《微积分》上册课后习题详细答案

第一章作业解答

A1.（1）相同。两个函数的定义域相同，对应法则相同。

（2）不同。第一个函数是yx.第二个函数是yx2x。二者的对应法则不同。两个函数不相同。

（3）不同。第一个函数是yx

x2x

x,(x0),第二个函数是y1，

定义域为R.定义域不同，对应法则不同。

1arcsin,2．（1）y1x,x2x1x1

解：定义域为(,1](1,)(,)。

（2）ylgtanx

解：tan

（3）yx0。由图像得定义域为k,k，kz2x

x2x12。x02解：x2x1

2x2x10xx12x1，则x12

220。则

12x0,x1x12。2,则定义域为12,01。

8.解：成本函数为C(x)bx

设商品的需求函数为qcbp，则有1000cad

1300c0.9ad解得c4000,d3000

a

1

所以需求函数为：q

4000

3000a

p

解得p

x

4000qa

3000

收益函数为R(x)利润函数为L(x)

px

(4000x)a

3000

a4000x

R(x)C(x)xb

3000

9设该电器的线性需求函数为qabp.

1000a1200b

1500a1000b

可得

px

a4000b2.5

,q40002.5p

收益函数为R(x)

4000x2.5

x0.4x10000x

2

13.(1).同阶无穷小量。lim

x2xx

4

x0

lim12x10

3

x0

x2x4是x的同阶无穷小量。（2）高阶无穷小量。lim

x0

exx

x

x

lim(e1)0

x

x0

exxx是x的高阶无穷小量。（3）高阶无穷小量。lim

x0量为无穷小量）。x17．正确。lim

x2

2

xsin

x

2

1x

limxsin

x0

1x

=0。（无穷小量乘以有界

sin

x

2

1x

是x的高阶无穷小量。

x

2

2

2

(x1)

limx1

x2

(21)

81.

连续。18．第一个等号。19．（1）lim

n

2nnn

2

2

2。

解：原式=lim

n

1n

2

sin（2）limn

解：原式=lim2lim

n

nsinn1n

2

sin

n

2n1

2cos

n1

n1

n

cos

n

2n

2

n1

sin

n

21

n1

nn1

n

cos=limn

n1

sin

2

nn1

=0（无穷小量乘以有界量还是无穷小量）（3）lim2

n1

x1

111

1

解：原式=2+（4）limn

112

=。

2

5

123

134

nn11

解：原式=lim

11111111n22334nn1

1。n11

=lim1

n

x163x18（5）lim14x

2x1

x163x18

解：原式=lim

x

x

6

x

14

8

2x1

x

14

2

1113

xx

=limx114

(2)

x

68

32

8

14

（6）lim

x0

tx2

x

t

x

lim

(2tx)x

x

lim2tx2t

x0

解：原式=lim（7）lim

x1

(txt)(txt)

x0x0

x83

3

x1

3

解：原式=lim

x1

(x83)(x83)(x

2

x1)

x1x83

x

2

12

x1x23x1limlimx1x1

x1x83

3

x1

x83

20．（1）lim

arcsin3x

tan2x

3x3

解：原式=lim

x02x2

x0

。

（2）lim

n

3sin

n

3

n

3

nn

sin

解：原式=limn

3

x1

=

x1

（3）lim

xx2

x1

x23

解：原式=lim

x

x2

1

lim1xx2

3

x1

x23

3

=lim1xx2

x1

x23

x13x2

lim

x

3x1x2

=limex

e

x

e

3

（4）lim

x

3

12cosx

sinx

3

2(1

cosx)2(coslim

x

3

cosx)

解：原式=lim

x

3

sin(x

3

)

3

sin(x

3

)

2(2sin

3

x2

sin

3

x2

)

2sin(

x2

6

)(x

3

)

=lim

x

3

sin(x

3

)

=lim

x

3

x

3

=

3

4

（5）limxarctanx

1cosx23

2x0解：原式=limx0

（6）limxx12x43ln13x

arcsinx

x0x3x0解：原式=lim

21．（1）fxx

tanx3x

k,且xk解：fx的定义域为x

limx02f(x)limxtanxx01但f0无意义。

x00为可去间断点。

k同理可得x

20为可去间断点。

xk又当xk(k

xk(k0)时，limfx0)是无穷间断点。

（2）fxln(1x)

x12x2

1

2,x1解：fx的定义域为x0,x

limfxlimx0ln1x2x0x12xlimx2

x0x12xlimx

2x1x01

而f0无意义。x

x1x10为可去间断点。fx又limfx;limfx;lim

2x1

x1,x1

2为无穷间断点。

1

x3x22（3）fxarctan

解：fx的定义域为x1,x2,5

fxarctan

limfx

x1

1x3x2

2

=arctan=，lim

1(x1)(x2)

fx

limfx

x2

2

limfx

x1

2

2

2

x2

x1,x2为跳跃间断点。22．证明：设f(x)sin

xxa,(a.0)，在,0上连续。

f0a0；a2,0；

fa2sin(a2)(a2)asin(a2)20

因此方程sin

xxa0,(a.0)

在（a2,0)令

1x

xxa0,(a.0)在,0fx

1t

1t

2

1t1t

2

1x1x

2

。

2

2

y

5．解：f

x

xyx

=

y1

x

2

令

yx

t,yxt

2

则ftfx

tx

2

x2,x02x,x0

6．解：fx，g(x)

