凸轮设计第四齿轮

凸轮设计第四齿轮第1页，共74页，2023年，2月20日，星期四

凸轮以等角速度ω逆时针转动，从动杆在凸轮轮廓的推动下，实现预期的运动。为使凸轮相对纸面不动，设想给凸轮机构施加一绕轴心Ｏ而角速度为-ω的转动，这样并不未改变凸轮与从动杆之间的相对运动，但凸轮相对纸面将固定不动，而从动杆一方面绕轴心Ｏ以角速度-ω转动（即反转运动），另一方面在其导轨内作预期运动，尖顶在这种复合运动过程中的轨迹即为凸轮廓线。这就是设计凸轮廓线所依据的反转（或相对运动）原理。第2页，共74页，2023年，2月20日，星期四（1）以rmin为半径作基圆。此基圆与导路的交点A0，就是从动件尖顶的起始位置。（2）自OA0沿-ω1的方向取角度δt、δh、δs′，二、直动从动件盘形凸轮轮廓的绘制1．尖顶直动从动件盘形凸轮

对心尖顶直动从动件盘形凸轮设计已知条件：从动件位移线图(图b)、凸轮的基圆半径rmin以及凸轮以等角速度ω1

、顺时针方向回转。第3页，共74页，2023年，2月20日，星期四将它们各分成与图b对应的若干等分，得A1′、A2′、A3′、…点。连结OA1′、OA2′、OA3′,…，就是反转后从动件导路的各个位置。（4）将A0、A1、A2、A3、…连成光滑的曲线，便得到所要求的凸轮轮廓。（3）量取各个位移量。即取A1A1′＝11、A2A2′＝22′、A3A3′＝33′、…，得反转后尖顶的一系列位置A1、A2、A3、…。第4页，共74页，2023年，2月20日，星期四

偏置尖顶直动从动件(ｅ≠0)设计

设计时首先以O为圆心以偏距e为半径作偏距圆切于从动件导路，其次以rmin为半径作基圆，基圆与导路的交点A0，就是从动件的起始位置。自OA0沿-ω1方向取δt、δh、δs′，并将它们各分成与图b对应的若干等分，在基圆上得A1′、A2′、A3′、…．

从动件在反转运动中，其导路始终与凸轮轴心Ｏ保持偏距e

。第5页，共74页，2023年，2月20日，星期四过这些点作偏距圆的切线，它们便是反转后从动件导路的一系列位置。从动件的相应位移在这些切线上量取，即取A1A1′＝11′、A2A2′＝22′、A3A3′＝33′、…，

最后将A0、A1、A2、A3、…连成一条光滑曲线便得到所要求的凸轮轮廓。第6页，共74页，2023年，2月20日，星期四再以β0上各点为中心，以滚子半径为半径作一系列圆；最后作这些圆的包络线β，就是使用滚子从动件时凸轮的实际轮廓。而β0称为凸轮的理论轮廓。2.滚子直动从动件盘形凸轮首先，把滚子中心看作尖顶从动件的尖顶，按尖顶直动从动件的方法求出一条轮廓曲线β0；(1)凸轮实际轮廓的设计

显然，滚子从动件凸轮的基圆半径和压力角α均应当在理论轮廓上度量。第7页，共74页，2023年，2月20日，星期四

设理论轮廓外凸部分的最小曲率半径用ρmin表示，滚子半径用rT

表示。则相应位置实际轮廓的曲率半径ρ′:

只有当ρmin＞rT时，ρ′＞0，实际轮廓为一平滑曲线。(2)滚子半径的大小对凸轮实际轮廓的影响ρ′＝ρmin一rT

。讨论：

当ρmin＝rT时，ρ′=0，凸轮实际轮廓上产生了尖点，极易磨损，磨损后会改变原设计的运动规律。

当ρmin＜rT时，ρ′＜0，实际轮廓曲线发生自交，图中阴影部分的轮廓曲线在实际加工时将被切去，使这一部分运动规律无法实现。第8页，共74页，2023年，2月20日，星期四所以凸轮必须满足：rT＜ρmin，一般要求rT＜0.8ρmin

