2-2 基本不等式（精讲）（基础版）（解析版）

2.2基本不等式（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一直接型【例1-1】（2022·江西）当时，的最小值为（

）A．3 B． C． D．【答案】D【解析】由（当且仅当时等号成立．）可得当时，的最小值为故选：D【例1-2】（2022·北京·高三学业考试）已知，且，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当时取“=”.故选：B.【例1-3】（2022·广东）已知正实数a，b，满足条件2a+b=1，则ab的最大值为（

）A．4 B．8 C． D．【答案】C【解析】因为正实数a，b，满足2a+b=1，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为.故选：C【一隅三反】1．（2022·河南驻马店）已知a>0，则当取得最小值时，a的值为（

）A． B． C． D．3【答案】C【解析】∵a>0，∴，当且仅当，即时，等号成立，故选：C2．（2021·江苏）若，，，则的最小值是（

）A．4 B． C．9 D．18【答案】D【解析】因为，，，所以，当且仅当时取等号，故选：D3．（2021·河南南阳）下列函数中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，A不符合题意.，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能成立，B不符合题意.，当且仅当，即时，等号成立，C符合题意.当时，，D不符合题意.故选：C考点二常数替代型【例2-1】（2022·甘肃武威·高二期末（理））已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，所以（当且仅当，即时取等号），即的最小值为4.故选：D.【例2-2】（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知p，q为正实数且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由可知，，当，即时，“”成立，故选：A.【一隅三反】1．（2022·河南郑州）已知实数a>0，b>0，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】依题意，，.当且仅当时等号成立.故选：B2．（2022·山西太原）已知为正实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．4【答案】A【解析】因为所以当且仅当，即时等号成立故选：A3．（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.故选：A4．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知正实数a，b满足，则的最小值是（）A．2 B． C． D．6【答案】B【解析】由，得，所以，当且仅当，即取等号.故选：B.考点三配凑型【例3-1】（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值是.故选：D.【例3-2】（2021·辽宁）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.【例3-3】（2021·河北邢台）若，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B.【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习（理））若，则有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A2．（2022·山西·怀仁市第一中学校二模）函数的最小值为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】D【解析】因为，所以3x－1>0，所以，当且仅当，即x=1时等号成立，故函数的最小值为5．选：D．3．（2022·江苏徐州）设，为正数，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴，当且仅当，且时，即，时等号成立.故选：.考点四消元型【例4】（2022·重庆·西南大学附中）已知正实数，满足，则的最大值为______.【答案】【解析】依题意正实数，满足，，，当且仅当，时等号成立.故答案为：【一隅三反】1．（2022·北京·人大附中高三阶段练习）已知正数、满足，则的最小值是___________.【答案】【解析】因为、为正数，由基本不等式可得，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：.2．（2020·江苏·高考真题）已知，则的最小值是_______．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.3．（2021·安徽·泾县中学高一阶段练习）设正实数、、满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为正实数、、满足，则，则，当且仅当时取等号.故的最大值为.故选：C.考点五求参范围【例5】（2022·全国·高三专题练习）若对任意恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，当且仅当即时取等号，因为恒成立，所以，即；故选：C【一隅三反】1．（2022·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）若对任意，恒成立，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意，对任意，则有，当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，又由对任意时，恒成立，所以