第四章函数的导数和微分1515讲概念

第一节导数的概念第四章函数的导数和微分一.导数产生的背景二.导数的概念三.导数存在的必要条件四.函数的增量与导数的关系一.导数产生的背景

1.

物理背景2.几何背景1.物理背景在真空中,当时间由t变到t+t时,自由非匀速运动物体的速度问题落体所经过的路程为例1物体由t到t+t一段的平均速度是求物体在时刻t的瞬时速度

vt,就是令t0的极限过程：从物理学看,当t0时,应该有这是否也说明了一个什么问题?

平面曲线上切线的概念割线PQ切线PT切点2.数学背景—

平面曲线的切线问题沿曲线趋近于点

A时的极限位置.平面曲线y=f(x)的切线：曲线在点

A(x0,y0)处的切线AT

为过曲线上点

A的任意一条割线AA’

当点

A’(x0+x,y0+y)定义切线方程:其中,(1)建立一个函数关系y=f(x)xI.(2)求函数由x0到x0+x的平均变化率：解决与速度变化或变化率相关问题的步骤:(3)求

x0的极限：小结二.导数的概念设函数f(x)在

U(x0)有定义,且

x0+xU(x0).则称函数f(x)在点

x0处可导,极限值a称为

f(x)在如果极限存在,点x0处的导数.记为定义1.导数的定义k0为常数.如果函数f(x)在点

x0处可导,则设函数f(x)在[x0,x0+)内有定义,若存在,则称a为f(x)在点x0处的右导数.记为2.左、右导数定义设函数f(x)在(x0–,

x0]内有定义,若存在,则称a为f(x)在点x0处的左导数.记为定义定理好像见过面啊！3.导函数若x(a,b),函数

f(x)皆可导,则说

f(x)在(a,b)内可导.这时

f(x)是关于x的一个新函数,称之为f(x)在(a,b)内的导函数.通常我们仍称之为f(x)在(a,b)内的导数：定义函数在点x0I处的导数:若f(x)在

(a,b)内可导,且

存在,则称

f(x)在[a,b]上可导,f

(x)称为

f(x)在

[a,b]上的导函数,简称为导数.

先求导、后代值.定义4.导数的几何意义此时,切线方程为:函数f(x)在点x0的导数f

(x0)就是对应的平面曲线y=f(x)在点(x0,y0)处的切线的斜率

k:yOxx0y=cf

(x0)=0yOxf

(x0)=x0Oxyx0yOxx0f

(x0)不存在f

(x0)不存在切线平行于x轴：曲线y=f(x)在点x0处的切线可能平行于x轴、垂直于x轴、或不存在,所反映出的导数值是：切线垂直于x轴：（曲线为连续曲线）在点

x0处无切线：f

(x0)不存在.在任意一点

x处,有在点(1,

1)

处故所求切线方程为：求曲线y=x2上任意一点处切线的斜率,并求在点

(1,1)

处的切线方程.即

y=2x–1.y–1=2(x–1),例2解三.导数存在的必要条件设f(x)在点

x0可导,即有于是故函数f(x)在点x0可导的必要条件是它在点

x0连续.只是必要条件！定理y=|x|在点x=0连续,但不可导.故f

(0)不存在.y=|x|Oxy例3解在点x=0处的连续性和可导性.又当nN时,函数在在点x=0处连续.例4解当n=1时,不存在,故n=1时,函数在x=0处不可导.当n>1时,故n>1时,函数在

x=0处可导.其导数为f(x)在x=0处可导,从而f(x)=1+bx,x≤0e–x,x>0f(0)=1f(x)在x=0处连续,f(0)=a.例5解设a+bx,x≤0求

a,b之值.e–x,x>0y=在x=0可导,由可导性：故b=–1,此时函数为f(x)=1x,x≤0e–x,x>0四.函数的增量与导数的关系可表示为

y=f'(x0)x

+o(x).若函数f(x)在点x0

处有

(

有限

)

导数

f(x0),则函数f(x)在该点的增量y=f(x0+x)f(x0),定理得故证由则函数f(x)在点x0处有若函数f