2x,x0x,x0

6

gx2,gx0

fgx

gx,gx0

因为gx0时，x(,)，所以fgxg(x),x(,)因此

x2,x0

fgx=

2x,x0

2fx,fx02fx,fx0

gfx即gfx=

2x,x02x,x0

2

11．（1）D.当

1xn

为无穷小时，lim

n

x

ynlim

1xn

x

xnynlim

1xn

x

limxnyn0

x

（A）设x(B)设xn(C)设x

n

n,yn

1n

2

;xn发散，yn收敛。

1(1)

2

n1

1(1)

2

1n

2

n

n,yn

n

;xn，yn均无界。为无穷大。

,ynn；xn有界，yn

（2）B.

fx在点x0的某个邻域内有定义且x0是它的间断点，必有xlim

x

f(x)不存在，或limf(x)f(x0)

xx0

（A）连续×间断=可能连续。例(sgnx)×(sinx)（B）连续+间断=间断（C）间断×间断=可能连续（D）∣间断∣=可能连续(3)B.

f(x)lim

1x1x

2n

n

lim

1x1(x)

7

2

n

n

0x1

fx1x

1x1

1x1

0x1

在x1处

由于f(1)0，limf(x)0

，

limx1

x1

f(x)0

所以函数在x1连续

在x

1处

由于f(1)0，lim

f(x)lim(1lim(lim0x1

0

x)2，x1

fx)x1

0x

所以x1是间断点。

(4)D.假设F(x)

gxfx

处处连续。则gx

gxfx

fxF(x)f(x)

处处连续，这

与gx有间断点矛盾。

xx2

13.解：fxsinx,x0

x

x2

1

,x0fx的定义域为xk

（k为负整数）

在x0处

limlimx(x2)

x(x2)

x2

x0

fxx0

sinxlimx0

x

limx0

2

limlimx

x0fx0x0x2

1

limx0

fxlimx0

fx

x0是跳跃间断点。

在x2处

limfxlim

x(x2)))x2x2sinx

xlim

x(x22

sin(2x)

lim

x(x22

sin(2x)

x

8

limx(x2)

x2(2x)2

所以x2为可去间断点。在xkk为负整数且k2处xkk为负整数且k2时，limfxlimxkx(x2)sinxxk

xkk为负整数且k2为无穷间断点。

习题二作业解答１．求曲线y

解：y1

3x3x在x8处的切线方程和法线方程．1

382

323，kyx8

1

12112,切点为(8,2)所以切线方程为y2(x8)，即x12y160

法线方程为y212(x8)，即12xy980４．设f(x)可导，求下列极限：

（1）lim

解：limf(xx)f(xx)xx

f(xx)f(x)

x

f(xx)f(x)

xf(xx)f(xx)；f(xx)f(x)f(xx)f(x)xf(xx)f(x)xxx0x0＝limx0＝limx0lim(x0)＝limx0limf(xx)f(x)x0

＝f(x)f(x)2f(x)

（2）lim

解：limf(x2x)f(xx)xf(x2x)f(xx)

xx0f(x2x)f(x)f(xx)f(x)xx0＝limx0

9

＝lim2

x0

f(x2x)f(x)

2x

f(x2x)f(x)

2x

limlim

f(xx)f(x)

x

f(xx)f(x)

x

)

x0

＝2lim

x0x0

＝2f(x)f(x)f(x)

（3）lim解：lim

f(x3x)f(xx)x

f(x3x)f(xx)

x3x

f(x3x)f(x)

3x

＝lim

f(x3x)f(x)f(xx)f(x)

x

f(xx)f(x)

x

f(xx)f(x)

x

)

x0

x0x0

＝lim(3)

x0

f(x3x)f(x)

lim

x0

＝3lim

x0

lim

x0

＝3f(x)f(x)4f(x)

5．设函数f(x)

1x1x

x0x0

，讨论该函数在x

0

处是否连续，是

否可导，若可导则求出f(0)。

解：∵f(0)1，limf(x)lim(1x)1，limf(x)lim(1x)1

x0

x0

x0

x0

∴该函数在x

x0

0

处连续．

1x1

x

x0

lim

f(x)f(0)

x0

lim

1，lim

x0

f(x)f(0)

x0

lim

x0

1x1

x

1

∴该函数在x

0

处不可导．

3

6．函数f(x)

f(0)。

x

2

，在x

0

处是否连续，是否可导？若可导则求出

解：∵f(0)0，limf(x)lim

x0

x0

x1

2

0，∴该函数在x0处连续．

lim

f(x)f(0)

x0

x0

lim

xx

2

x0

lim

x0x

∴该函数在x

0

处不可导．

1

xsin

7．设函数f(x)x

0

x0x0

，证明该函数在

x0

处连续，但

在

x0

处不可导．

1x

x0

x0

解：∵f(0)0，limf(x)limxsin0，∴该函数在x0处连续．

10

lim

f(x)f(0)

x0

xsin

lim

x0

1

x0

xx0

0

limsin

x0

1x

不存在∴函数在x

0

处不可导．

8．计算下列函数的导数(2)解：

f(x)

3(x

2

3

x2)

f(x)3(x

2

x2)3(2x

13

x

23

)23x

33x

2

(4)f(x)解：f(x)

xx1

22

1x

2

22

(x1)x2x

(x1)