。当凸轮轮廓为内凹时，实际轮廓线的曲率半径ρ′：ρ′＝ρmin＋

rT

所以，不论滚子半径大小如何，都可获得与理论轮廓同凹向的平滑的实际轮廓线。第9页，共74页，2023年，2月20日，星期四3．平底直动从动件盘形凸轮第10页，共74页，2023年，2月20日，星期四将从动件导路中心线与平底的交点A0视为尖顶,按照尖顶从动件凸轮轮廓的绘制方法。求出理论轮廓上一系列点A1、A2、A3、…，过这些点画出一系列平底A1B1、A2B2、A3B3、…，然后作这些平底的包络线，可得到凸轮的实际轮廓曲线。3．平底直动从动件盘形凸轮第11页，共74页，2023年，2月20日，星期四图中位置１、６是平底分别与凸轮轮廓相切于平底的最左和最右位置。为了保证平底始终与轮廓接触，平底左侧长度应大于m，右侧长度应大于l。第12页，共74页，2023年，2月20日，星期四三、摆动从动件盘形凸轮轮廓的绘制已知从动件的角位移线图(图b)，凸轮与摆动从动件的中心距lOA，摆动从动件的长度lAB，凸轮的基圆半径rmin，以及凸轮以等角速度ω1逆时针方向回转。要求绘出此凸轮的轮廓。仍然用“反转法”。第13页，共74页，2023年，2月20日，星期四

(1)根据lOA定出O点与Ao点的位置，以O为圆心，以rmin为半径作基圆，再Ao以为中心及lAB为半径作圆弧交基圆于Bo点，该点即为从动件尖顶的起始位置。δ20称为从动件的初位角。

(2)以O点为圆心及OA0为半径画圆,并沿-ω1的方向取δt、δh、δs′。将δt、δh各分为与图b相对应的若干等分。得径线OA1、OA2、OA3、…，这些线即为机架OA0在反转过程中所占的各个位置。第14页，共74页，2023年，2月20日，星期四(3)由图b求出从动件摆角δ2在不同位置的数值。据此画出摆动从动件相对于机架的系列位置A1B1、A2B2、A3B3、…，即第15页，共74页，2023年，2月20日，星期四(4)以A1、A2、A3、…为圆心，lAB为半径画圆弧截A1B1于B1点，截A2B2于B2点；截A3B3于B3点，…。最后将B0、B1、B2、B3、…点连成光滑曲线，便得到尖顶从动件的凸轮轮廓。第16页，共74页，2023年，2月20日，星期四

同理，滚子或平底摆动从动件的凸轮，采用上述方法便可求出相应的实际轮廓。★校核推程压力角：以尖顶摆动从动件盘形凸轮为例：在凸轮推程轮廓比较陡峭的区段取若干点B1、B2、…，作出过这些点的法线和从动件尖顶的运动方向线，量出它们之间所夹锐角α1、α2、…，找出最大值αman。如果超过许用压力角［α］。就应修改设计，通常可用加大基圆半径的方法使αmax减小。

滚子从动件凸轮只需校核理论轮廓的压力角。第17页，共74页，2023年，2月20日，星期四平底从动件凸轮机构压力角很小，且为不变量，故可不必校核。例如图中的平底从动件凸轮机构压力角恒等于零。第18页，共74页，2023年，2月20日，星期四第四章齿轮机构第19页，共74页，2023年，2月20日，星期四第四章齿轮机构第20页，共74页，2023年，2月20日，星期四§4-1齿轮机构的特点和类型

齿轮传动是依靠轮齿齿廓直接接触来传递运动和动力。第四章齿轮机构缺点：制造、安装精度要求较高和成本较高。1优点：传动比恒定，传动效率高，承载能力高，使用寿命长等；

齿轮传动的分类：

根据两轴的相对位置和齿向分类。

根据齿轮齿廓形状可分为渐开线齿轮传动、圆弧齿轮传动及摆线齿轮传动等。

根据齿轮工作时是否密封在箱体内且得到良良好的润滑,可分为闭式传动和开式传动。第21页，共74页，2023年，2月20日，星期四第22页，共74页，2023年，2月20日，星期四§4-2齿廓实现定角速比传动的条件

