高考数学理二轮专题练习41等差数列和等比数列含答案

1讲等差数列和等比数列考情解读1.等差、等比数列基本量和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现.2.数列求anSnan－an－1＝常数an＝常数通项中项法an＋2(n≥1)⇔{an}为等差前n项和法Bn(AB为常数)⇔{an}为等差数{an}为等比数列，an>0{logaan}为等差数 nan＋2(n≥1)(an≠0)⇔{an}为等比数通项法an＝c·qn(c、q0n∈N*)⇔{an}为等比{an}为等差数列⇔{aan}为等比数列(a>0a≠1)p＋qm、n、p、q∈N*p＋q(3)等比数列依次每n项和n (1)q≠1，Sn＝1－q＝热点一例 思维启迪(1)a1＋a7＝2a4S7和已知条件的联系；(2)a3，a6答案

解析(1)由题意可知，a2＋a6＝2a43a4＝12，a4＝4

思维升华(1)a1d②Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差数列

④b (1)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，S11

＝2

a12的值是 (2)在等差数列{an}中，a5<0，a6>0a6>|a5|，Snn A．S1，S2，S3均小于0，S4，S5，S6…均大于0B．S1，S2，…S5均小于0，S6，S7，…均大于0C．S1，S2，…S9均小于0，S10，S11…均大于0D．S1，S2，…S11均小于0，S12，S13…均大于0答案(1)A 解析(1)a8是a7，a9的等差中项，所以2a8＝a7＋a9＝16⇒a8＝8，再由等差数列前n和的计算可得

44

9a<0 热点二例2 则q＝

＝4，则an等思维启迪(1)dq即可；(2)a1，q答案 解析(1)da3＝a1＋2d，，解得 22 22

1由①②可 ＝2，∴q＝，代入①得 ∴an＝2×1n－1＝4 2×1－12 122

∴∴anan

＝2n－1思维升华(1){an}(2)n＝ ＝

①能“知三求二”；②q77 答案 777解析7771b1qb1q7b1q10＝b3q18＝(b7)3＝8，故选1或

＝

＝

－12×2n－1＝2n＝32n＝5.a1＝32，an＝2Sn＝62q＝1an＝a1qn－1＝321n－1＝21n－1＝1＝14，即n－1＝4，n＝5.综上，项数n等于5

热点三例3 已知等差数列{an}的公差为－1，且a2＋a7＋a12＝－6.(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；{bn}nTnm∈N*n∈N*Sn<Tm＋λλ的思维启迪(1)利用方程思想求出a1，代入求出an和Sn；(2)将恒成立问题通过分离法转化解(1)a2＋a7＋a12＝－6 (2)b1＝4，b2＝2，b3＝1，设等比数列{bn}的公比为q， - 1-122∵1

(2)m 又

9 2[(n－2)－4故10<4＋λλ>6.λ的取值范围为思维升华等差(比)

an，Sn求数列{an}的通项

数列{b}b＝(log

)×(log

1 1

1

22n＋3，求证：b＋b＋b＋…＋b

1，an，Sn

解 n＝1 n≥2 ∴an22

(2)证明 1＝ 1 1

－1＋1－1＋…＋( －

-

1

1即1＋1＋1＋…＋1n n

ba1d(q)这两个基本量的有关运算．d>0⇔{an}为递增数列，Sn有最小值d<0⇔{an}为递减数列，Sn有最大值d＝0⇔{an}为常数

时，{an}为递{n{nm，k若{an}，{bn}均是等比数列，则{can}(c≠0)，{|an|}，{an·bn}，{manbn}(m为常数)，{a2}，

{ana 121a2，a4－a3，…，成等比数列，且公比为a2－a121

a

qk.

a，b，cb＝2a，b，c 答案解析数列{lgan}8S8＝lga1＋lga2＋…＋lg2．(2014·)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝ n项和最大．答案解析∴8 答案解析故选C.

n成立，则实数a的取值范围 答案

n＝ 解析an＝a＋(n－1)×1＝n＋a－1，所以bn＝

，因为对任意的n∈N*

bn≥b8成立，即

(n∈N*)恒成立，

≤0(n∈N*)，则有

设各项均为正数的数列{an}nSna2＋＝4Sn＋4n＋1，n∈N*n求数列{an}，{bn}的通项记数列{bn}的前n项和为Tn，若对任意的

≥3n－6kn解(1)n≥2nnnnn ＝a2＋4a＋4＝(a ∴n≥2时，{an}d＝2522222∴a2＝a·a，(a＋6)2＝a·(a＋24)a52222222aa2

＋2)k≥3n－6n∈N*∴k≥3nn∈N*

3n

3n－3n－1

n≤3时，cn>cn－1；当n≥4时，cn<cn－1.≥∴(cn)max＝c3＝2 2.≥ (推荐时间：60分钟 答案解析由题意可得q3＝8，所以q＝2.所以a3＋a4＋a5＝a1q2(1＋q＋q2)＝84.2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若2a6＝6＋a7，则S9的值是( 答案解析2a6＝6＋a7a5＝6S9＝9a5＝54. 答案

数列{an}的首项为3，{bn}为等差数列且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，则等于 答案解析∵{bn}d，由b3＝－2，b10＝12，∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋2故选数列{an}满足 ，其前n项积为Tn，则T2014等于 答案

解析

，而 6．已知{an}是等差数列，SnnS21＝S4000，OP(1，an)，Q(2011，a2011)，则→→等于 A．2 B．－2 答案解析S21＝S4000a22＋a23＋…＋a4000＝0，由于a22＋a4000＝a23＋a3999＝…＝2a2011，a22＋a23＋…＋a4000＝3979a2a2011＝0，而＝2011＋a2011an＝7．在等比数列{an}中，已知a1＋a3＝8，a5＋a7＝4，则 答案解析设等比数列{an}

答案解析a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.lna1＋lna2＋…＋ln＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50ln设等差数列{an}nSna1＝－11，a4＋a6＝－6Sn 答案解析a4＋a6＝－6又 n＝6时，Sn已知数列{a}的首项为a＝2，且 ＋a＋…＋a)(n∈N*)，记S为数列{a}的 n项和，则 答案

n－2解析an＋1＝1(a1＋a2＋…＋an)(n∈N*)an＋1＝1SnSn＋1－Sn＝1Sn S，由此可知数列{S}是一个等比数列，其中首项S＝a＝2，公比为3，所以S

152513后成为等比数列{bn}b3、b4、b5.求数列{bn}的通项 5是等比数列解所以{bn}b3，b4，b5解得d＝2或d＝－13(舍去)．故{bn}35b3＝b1·225＝b1·22，解得b1＝

即数列{bn}的通项证明由(1)得数列{bn}n 41－2

44所以S

S

因此{Sn＋5是以5为首项，2 如数列{cn}，若

a1＝an∈N*an＋an＋1＝2n.(2)求{an}的通项及前20项和(1)证明由②－①∴{an}2(2)解a为首项，2∴n为偶数时，an＝2－a＋n为奇数时，an＝