2

2

(x1)

(6)f(x)tanxxcotx

解：f(x)sec2x[cotxx(csc2x)]sec2xcotxxcsc2x(8)ysinnxcosnx解：ynsin

n1

x(sinx)cosnxsin

n

x(sinnx)(nx)

n

nsinnsinnsin

n1

xcosxcosnxsinxsinnxn

n1

x(cosxcosnxsinxsinnx)xcos(xnx)nsin

2

2

3

n1n1

xcos(n1)x

(12)y

x

2

(xa)

y2lnx

32

ln(xa)

2

2

解：方程两边同时取对数ln方程两边同时对x求导

yy(

1y

y

2x

3

2xa

)x

2x

2

2

2

2

2

2x

3xxa

2

2

xa(5x2a)

2

(13)y解：y

2tanx1tanx1

2

2sec

2

x(tanx1)(2tanx1)sec

(tanx1)

2

x

3sec

2

x

2

(tanx1)

3

cos

2

x(tanx1)

2

9．计算下列函数的导数：

11

（1）sinxyy，求

dydx

；

解：方程两边同时对x求导，有(sinxy)y即cosxy(yxy)y所以y（2）xyarctany，求

dydx

ycosxy1xcosxy

；

解：方程两边同时对x求导，有x(yarctany)即1y

11y

2

y所以

dydx

y

1y2y

22

（3）ysinxcos(xy)，求；

解：方程两边同时对x求导，有(ysinx)[cos(xy)]即ysinxycosxsin(xy)(1y)

ycosxsin(xy)[sin(xy)sinx]y

所以y

sinx(y)ycoxssinx(y)sixn

dydx

x0

（4）x23xy33xy80，求；

解：方程两边同时对x求导，有2x33y2y3(yxy)0即(3y23x)y32x3y所以y

dydx

x0

32x3y3y3x

2

当x0时y2因此（6）y(

1xx)

x

3032320

2

14

，求

dydx

；

1x

解：在等式两边取对数，有lnyxln(1)方程两边同时对x求导，得

1yyln

1xx

x

x1

2

1xx

12

yy(ln

1xx

11x

)

所以y(

1xx

)(ln

x

1xx

11x

)

yasin3tdy

（7），求；3

dxxacost

解：

dydx

(asin

33

t)

(acost)

3asin

2

tcost

2

3acostsint

tant

ytt2dy

（8），求；2

dxx1t

解：

dydx

(tt)(1t)

2

2

12t2tdydx

1

12t

（9）

dydx

yatsintxatcost

，求；

sinttcostcosttsint

解：

(atsint)(atcost)

asintatcostacostatsint

（10）

dydx

ya(1cost)xa(tsint)

，求

dydx

；

sint1cost

解：

[a(1cost)][a(tsint)]

asinta(1cost)

dydx

x

10.设f(x)可导,且yf(sin2x)f(cos2x)，求解：yf(sin2x)(sin2x)f(cos2x)(cos2x)

f(sinf(sin

2

；

4

x)2sinxcosxf(cosx)sin2xf(cos

sin2

x

2

x)2cosx(sinx)

2

22

x)sin2xsin2x[f(sin

2

x)f(cos

2

x)]

所以，

dydx

4

4

[f(sin

4

)f(cos

2

4

)]sin

11

[f()f()]0222

14.求下列函数的微分：(1)y

x1x1

22

,求dy；

2

解：dy

2xdx(x1)(x(x

2

22

1)2xdx

1)

4xdx(x1)

13

2

2

4x(x

2

1)

2

dx

(2)y

ln

1sinx1sinx1sinx1sinx

,求dy；

12

121

1

解：y

ln

11

ln(1sinx)

1

ln(1sinx)

dy

1cosx

21sinx21sinx

d(1sinx)dx

1

21sinx

dx

d(1sinx)

2cosx

2

cosx

21sinx21sinx

dx

1cosx

dx

(3)yxx2arcsinx,求dy

解：dyarcsinxdxx2xx2darcsinx

arcsinx(x

2

x

2x2x

2

)dxxx

2

1x

2

dx

(

12xx

22

arcsinxx)dx

(4)x23xy22yy35,求dy;

解：等式两边求微分，有d(x23xy22yy3)d5即2xdx3y2dx3x2ydy2dy3y2dy0所以dy(5)sin

xyxy

2x3y

2

2

26xy3y

dx

，求dy;

xydxy

解：等式两边求微分，有dsin即cos(6)y

yycosxyxcosxyx

dx

yxdx

xy(ydxxdy)(ydxxdy)所以dy

1xe

y

，求dy;

d(1xe)

y

解：等式两边求微分，有dy即dy

y

dxe

dy

edxxedy

yy

所以dy

e

y

y

1xe

dx

16.求下列函数的弹性：

14

(1)y

解：axbEy

Exdyxaxdxyaxb

(2)y

解：xEy

Exdyx1xxdxyx

x(3)y

解：aEy

Exdyxxxalnaxxlnadxya

习题三作业解答

3．不用求出函数f(x)(x1)(x2)(x3)(x4)的导数．说明方程f(x)0有几个实根，并指明他们所在的区间。

解：因为f(1)f(2)f(3)f(4)0，且函数f(x)在区间[1,2]，[2,3]，[3,4]上连续可导，由罗尔定理知，在(1,2)上至少存在一点1，在(2,3)上至少存在一点2，在(3,4)上至少存在一点3，使得f(1)0，f(2)0，f(3)0故方程f(x)0至少有三个实根。