齿轮传动的基本要求之一是其瞬时角速度之比必须保持不变，否则，当主动轮等角速度回转时，从动轮的角速度为变数，就会产生惯性力，影响齿本章将以渐开线直齿圆柱齿轮传动为重点进行分析介绍。轮的寿命，引起机器的振动和噪声，影响其工作精度。为了阐明一对齿廓实现定角速比的条件，先探讨角速比与齿廓间的一般规律。第23页，共74页，2023年，2月20日，星期四

两个相互啮合的齿廓Ｅ1和Ｅ2在Ｋ点接触。过Ｋ点作两齿廓的公法线nn，它与连心线O1O2的交点Ｃ称为节点。显然，Ｃ点就是齿轮１、２的相对速度瞬心，因此：

上式表明，一对传动齿轮的瞬时角速度与其连心线O1O2被齿廓接触点公法线所分割的两线段长度成反比。这一规律称为齿廓啮合基本定律。

因此，若两齿轮瞬时角速比恒定不变，必须使Ｃ点为连心线上的固定点。第24页，共74页，2023年，2月20日，星期四

过节点Ｃ所作的两个相切的圆称为节圆，用r1′、r2′表示两个节圆的半径。节点的相对速度等于零，所以一对齿轮传动时，它的一对节圆在作纯滚动。

凡符合齿廓啮合基本定律，能实现预定传动比的一对齿廓称为共扼齿廓。传动齿轮的齿廓曲线除要求满足定角速比之外，还必须考虑制造、安装和强度等要求。常用的齿廓有渐开线齿廓、摆线齿廓和圆弧齿廓，其中以渐开线齿廓应用最广。第25页，共74页，2023年，2月20日，星期四§4-3渐开线齿廓一、渐开线的形成和特性当一直线在一圆周上作纯该动时，此直线上任意一点的轨迹称为该圆的渐开线。这个圆称为渐开线的基圆，用rb表示。该直线称为发生线。第26页，共74页，2023年，2月20日，星期四渐开线具有下列特性：(1)当发生线从位置Ⅰ滚到位置Ⅱ时，因它与基圆之间为纯滚动，没有相对滑动，所以：BK＝AB第27页，共74页，2023年，2月20日，星期四渐开线具有下列特性：(1)当发生线从位置Ⅰ滚到位置Ⅱ时，因它与基圆之间为纯滚动，没有相对滑动，所以：BK＝AB第28页，共74页，2023年，2月20日，星期四渐开线具有下列特性：

(2)当发生线在位置Ⅱ沿基圆作纯滚动时，Ｂ点是它的速度瞬心，直线BK是渐开线上Ｋ点的法线，也是Ｋ点曲率半径，Ｂ点是曲率中心。因为发生线始终切于基圆，所以渐开线上任意一点的法线必与基圆相切；或者说，基圆的切线必为渐开线上某一点的法线。第29页，共74页，2023年，2月20日，星期四渐开线具有下列特性：(3)渐开线齿廓上某点K的法线（压力方向线）,与齿廓上该点速度方向所夹的锐角αK，称为该点的压力角。因此渐开线齿廓上各点压力角不等，向径rK越大其压力角越大。第30页，共74页，2023年，2月20日，星期四渐开线具有下列特性：(4)

渐开线的形状决定于基圆的大小。大小相等的基圆其渐开线形状相同；大小不等的基圆其渐开线形状不同。如图，大小不等的两个基圆，使其渐开线上压力角相等的点在K点相切。可见基圆越大，它的渐开线在K点的曲率半径越大，即渐开线愈趋平直。当基圆半径趋于无穷大时，其渐开线将成为垂直于B3K的直线，它就是渐开线齿条的齿廓。

(5)基圆以内无渐开线。第31页，共74页，2023年，2月20日，星期四推论：同一基圆上任意两条渐开线（不论是同向的还是反向的），沿其公法线方向的对应点之间的距离处处相等。A1B1＝A2B2＝ABB1E1＝B2E2＝BE根据特性1)和2)可推知。第32页，共74页，2023年，2月20日，星期四三、渐开线齿廓的啮合特性1.渐开线齿廓能保证定传动比传动过K点作两齿廓的公法线nn与两轮连心线交于C点。根据渐开线的特性，nn一定同时与两基圆相切，或者说，过啮合点所作的齿廓公法线即是两基圆的内公切线。由于齿轮传动时基圆位置不变，同一方向的内公切线只有一条，所以它与连心线交点的位置不变。无论两齿廓在何处接触，过接触点所作齿廓公法线均通过连心线上同一点C，因此渐开线齿廓满足定角速比要求。第33页，共74页，2023年，2月20日，星期四

