴.四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解：（Ⅰ）∵，∴由正弦定理可得，即，∴又∵，∴.（Ⅱ）∵，∴∴，又∵，故，所以.18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意，等比数列中，设其公比为，若，即，解得，又由，即，解得，则（Ⅱ）根据题意，设，则，数列为等差数列，假设存在正整数，使得，则有，即变形可得，解得或（舍），故存在正整数，满足题意.19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：如图2，取的中点，连接，，则，且又因为，所以且，所以四边形是平行四边形，，因为为等边三角形，为中点，所以，又平面，所以，所以平面，由得平面.（Ⅱ）解：以中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.可得，，，，所以，，，设是平面的一个法向量，由所以可取，设是平面的一个法向量，同理可取，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由频率分布直方图可知，第一组的频率为，所以，解得.（Ⅱ）设85%分位数为，则，解得，故85%分位数的估计值为38.75.（Ⅲ）由频率分布直方图可知第四、五组的抽取比例为2∶1，抽取6人，则第四组抽取4人，记1，2，3，4，第五组抽取2人，记，，随机抽取两人，，，，，，，，，，，，，，，，共15种，至少1人来自第四组的有14种，所以至少1人来自第四