而f(x)是三次多项式最多有三个实根，因此方程f(x)0只有三个实根，它们分别在区间(1,2)(2,3)(3,4)上。

４．若函数f(x)在(a,b)f(x)在区间[x1,x2]，[x2,x3]上连续可导，由罗尔定理知，在(x1,x2)上至少15

存在一点1，在(x2,x3)上至少存在一点2，使得f(1)0，f(2)0。又因为(1,2)(x1,x3)(a,b)，所以f(x)在区间[1,2]上连续可导，由罗尔定理知，在(1,2)上至少存在一点(1,2)(x1,x2)，使得f()0。5．证明方程x5x10只有一个正根。证：（方法一）

（1）存在性：设f(x)x5x1，则f(x)在[0,1]上连续，又因为f(0)1，

f(1)1由零值定理，在(0,1)

5

由零值定理，在(0,1)内至少存在一点xx10至少有一个正根。

5

，使得f()0。即方程

（2）唯一性：因为f(x)5x410，所以函数f(x)x5x1在(,)上单调递增，故函数f(x)x5x1与x轴最多有一个交点。即方程x5x10最多有一个正根。

由（1）（2）知，方程x5x10只有一个正根。（B）1．证明方程1x证：（方法一）

（1）存在性：设f(x)1x

x

2

x

2

2

x

3

6

0只有一个实根。

2

x

3

6

，则f(x)在[2,0]上连续，又因为

16

f(2)

13

，f(0)1，由零值定理，在(2,0)由（1）（2）知，方程1x6．用洛必达法则求极限：（1）求limx0

ln(1x)

x

2

x

3

6

0只有一个实根。

1

解：limx0

ln(1x)

x

lim

[ln(1x)]

x

x0

1xlimlim1x01xx01

1

17

（2）求lim

x

ee

xx

x0

x

sinx

lim

(ee

x

x

解：lim

ee)

x0

sinx

x0

(sinx)

lim

ee

xx

x0

cosx

2

（3）求lim

sinxsina

xa

lim

xa

xa

(sinxsina)

(xa)

解：lim

sinxsina

xa

lim

cosx1

xaxa

cosa

（4）求limx解：lim

x

sin3xtan5x

sin3xtan5x

lim

(sin3x)(tan5x)

lim

3cos3x5sec5x35

2

x

x

35

lim

35

x

cos3xcos5x

mn

2

(1)(1)

2

（6）求lim

x

mn

mn

a

xa

xa

(x

mn

解：lim

x

mn

a

xa

xa

lim

a)

n

m

xa

(xa)

lim

mxnx

m1n1

xa

mana

m1n1

mn

a

mn

（7）求lim

x0

lntan7xlntan2x

1

2

lntan7xlim(lntan7x)lim解：lim

x0(lntan2x)x01x0lntan2x2

2sec2x

7sec7x

tan2x

lim

x0

7sin4x2sin14x

lim

x0

7cos4x42cos14x14

1

（11）求limxcot2x

x0

解：limxcot2xlim

x0

xtan2x

x0

lim

x2x

x0

12

18

1

（12）求limxex

x0

1

12

2

2

2

1

1

xexlim解：limx0x01

x

3

2

e

x

2

lim

(e(

x

2

))

x0

1x

2

lim

ex(2x2x

2

3

)

1

x0

3

limex

x0

2

2

11.确定下列函数的单调区间：（1）y2x6x18x7

解：函数的定义域为(,)y6x12x186(x1)(x3)令y0，得驻点x11，x23列表：

2

所以函数的单调递增区间为(,1]，[3,)单调递减区间为[1,3]。（2）y2x

8x

，(x0)

解：函数的定义域为(0,)

y2

8x

2

2(x2)(x2)

x

2

令y0，得驻点x12（舍），x22

当x2时，y0，所以函数的单调递增区间为[2,)当0x2时，y0，所以函数的单调递减区间为(0,2]。（3）f(x)x2lnx，

解：函数的定义域为(0,)f(x)2x令f(x)0，得驻点x11（舍），x21

当x1时，y0，所以函数的单调递增区间为[1,)

19

2

2x

2(x1)(x1)

x

当0x1时，y0，所以函数的单调递减区间为(01]。

（5）y(x1)(x1)

解：函数的定义域为(,)

y(x1)(x1)3(x1)2(x1)(2x1)3223

令y0，得驻点x11，x2

1

2

1

2121当x时，y0，所以函数的单调递增区间为[,)21当x时，y0，所以函数的单调递减区间为(,]。2

12.求下列函数的极值：

（1）求函数f(x)x55x1的极值解：解：函数的定义域为(,)

42f(x)5x55(x1)(x1)(x1)

令f(x)0，得驻点x11，x21，

由于f(x)20x3，则

33f(1)20(1)200，f(1)201200

所以函数在x1处取得极大值f(1)5，在x1处取得极小值f(1)3。

（2）求函数yxlnx的极值

解：函数的定义域为(0,)

ylnx1

令y0，得驻点x

1

x1e，由于y，则y

x1

ee0

20

所以函数在x

1e

处取得极小值y()

e

11e

。

（3）求函数yx2x1的极值解：函数的定义域为(,)