图中，△O1N1C∽△O2N2C，故一对渐开线齿轮的传动比:

上式表示渐开线齿轮的传动比等于两齿轮基圆半径的反比。因i≥1，故在讨论一对齿轮传动时，下标１表示小轮，下标２表示大轮。

定角速比传动时，ωl

/ω2=nl

/n2

角速比又称传动比，当不计转动方向相同或相反时，传动比的大小常用不带下标的i

表示,且规定i≥1。第34页，共74页，2023年，2月20日，星期四２.渐开线齿廓具有中心距可分性当一对渐开线齿轮制成之后，其基圆半径是不变的，即使两轮的中心距稍有改变，其角速比仍保持原值不变。这种性质称为渐开线齿轮传动的可分性。由于渐开线齿轮传动具有可分性，即使有制造安装误差或轴承磨损，导致中心距的微小改变仍能保持良好的传动性能。此外，根据渐开线齿轮传动的可分性还可以设计变位齿轮。因此，可分性是渐开线齿轮传动的一大优点。第35页，共74页，2023年，2月20日，星期四3.渐开线齿廓间的正压力方向不变1)啮合线齿轮传动时，其齿廓接触点的轨迹称为啮合线。渐开线齿轮齿廓无论在哪一点接触，其公法线总是两基圆的内公切线N1N2。因此直线N1N2就是渐开线齿廓的啮合线。2)啮合角过节点C作两节圆的公切线tt，它与啮合线NlN2间的夹角称为啮合角。从图中几何关系可看出，渐开线齿轮传动中啮合角为常数，在数值上等于渐开线在节圆上的压力角α′。第36页，共74页，2023年，2月20日，星期四(1)齿顶圆da

、齿根圆df以齿轮的轴心Ｏ为圆心，过齿轮各轮齿顶端所作的圆称为齿顶圆，其直径和半径记为da和ra；而过齿轮各齿槽底部所作的圆称为齿根圆，其直径和半径记为df和rf。§4-4齿轮各部分名称及渐开线标准齿轮的基本尺寸第37页，共74页，2023年，2月20日，星期四(1)齿顶圆da

、齿根圆df以齿轮的轴心Ｏ为圆心，过齿轮各轮齿顶端所作的圆称为齿顶圆，其直径和半径记为da和ra；而过齿轮各齿槽底部所作的圆称为齿根圆，其直径和半径记为df和rf。§4-4齿轮各部分名称及渐开线标准齿轮的基本尺寸第38页，共74页，2023年，2月20日，星期四在半径为rK的任意圆周上，一个轮齿两侧齿廓间的弧长称为该圆上的齿厚，记为sK；而一个齿槽两侧齿廓(2)齿厚、齿槽宽、齿距间的弧长称为该圆上的齿槽宽，记为eK；而相邻两轮齿同侧齿廓间的弧长称为该圆上的齿距,记为pK，显然有pK

＝sK＋eK第39页，共74页，2023年，2月20日，星期四在齿轮上所选择的作为尺寸计算基准的圆称为分度圆，其直径和半径记为d和r。该圆上的所有尺寸和参数符号不代下标。分度圆上的齿槽宽等于齿厚。(4)齿顶高、齿根高、齿全高介于分度圆与齿顶圆之间的轮齿部分称为齿顶。其径向高度称为齿顶高，记为ha；介于分度圆与齿根圆之间的轮齿部分称为齿根，其径向高度(3)分度圆第40页，共74页，2023年，2月20日，星期四(5)齿宽h＝ha+hf齿轮的轮齿沿轴线方向的宽度称为齿宽，记为b。称为齿根高，记为hf；齿顶圆与齿根圆之间的径向高度称为齿全高，记为h。第41页，共74页，2023年，2月20日，星期四渐开线标准直齿圆柱齿轮的基本参数有：(1)齿数在齿轮整个圆周上轮齿的总数称为齿数，记为

z。(2)模数齿轮分度圆是尺寸计算的基准，其直径d＝zp/π。由于式中π为无理数，将给齿轮计算、制造和检验等带来不便。为了解决这一问题，人为地将p/π规定为一些简单的有理数，并把这个比值称为齿轮的模数，记为m，其单位为mm。即m＝p/π

d＝zm第42页，共74页，2023年，2月20日，星期四模数是决定齿轮尺寸的一个基本参数。模数越大，齿轮尺寸越大，其承载能力越大。为了便于设计、制造、检验和互换使用，齿轮的模数已标准化。表4-1为GB1357-87规定的标准模数系列的一部分。第一系列11.251.522.5345681012162025324050第二系列1.75

