7-7 空间几何的外接球（精讲）（基础版）（解析版）

7.7空间几何的外接球（精讲）（基础版）思维导图思维导图考点呈现考点呈现例题剖析例题剖析考点一汉堡模型【例1】（2022·全国·高三专题练习）已知三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球的表面积为______．【答案】【解析】如下图所示：圆柱的底面圆直径为，母线长为，则的中点到圆柱底面圆上每点的距离都相等，则为圆柱的外接球球心，球的半径为，可将三棱锥置于圆柱内，使得圆为的外接圆，如下图所示：由正弦定理可知圆的直径为，所以，三棱锥外接球的半径，因此，三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.【一隅三反】1（2023·全国·高三专题练习）已知在三棱锥P－ABC中，PA＝4，，PB＝PC＝3，平面PBC，则三棱锥P－ABC的外接球的表面积是________.【答案】【解析】在等腰中，易知，所以，的外接圆的半径为，所以三棱锥P－ABC的外接球的半径为.所以其表面积为.故答案为：2．（2022·青海玉树·高三阶段练习（文））已知直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，则此球的表面积为_________．【答案】【解析】设的外心分别为,连接，可知外接球的球心为的中点，连接在，由正弦定理可得的外接圆的半径,在直角三角形中，外接球的半径,所以外接球的表面积为故答案为：3．（2022·重庆八中模拟预测）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，，，，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为________．【答案】【解析】取AC的中点O，连接MO、BO，则，，所以，则，又，所以，所以点O就是三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的球半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：．考点二墙角模型【例2-1】（2022·全国·高三专题练习）已知正方体外接球的体积是，那么正方体的体对角线等于（

）A． B．4 C． D．.【答案】B【解析】正方体外接球的直径即为正方体的体对角线，设外接球的半径为，则，解得，所以正方体的体对角线等于；故选：B【例2-2】（2022·全国·高三专题练习）已知四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，，若四棱锥P-ABCD外接球的表面积为，则四棱锥P-ABCD的体积为（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】D【解析】设四棱锥P-ABCD外接球的半径为R，则，即．由题意，易知，得，设，得，解得，所以四棱锥P-ABCD的体积为．故选：D【一隅三反】1．（2022·河北保定·二模）在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑P-ABC中，AB⊥BC，PA⊥平面ABC，且，则鳖臑P-ABC外接球的体积是___________.【答案】【解析】由题意可得三角形ABC外接圆的半径，因为PA⊥平面ABC，所以鳖臑P-ABC外接球的半径，故鳖臑P-ABC外接球的体积是.故答案为：2．（2022·黑龙江）长方体的长、宽、高分别为2，2，1，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为______.【答案】【解析】因为长方体的外接球的直径为长方体的体对角线，长方体的长、宽、高分别为2，2，1，所以长方体的外接球的直径，故长方体的外接球的半径为，所以球的表面积为.故答案为：3．（2022·贵溪市）棱长为的正四面体的外接球体积为___________.【答案】【解析】如图，棱长为的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立方体的外接球相同.设立方体的外接球半径为，则，所以立方体外接球的体积.故正四面体的外接球体积为.故答案为：考点三斗笠模型【例3】（2022·黑龙江）某圆锥的侧面展开后，是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设圆锥的母线长为，则展开后扇形的弧长为，再设圆锥的底面圆半径为，可得，即，圆锥的高为，设圆锥外接球的半径为，则，解得．圆锥的体积为，圆锥外接球的体积，∴该圆锥的体积与它的外接球的体积之比为．故选：C．【一隅三反】1．（2022.济南）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为，则球O的表面积等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设底面半径为，圆锥母线为，所以，所以，如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，是圆锥底面的圆心，设球半径为，则，，所以，如图1，，即，解得，不符合题意，当为如图2时，即，解得，所以球表面积为．故选：A．2．（2022·宁夏）已知一个圆锥的底面圆面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】设圆锥的底面圆半径为，高为，母线长为，圆锥的外接球半径为，则，可得，由于圆锥的侧面展开图是半圆，则，可得，，由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，所以，，解得,因此，该圆锥的外接球的表面积为.故选：B.3．（2022·河南）一圆台的两底面半径分别为，高为，则该圆台外接球的表面积为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】设该圆台的外接球的球心为，半径为，则或，解得，所以该圆台的外接球的表面积为.故选：C.4．（2022·浙江）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球面上，圆锥的侧面展开图的圆心角为，面积为，则球的表面积等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】设圆锥母线为，底面半径为，则，解得，如图，是圆锥轴截面，外接圆是球的大圆，设球半径为，，，，，所以球表面积为．故选：A．考点四L模型【例4】．（2022·全国·模拟预测）已知体积为的三棱锥，满足平面平面ABC，且，，，，则该三棱锥的外接球的表面积等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，，由余弦定理得，则，所以△ABC为直角三角形，且．设Rt△ABC的外接圆半径为r，点P到平面ABC的距离，则，解得．由题意可得解得．设三棱锥的外接球的半径为R，则有，解得，则三棱锥的外接球的表面积故选：D．【一隅三反】1．（2022·广东佛山·三模）已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面平面，且为等边三角形，则该四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如图所示，在四棱锥中，取侧面和底面正方形的外接圆的圆心分别为，分别过，作两个平面的垂线交于点O，则由外接球的性质知，点O即为该球的球心，取线段的中点E，连，，，，则四边形为矩形，在等边中，可得，则，即，在正方形中，因为，可得，在直角中，可得，即，所以四棱锥外接球的表面积为.故选：B.2．（2022·陕西）如图所示，在三棱锥A-BCD中，平面ACD⊥平面BCD，△ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A．40π B．20π C．32π D．80π【答案】A【解析】设中点为，连接，因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，，过点作，因为平面平面，平面平面所以平面，平面，所以三棱锥的外接球的球心在上，设外接球的半径为，则由得，由得，又因为，所以为等腰直角三角形，设球心为，中点为，连接，则，所以，即，解得，所以三棱锥的外接球的表面积为.故选：A3．（2022·全国·高三专题练习（文））在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外