2

2xx

yx2x10

x2x2

xxx

12

1212

由于

因为lim

x(

12

)

11

2x(x)f(x)f()2

2xx012limlim11111x()x()

xxx22

222

lim

x(

12

)

11

2x(x)f(x)f()2

212limx2x0lim

11111x()x()

xxx22

222

12

所以函数在点x

4x1y

14x

处导数不存在，x

1212

12

为不可导点。

14

xx

又，令y0，得驻点x，

14

1

1

18

，

由上表可见，函数在x

12

处取得极大值f()

4

在x处取得极小值f()0

2

13.判定下列曲线的凹凸性，并求拐点：：（1）y

4xx

2

21

解：函数的定义域为(,)

y42x，y20

所以曲线在(,)上是凸的。没有拐点。（2）

f(x)xlnx

2

解：函数的定义域为(0,)

2(x

12x)(x

2

12

f(x)2x

1x

，f(x)2

12

1x

2

2x1x

2

2

)

令f(x)0，得x1

1212

1

（舍），x2

12

当x

1

时，f(x)0，所以函数的凹区间为[,)

2

当x

1时，f(x)0，所以函数的凸区间为(0,]。

2

拐点为(

22

,

1

ln

22

)。

（3）yx

1x

，(x0)

解：函数的定义域为(0,)

y1

1x

2

，y

2x

3

0，x(0,)。

所以曲线在(,)上是凹的。没有拐点。（4）

f(x)xe

x

解：函数的定义域为(,)，f(x)exxex，

xxxx

f(x)eexee(x2)令f(x)0，得x2，

当x2时，f(x)0，所以函数的凹区间为[2,)，

22

当x2时，f(x)0，所以函数的凸区间为(,2]，拐点为(2,

2e

2

)。

14.求下列函数的最大值和最小值：（1）y

x4x8，x[1,1]

4

3

解：y4x312x24x2(x3)，令y0，得驻点x10，x23（舍）因为y(0)8，y(1)13，y(1)5

所以函数的最大值为y(1)13，最小值为y(1)5。（2）y

4ee

x

x

，x[1,1]

(2e1)(2e1)

e

x

x

x

解：y4ee

xx

，令y0，得驻点xln2，

1e

因为y(ln2)4，y(1)

4e1e

e，y(1)4e

所以函数的最大值为y(1)4e（3）yxe解：ye

x

，最小值为y(ln2)4

x

2

，x[1,1]

x

2

2

xe(2x)e

22

x

2

(12x)2e

2

x

2

(x

22

)(x

22

)，

令y0，得驻点x1

2

，x2

12e

22

1e

1e

因为y(

，y(

22

2

y(1)，y(1)

22

1

所以函数的最大值为y(

1x

)

，最小值为y(

)

2e

。

（4）yx

1x

2

，x[

12

,2]

解：y1

(x1)(x1)

x

2

令y0，得驻点x11（舍），x21

23

因为y(1)2，y()

2

11212

2

52

，y(2)2

52

12

52

，

所以函数的最大值为y()y(2)，最小值为y(1)2。

17.商店销售某商品的价格为P(x)ex（x为销售量）求收入最大时的价格。解：设收入函数为R(x)，则R(x)xp(x)，即R(x)xex

R(x)e

x

xe

x

e(1x)，令R(x)0，得驻点x1。

1e

x

因为R(x)ex(1x)ex(x2)ex，R(1)0

由于驻点惟一，所以R(1)为函数的极大值，也是最大值，

1因此x1时收入最大，此时的价格为p(1)e

1e

第四章作业解答

1．用积分公式直接求下列不定积分：（1）解：

9x4xx1

x

4

3

4

32

32

9x4xx1

x92

4

23

(9x4x

C

x

3

)dx9xdx4x

dx

x

3

dx

x8x

12

x

2

92

2

x

2

8x

12x

2

C

（3）解：

3x3x1

x13x3x1

x1

3

2

2

42

2

3x(x1)1

x1

2

22

3xdx

2

1x1

2

xarctanxC

（5）(3e)5xdx

24

解：(3e)dx[(3e)]dx

5x

5

x

[(3e)]ln(3e)

5x

5

C

(3e)

5x

5ln35

C

（7）sin解：sin

2

x2x2

dx

2

dx

1cosx

2

dx

12

dx

12

cosxdx

12

x

12

sinxC

2．用积分公式直接求下列不定积分：（1）解：

(x1)

x

22

(x1)

x

25

5

3

x2x1

x

1

231

(x

2

2x2x

12

)dx

x2

43

x22x2C

（2）xxxdx

1

解：xxxdxx2（3）解：

cos2xsin

2

2

14

18

7

dx

x

8

dx

815

15

x

8

C

xcosx

cos2xsin

2

2

xcos

2

x

cossin

22

xsinxcos

2

2

x

x

(

1sin

2

x

1cos

2

x

)dx

(csc

xsec

2

2

x)dxcotxtanxC

（4）解：

1cosx

1cos2x

2

1cosx

1cos2xe(xe

x

xx

1cos2cos

2

2

xx

1

2cos

1

2

x

12

dx

12

tanx

12

xC

x

（5）解：

)

dx

e(xe

x

x

)

dx

edx

x

1x

elnxC

x

3．用第一类换元法求下列不定积分：（1）exdx

25

解：exdxexd(x)exC（2）2x1dx

5

解：42x1dx

1

14

(2x1)2

d(2x1)