2.25

2.75(3.25)4.55.5(6.5)79(11)141822283645表4-1标准模数系列注：选用模数时，应优先采用的一系列，其次是第二系列，括号内的模数尽可能不用。第43页，共74页，2023年，2月20日，星期四(3)压力角由渐开线方程rK＝rb/cosαK

可得渐开线齿廓任一点Ｋ处的压力角αK为:考虑齿轮的传力性能及设计制造的方便，并可互换使用，规定分度圆上的压力角α为标准值，且α＝20°。在某些场合也有采用α＝15°、22.5°、25°等的情况。

因此，分度圆是齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆，并作为齿轮尺寸计算的基准。第44页，共74页，2023年，2月20日，星期四(4)齿顶高系数和顶隙系数1齿轮齿顶高和齿根高大小为：ha＝ha*

mhf＝(ha*+c*)m＝ha+c*m第45页，共74页，2023年，2月20日，星期四(4)齿顶高系数和顶隙系数1齿轮齿顶高和齿根高大小为：ha＝ha*

mhf＝(ha*+c*)m＝ha+c*m式中，ha*称为齿顶高系数；c*称为顶隙系数。其值均已标准化，ha*＝1.0，c*＝0.25(有时也可采用ha*＝0.8，c*＝0.3的短齿)。(5)标准齿轮是指m、α、ha*、c*均为标准值，且e=s

的齿轮。标准渐开线直齿齿轮各尺寸的计算公式：第46页，共74页，2023年，2月20日，星期四名称代号计算公式小齿轮大齿轮模数m(根据齿轮受力情况和结构需要确定，选取标准值)压力角α选取标准值(例如20°)分度圆直径dd1=mz1d2=mz2齿顶高haha1=ha2=ha*

m齿根高hfhf1＝hf2＝(ha*+c*)m齿全高hh1＝h2＝(2ha*+c*)m齿顶圆直径dada1=m(z1+2ha*)da2=m(z2+2ha*)齿根圆直径dfdf1=m(z1-2ha*-2c*)df2=m(z2-2ha*-2c*)基圆直径dbdb1=d1cosαdb2=d2cosα第47页，共74页，2023年，2月20日，星期四名称代号计算公式小齿轮大齿轮齿距pp=πm基圆齿距pbpb=pcosα齿厚ss=πm／2齿槽宽ee=πm／2顶隙cc=c*m标准中心距aa=m(z1+z2)／2节圆直径d′(当中心距为标准中心距a时)

d′=d传动比ii12=ω1/ω2=z2/z1=d2′/d1′=db2/db1第48页，共74页，2023年，2月20日，星期四§4-5渐开线标准齿轮的啮合一、正确啮合条件

齿轮传动时，每一对齿只啮合一段时间便会分离，而由后一对齿接替。当前一对齿在啮合线上K点分离的同时，其后一对齿应在啮合线上另一点K′接触，这样，才能使齿轮机构连续不断地传动。令K1和K1′表示轮１齿廓上的啮合点，K2和K2′表示轮２齿廓上的啮合点。为了保证前后两对齿有可能同时在啮合线上接触，应使K1K1′＝K2K2′第49页，共74页，2023年，2月20日，星期四

