导数的运算练习题

1.设a为实数，函数f(x)ex2x2,xR。a(Ⅰ)求f(x)的单调区间与极值；(Ⅱ)求证：当aln21且x0时，exx22ax1。2.已知函数f(x)=x3(m4)x23mx(n6)(xR)的图像关于原点对称，其中m,n为实常数。（１）求m,n的值；（２）试用单调性的定义证明：f(x)在区间[-2,2]上是单调函数；（３）当-2≤x≤2时，不等式f(x)(nlogma)恒成立，求实数a的取值范围。解(1)由于f(x)图象关于原点对称，则f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x)x3(m4)x23mx(n6)x3(m4)x23mx(n6)恒成立，即(m4)x2(n6)恒成立，必有m4,n6.0由可知f(x)x312x,任取x1,x22,2,且x1x2(2)(1)fx1fx2(x1312x1)(x2312x2)(x1x2)(x12x1x2x2212)由2x1x2知，x1x2，2x1x22120,20x1x2从而fx1fx20,即fx1fx2,f(x)在[-2,2]上是减函数。（3）由（2）知f(x)在[-2,2]上是减函数，则-2x2时,fxf216.故-2x2时，不等式f(x)(nlogma)logma恒成立16(6log4a)log4a(log4a8)(log4a2)0log4a或log4a801或82aa4.163.设定函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，且方程f'(x)9x0的两个根分别为1，34。（Ⅰ）当a=3且曲线yf(x)过原点时，求f(x)的剖析式；（Ⅱ）若f(x)在(,)无极值点，求a的取值范围4.设函数f(x)lnxln(2x)ax(a0)．（1）当a1时，求f(x)的单调区间；（2）若f(x)在(0,1]上的最大值为12，求a的值．f(x)11ax2x0，2）【剖析】对函数求导得：，定义域为（单调性的办理，经过导数的零点进行穿线鉴识符号完成。f(x)0得11+1=0x220x2x（）当a=1时，令x2x当x(0,2),f(x)0,为增区间；当x(2，2),f(x)0,为减函数。区间01，上的最值问题，经过导数获取单调性，结合极值点和端点的比较获取，确定待定量a的值。11a当x01，有最大值，则必不为减函数，且f(x)x2x>0，为单调递加区间。fmaxf(1)a1最大值在右端点取到。2。5.已知函数f(x)lnxax1a1(aR)1x（Ⅰ）当a时，谈论f(x)的单调性：21（Ⅱ）设gxx2bx4.当a时，若对任意x1(0,2)，存在x2[1,2]，使()24f(x1)g(x2)，求实数b的取值范围。）f'(x)1a-1a-ax2+x+a-1【剖析】(Ⅰ)原函数的定义域为（0，+xx2x2，所，由于='x-1'x-1以当a0时，f(x)x2，令f(x)x2>0得x>1，因此此时函数f(x)在（1，+）0，1）上是减函数；上是增函数；在（-1x2+x+1（）2122-x+2x-1-x-12当a02时，f'(x)x22x22x2，因此此时函数f(x)在（0，+）是减函数；-ax2+x+a-1x>1或x<1-1当a<0时，令f'(x)=x2>02得-ax+x-1+a>0，解得a（舍去），此时函数f(x)在（1，+）0，1）上是减函数；上是增函数；在（1-ax2+x+a-11当0<a<2时，令f'(x)=x2>0得-ax2+x-1+a>0，解得1<x<a-1，此时函数f(x)1-1)（1-1，）在（1，a上是增函数；在（0，1）和a+上是减函数；1<a<1时，令f'(x)=-ax2+x+a-11当2x2>0得-ax2+x-1+a>0，解得a-1<x<1，此时函数f(x)（1-1，1-1（1，）在a1）上是增函数；在（0，a）和+上是减函数；1-ax2+x+a-1>0得-ax2当a1时，由于a-10，令f'(x)=x2+x-1+a>0，可解得0x1，此时函数f(x)在（0，1）上是增函数；在（1，+）上是减函数。a1在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，因此对任意x1(0,2)，4时，f(x)（Ⅱ）当f(x1)f(1)=-11,2，使f(x1)g(x2)，因此1g(x2)有2，又已知存在x22，x21,2，即存在x1,2g(x)x22bx412bxx29，使2，即2，即911171111112bx2[][)x2,2b2，解得b4，即实数b取值范围是,4，因此4。6.已知函数f(x)ax33x21(xR)，其中a0.2（Ⅰ）若a1，求曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程；（Ⅱ）若在区间[1,1]上，f(x)0恒成立，求a的取值范围.22x33x2123x,f’(2)=6.【剖析】（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=2，f（2）=3；f’(x)=3x因此曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.（Ⅱ）解：f’(x)=3ax213x3x(ax1).令f’(x)=0，解得x=0或x=a.以下分两种情况谈论：0a2，则11若a2，当x变化时，f’(x)，f（x）的变化情况以下表：1，1X00，202f’(x)+0-f(x)Z极大值]f(1)5a0,80,2即1115ax，时，f（x）>0f()0,0.当22等价于28，解不等式组得-5<a<5.因此0a2.1102.当x变化时，f’(x),f（x）的变化情况以下表：若a>2，则a1，1111X00，，20aaa2f’(x)+0-0+f(x)Z极大值]极小值Zf(-1)>0,5a>0,28x1111-1>0.2a52，f()>0,2a22当2时，f（x）>0等价于a即，解不等式组得或2a2.因此2<a<5