1(2x1)42

54

C

25

5

(2x1)4C

（3）解：

dx(12x)dx

3

1

1

12

14

(12x)

3

2(12x)

d(12x)3

(12x)

3

d(12x)(12x)

2

C

（4）axexdx

解：aedx(ae)dx

x

x

x

(ae)

x

lnae

C

ae

xx

lna1

C

（5）解：

dx49xdx

22

14

49x

dx1(

3x2)

2

12

43

11(

3x2)

2

d(

3x2

)

16

arctan

3x2

C

（6）解：

dxcos(2x

dx

2

4

)1

1cos(2x

2

cos(2x

2

4

)

2

4

(2x)

4

)

12

tan(2x

4

)C

（7）解：

sec

2

x

tanx

2

secx

tanx

tan

1x

tanxlntanxC

（8）

x2xx2x

22

解：

1

4

12x

2

(12x)

2

12

1

(12x)2C

2

4．用第一类换元法求下列不定积分：

26

（1）解：

x

2

3

2xx

2

3

1

2x

23

x

3

12x

23

3

(2x)

3

13

(2x)

3

12

d(2x)

3

1

(2x)2Cdx

3

2x

3

C

（2）解：

eedx

x

ee

xx

e

edx

2x

x

1

e

1

2x

1

dearctaneC

xx

（3）解：

14

dxx2x5dx

22

x2x5

x

2

dx

2

2x14

12

(x1)

2

C

dx

2

4

14

dx1(

x12)

2

2

11(

x12)

2

(

x1

)arctan

x1

（4）解：

1xx1xx

arctan

22

1x

1xx

2

11(x)

2

x2arcsinxC

（5）解：

1x

2

dx

1x

1x

12

1x

arctan1x

2

1x

dxarctan

darctan

(arctan

)C

2

（10）tan3xdx

解：tan3xdx=tanx(sec2x1)dxtanxsec2xdxtanxdx

tanxdtanxtanxdx

12

tan

2

xlncosxC

（11）sin3xdx

解：sin3xdxsinxsin2xdx(1cos2x)dcosx

27

dcosxcos

2

xdcosxcosx

13

cos

3

xC

5．用第二类换元法求下列不定积分：（1）x解：设t所以x

3xdx

，则x

t

2

3x

3，dx2tdt

3

3xdx

4

2

(t

2

3)t2tdt

(t

2

3)t2tdt

5

2(t

3t)dt

=

25

t

5

2t

3

C

25

(3x)

2

2(3x)2C

（3）

dxx

6

3

x

解：设tx，则xt6，dx6t5dt

dxx

2

3

x

t

6tdt

3

5

t

2

6

1t1

t

3

t1

6

3

2

t11t1

3

6(

(t1)(tt1)

t1

2

1t1

)dt

6(tt1)dt6

dt2t3t6t6lnt1C

2x3x6x6ln

x1C

（5）

dxe

2x

12

解：设t

e

2x

，则x

t

ln(t

2

1)，dx

tt

2

1

dt

所以

dxe

1212

2x

t1

t

2

t

1

2

1

12

(

2x2x

1t1

1t1

)dt

e(e

2x2x

2

(lnt1lnt1)C

12

2

12

2

ln

ee

11

C

12

ln

C

1)

lne

2x

ln(1e

2x

1)Cxln(e2x1)C

（8）x3

4xdx

解：设x2sint，则dx2costdt

所以x34x2dx8sin3t44sin2t2costdt

28

32sintcostdt32(costcost)dcost32(

3224

cost3

3

cost5

5

)C

323

(

4x2

2

)

3

325

(

4x2

2

)C

5

43

3

(4x)2

15

5

(4x)2C

（10）

dxx

2

2

3

(1x)

解：设xsint，则dxcostdt所以

dxx

2

(1x)

2

23

sin

costdt

2

t(1sint)

23

sin

x

2

costdt

2

tcostxx

2

3

sin

2

tcost

2

2

sintcost

2

(sec

2

tcsct)dttantcostCxdx(1x)

2

3

2

C

x

（12）

2

解：设xtant，则dxsectdt

所以

xdx(1x)

2

3

2

tan

2

tsectdt

2

2

(1tant)

3

tan

2

tsectdt

3

2

sect

xx

2

(sectcost)dtlnsecttantsintCln

x

2

x

C

6．用分部积分法求下列不定积分：（1）(exlnx)dx

解：(exlnx)dxexdxlnxdxexxlnxxdlnx

exlnx

x

dxexlnxxC

x

（2）x2e2xdx解：x2e2xdx

1212xexe

22

2x

1

2

xe

xde

2x

22x

12

12

2

xe

22x

112

12

e

2x

dx

2

12

dx12

xe

2x

xde

2

xe

2

2x

12xe

2x

2x

xe

2x

e

2x

dx

2x

1

e4

2x

d(2x)