设m1、m2、α1、α2、pb1、pb2分别为两轮的模数、压力角和基圆齿距，则根据渐开线的性质，由齿轮２可得同理，由轮１可得

K1K1′=p1cosα1

=πm1cosα1第50页，共74页，2023年，2月20日，星期四代入K1K1′＝K2K2′得正确啮合条件

m1cosα1＝

m2cosα2

由于模数和压力角已经标准化，事实上很难拼凑满足上述关系，所以必须使m1＝

m2＝

m（4－14）α1＝

α2＝

α（4－15）

渐开线齿轮的正确啮合条件是两轮的模数和压力角必须分别相等。第51页，共74页，2023年，2月20日，星期四

一对齿轮中心距的变化虽不影响渐开线齿轮的传动比。但影响齿轮传动的侧隙和顶隙。二、标准中心距侧隙：是指一对齿轮传动时，一齿轮节圆上的齿槽宽与另一齿轮节圆上的齿厚之差称为齿侧间隙。一对渐开线标准直齿圆柱齿轮啮合传动，为避免齿轮反转时发生冲击和出现间隙，理论上要求无齿侧间隙，即s1′=e2′且e1′=s2′。第52页，共74页，2023年，2月20日，星期四

顶隙：为避免齿顶相互抵触、润滑，要求齿顶圆与另一齿轮齿根圆之间应留有顶隙c*m。

标准齿轮分度圆有：

若令分度圆与节圆重合（即两轮分度圆相切），则齿侧间隙为零。但实际上齿侧间隙不能为零。第53页，共74页，2023年，2月20日，星期四注意，分度圆ｄ和压力角α是单个齿轮本身所具有的，而节圆和啮合角是两个齿轮相互啮合时才出现的；标准齿轮传动只有在分度圆与节圆重合时，压力角与啮合角才相等；否则，压力角与啮合角就不相等。一对标准齿轮分度圆相切时的中心距称为标准中心距，以a表示，计算公式为：第54页，共74页，2023年，2月20日，星期四一对齿廓开始啮合时，主动轮的齿根部分与从动轮的齿顶接触。所以开始啮合点是从动轮的齿顶圆与啮合线N1N2的交点Ａ。三、重合度（渐开线齿轮连续传动的条件）

若两轮齿顶圆加大，点Ａ和Ｅ趋近于点N1和N2，因基圆内无渐开线，故线段N1N2为理论上最大的啮合线段，称为理论啮合线段。两轮继续转动，终止啮合点是主动轮的齿顶圆与啮合线N1N2的交点Ｅ。线段AE为啮合点的实际轨迹，故称为实际啮合线段。第55页，共74页，2023年，2月20日，星期四

实际中，要求重合度大于１，一般取值在１～1.4之间。为使一对齿轮连续传动，必须保证前一对轮齿尚未到达终止啮合点Ｅ之前，后一对轮齿已到达或刚好到达起始啮合点Ａ。即要求实际啮合线段AE应大于或等于齿轮的啮合点齿距EK。其比值称为齿轮传动的重合度，记为ε。因此，齿轮连续传动的条件是第56页，共74页，2023年，2月20日，星期四§4－6渐开线齿轮的切齿原理切削齿廓方法按其原理可分为成形法和范成法两类。一、成形法齿方法简单，不需要专用机床，但生产率低，精度差、仅适用于单件生产及精度要求不高的齿轮加工。

成形法是用渐开线齿形的成形铣刀直接切出齿形。如图ａ所示盘状铣刀铣齿,图ｂ是指状铣刀铣齿。成形法切第57页，共74页，2023年，2月20日，星期四二、范成法范成法是利用一对齿轮（或齿轮与齿条）互相啮合时其共扼齿廓互为包络线的原理来切齿的。如果把其中一个齿轮（或齿条）做成刀具，就可以切出与它共扼的渐开线齿廓。用范成法切齿的常用刀具有三种：第58页，共74页，2023年，2月20日，星期四第59页，共74页，2023年，2月20日，星期四第60页，共74页，2023年，2月20日，星期四1.齿轮插刀齿轮插刀的顶部比正常齿高出c*m，以便切出顶隙部分。插齿加工时，插齿刀沿齿轮坯轴线方向作往复切削运动，同时强迫插刀与轮坯以一定的角速度比模仿一对齿轮传动，直到全部齿槽切削完毕。由于插齿刀的齿廓是渐开线的，所以插制的齿轮齿廓也是渐开线。第61页，共74页，2023年，2月20日，星期四根据正确啮合条件，被切齿轮的模数和压力角必定相等。所以用同一把齿刀切出的齿轮都能正确啮合。2.齿条插刀（又称梳齿