29

12

xe

22x

12

xe

2x

14

e

2x

C

12

e

2x

(xx

2

12

)C

（3）(2x3x2)arctanxdx解：(2x3x2)arctanxdx

arctan

2

3

xd(xx)(xx)arctanx

2323

(x

2

x)darctanx

3

(xx)arctanx

x

xx1x

22

23

dx

(xx)arctanx

2

3

23

x(x1)x1x1

1x

xdx

2

2

2

dx

11x

2

(xx)arctanx

dx

1

1x

1

2

x

2

dx

2

dx

(xx)arctanx

23

2

x

21x

12

d(1x)arctanx

(xx1)arctanx

lnxx

2

23

x

2

2

x

ln(1x)C

2

（4）(解：(

lnxx1x

1x1x

)dx

2

2

)dx

(lnx)x

2

(lnx)d

1xdx1x

1x

2

1x

1x

(lnx)

1xx

2

x

1

(lnx)

2

(lnx)

2

2

x

1x1x

1

2lnx

(lnx)2lnxd

1x

(lnx)2

2

2

2

(lnx)2(lnx)2sinxe

x

2

lnx2lnx2

1x

dlnx

1x

1

lnx2

1x

2

dx

C[(lnx)2lnx2]C

（5）解：

sinxe

x

x

e

sinxdxexdcosxexcosx

cosxde

sinx

x

ee

x

cosx

e

x

cosxdxe

x

cosxe

e

x

dsinx

x

x

cosxe

x

sinx

sin

12e

xde

x

xx

cosxe

e

x

sinxdx

所以

sinxe

x

e

x

sinxdx(cosxsinx)C

（6）xsec2xdx

30

解：xsec2xdxxdtanxxtanxtanxdx

xtanxcossinxxdxxtanxcos1xdcosx

xtanxlncosxC

（7）xtan2xdx

解：xtan2xdxx(sec2x1)dxxsec2xdxxdxxdtanx

xtanx12x2tanxdx1

2xxtanxlncosx21

2xC2

（8）ln(1x2)dx

解：ln(1x2)dxxln(1x2)xdln(1x2)

xln(1x)

221x(22x22dxxln(1x)2222(1x)21x22dxxln(1x)1x2)dxxln(1x)2x2arctanxC

第五章作业解答

4．根据定积分的性质，比较下列各组定积分值的大小。

（1）xdx与x3dx00121

解：因为x2x3x2(1x)0，x[0,1]

所以xdx01210xdx3

（2）xdx与ln(1x)dx0011

解：因为xln(1x)，x[0,1]

所以xdx0110ln(1x)dx

1x2（3）e

11x2dx与e0dx

31

解：exdx2exdx

2

1

1

2

10

1

2e

x

2

dx

因为2exex，x[0,1]所以exdx

11

2

22

1

e

x

2

dx

6．求下列函数的导数。（1）解：

ddxdddxddxd

x0

x

sintdt

2

2

2

dx

sintdtsinx

xx

（2）解：（3）解：

3

x1

e

t

2

dt

x

2

xx

e

t

2

dtee

(x)

2

(x)e

x

2

e

x

12x

x

dxd

1

(tx)sintdt

3

3

33

ddx

3

dx

(tx)sintdt

2

[tsintdtx

1

x

33

x

1

sintdt]

2

x

xsinx3x

2

x

1

sintdtxsinx3x

2

x

1

sintdt3xcost1

3x(cosxcos1)

7．求下列极限。（1）lim

e

x

x0

x

x

x

x

sintdt

x

x

解：lim

lim(e

x0

e

e

x

x0

x

sintdtlim

x

sintdtx

lim

x0

(e

x

sintdt)x

x0

x

x

sintdtesinx)000x

2

x

（2）lim

xa

xax

2

x

a

f(t)dt

2

x

解：lim

x

xa

xa

xa

a

f(t)dtlim

2

a

f(t)dt

lim

xa

[x

2

x

a

f(t)dt]

xa

xa

2

(xa)

lim(2xf(t)dtxf(x)]0af(a)af(a)

xa

2

（3）lim

1

x0

x

x

1

(12t)sintdt

32

解：lim

1

x0

x

x

1

(12t)sintdtlim

1

1

x

1

(12t)sintdt

x

lim

1x

x0

[(12t)sintdt]

x

1

x0

x

lim

x0

lim(12x)

x0

x

sinx

lime

x0

sinx

ln(12x)

e

x0sin

limln(12x)

1x

e

2x

e

2

dtt1（4）limx1(x1)2

lnt

1

解：lim

x

lnt

1

x1

t1

2

(x1)

dt

lim

x1

(

x

lnt

t1

2

[(x1)]

1

dt)

lim

x1

lnx

lnxlim

x12(x21)2(x1)

1

lim

(lnx)2(x1)

2

x1

lim

x1

1x

4x4

11．用牛顿-莱伯尼茨公式计算下列定积分：（1）

44

1xx

1

dx

4

解：

1xx

1

dx

1

4

1

(x

12

11

x2)dx(2x2

23

3

x2)

1

(242

6

23

31

42)(212

23

3

12)

203

（2）解：

23

6

2

x2dx

6

2

x2dx

2

x2d(x2)

23

3

6

(x2)2

2

3

(62)2

1

23

3

(22)2

163

（3）解：

10

dx1x

dx

1x

1

11x

(1x)lnx

10

ln(11)ln(10)ln2

（4）0

2

14x

2

33

解：

2

14x

2

2

14

2

11()

2

12

x

2

12

2

xd()x221()

2

1

12

arctan

x2

12

arctan1arctan0

8

（5）解：

1

1

dx4xdx4x

22

1

1

14x

2

1

2

1

1x2

()

2

12

2

1

1x2

()

2

4

()2arcsin22

xx

1

2arcsin

2arcsin0

3

（6）解：

4

4

2x1(x1)(x2)2x1

3

3

(x1)(x2)2

1

4

2x21(x1)(x2)

4

3

4

3

[

2(x2)1(x1)

1(x1)(x2)

]dx

3

[

(x2)

(x2)

1(x1)

]]dx

3

[

3(x2)

]]dx

(3lnx2lnx1)

10

[3ln(42)ln(41)][3ln(32)ln(31)]

3ln2ln33ln1ln24ln2ln3

（7）解：

1

1

1

2

dx9x6x1

dx

9x6x1

2

1

dx(3x1)1

2

13

1

1(3x1)14

2

(3x1)

33x1

16

1

1

1

3311

(

1301

)

（8）

dxx9dxx9

xx

(x9(x9

x)dx

x)

解：

16

16

x)(x9

34

16

(x9

9

3

x)dx

16

1

9

16

(x9

3

x)dx

3

19

3

3

12

[(x9)2x2]93

3

227

[(169)2162][(09)202]12

12．用变量代换法计算下列定积分：（1）

8

dxx

1x

解：设u所以

6

8

x

，则xu6，dx6u5du。x1时u1，x8时u

x

2

dxx

1

2

6uduuu

1

3

2

5

1

6

2

uduu1

2

3

1

6

2

u11u1

3

1

du

21

2

1

[(u

3

2

u1)

2

u1

]du(2u3u6u6ln(u1)

3

2

3

[2(2)3(2)626ln(10

2116ln(222)

1

21)][2131616ln(11)]

（3）x2x2dx

1

解：设xsint，则dxcostdt。x0时t0，x1时t所以x

11

2

2

2

2

xdx22sin

2

t1sin

2

tcostdt22sin

2

tcostdt

1

20

2

14

sin

2

2tdt

1

2

1cos4t2

2

dt

1

20

4

dt

116

2

cos4td4t

(t

116

2

sin4t)1

2

(

1111

sin4)(0sin40)421624168

（5）

3

(2x)2

2

解：设x2tant，则dx

2时t

3

2sectdt

2

x0时t0，x

4

1

3

所以

2

1(2x)

2

2

4

2sectdt

2

4

1(2)sect

3

3

2sectdt

2

(22tant)2

2

35

12

4

1sect

22

dx

12

4

costdt

12

sint

4

12

(sin

4

sin0)

24

（6）

x

2

x1

2时t

2

4

解：设xsect，则dxsecttantdt。x所以

22

，x2时t

3

dxx

2

x1

2

3

secttantsectsect1

32

22

2

2

3

1sect

costdt

34

44

sint

3

4

(sindx1e

x

3

sin

4

)

32

2

（7）

1

1udu

解：设uex，则xlnu，dx

duu

1u

e

。x0时u1，x1时ue

1

所以

1

dx1e

x

e

1

e

1u(1u)

1

e

1

(

1u

11u

)du

[lnuln(u1)]1[lneln(e1)][ln1ln(11)]1ln(e1)ln21ln

e

2

2e1

（9）

1xlnx

1

解：设ulnx，则xeu，dxeudu。x1时u0，xe2时u2所以

e

2

1xlnx

20

1

2

1e

u

u

edu

u

2

1u

(1u)

2u

22202(31)

13．用分部积分法法计算下列定积分：（1）解：

0ln20

xe

x

dx

ln2

ln2

xe

x

dx

ln20

xde

x

xe

ln2

x

ln20

ln2

e

x

dxln2e

1

12

ln2

ln2

e

x

d(x)

ln22

e

x

ln22

(ee)

ln22

12

ln22

36

（2）解：

12

ln2

xe

3x

2

dx

1

ln2

2

ln2

xe

3x

2

dx

2

e

xde

2x

12

xe

2x

2

ln2

12

ln2

e

x

2

dx

2

ln2e

12

ln2

1

2

12

ln2

x

2

d(x)

14

12

2

ln24

12

e

x

2

ln20

ln24

e

ln2

e

ln24

1ln24

（3）2e2xcosxdx

2x

解：2e

cosxdx

2x

2

e

2x

dsinxe

2x

sinx

20

2

sinxde

2x

2x

2

ee

2e

20

sinxdxe

20

2e

20

2x

dcosxe2ecosx

22cosxde

2x

2e

2x

cosx

2x

42e

2x

cosxdx

52e

cosxdxe

2

所以2e

2x

cosxdx

e

25

（4）2xsin2xdx

解：2xsin2xdx

12

2

xdcos2x

12

xcos2x

2

1

20

2

cos2xdx

11

cos2

2224

2

cos2xd2x

4

14

sin2x

2

4

14

10

sin

14

sin0

4

（5）ln(1x2)dx

解：ln(1x2)dxxln(1x2)0xdln(1x2)ln2

1

1

1

1

x

2x1x

2

dx

ln22

1

x111x

10

2

2

dxln22dx2

11

11x

2

dx

ln22x2arctanx

10

ln22(10)2arctan12arctan0

37

ln222

4ln22

2

22.求下列曲线围成的平面图形的面积：

x（1）ye，ye与x